摘 要： 針對三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的Hopf分支進(jìn)行了研究。首先，在三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，引入時滯項及線性收獲項對該系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)；其次，以時滯τ作為分支參數(shù)，對改進(jìn)后系統(tǒng)的局部Hopf分支的存在性進(jìn)行分析，給出使系統(tǒng)在正平衡點處產(chǎn)生Hopf分支的臨界值；然后，利用中心流形定理和規(guī)范型理論計算出Hopf分支方向及周期解穩(wěn)定性的公式；最后，進(jìn)行數(shù)值模擬，根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果，驗證了理論的可行性。結(jié)果表明，當(dāng)時滯τ從0一直增加到超過臨界值時，系統(tǒng)的正平衡點由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，且在正平衡點處產(chǎn)生Hopf分支。說明時滯影響了系統(tǒng)的動力學(xué)行為，使其動力學(xué)性質(zhì)更加復(fù)雜。

關(guān)鍵詞： Lotka－Volterra合作系統(tǒng)；時滯；Hopf分支；穩(wěn)定性

中圖分類號： O175

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2096－3998（2024）03－0084－11

合作行為是兩個不同種群之間的相互作用，其中的雙方都從合作中受益。從動物到微生物，這種相互作用在生命的各個領(lǐng)域都非常普遍，并且已經(jīng)逐漸成為現(xiàn)代生態(tài)學(xué)中一個重要的課題[1]。合作微分方程系統(tǒng)受到了極大的關(guān)注的原因是它們在化學(xué)、生物和生態(tài)現(xiàn)象模型中的廣泛存在。因此，大量的文獻(xiàn)致力于研究這些系統(tǒng)產(chǎn)生的動力學(xué)行為[2－5]。

互惠合作和競爭是物種間兩種重要的相互作用。當(dāng)兩個物種使用相同的資源，或者在尋求資源時相互傷害，就會發(fā)生競爭。而互惠合作則被定義為兩個物種彼此緊密聯(lián)系，共同受益。Lotka－Volterra競爭模型、合作模型和捕食者－食餌模型可以清晰地描述物種之間的競爭、合作及相互作用，這些模型為我們更好地理解生物多樣性和生態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制提供了重要依據(jù)[6－10]。然而，由Lotka和Volterra首次提出的Lotka－Volterra模型所描述的競爭，通常會導(dǎo)致物種間的排斥，反而降低了兩個物種的承載能力，不利于多個物種的共存[11]。因此，在建模時，我們應(yīng)該考慮更多的物種之間的相互作用，如文獻(xiàn)[12]提出的三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)：

這里，x1，x2，x3≥0表示3個物種的密度，aii表示為第i個物種的增長率，aij（i， j=1，2，3且i≠j）表示第i個物種和第j個物種之間的合作系數(shù)，ki表示環(huán)境對于第i個物種的最大容納量，aij及ki均為正數(shù)。文獻(xiàn)[12]研究了該系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性，并討論了二者的聯(lián)系。

在實際生活中，種群的再生繁衍存在著一定的時間過程[13]。這說明對于系統(tǒng)（1），x1、x2不僅僅是與t時刻的種群數(shù)量有關(guān)，還與過去的種群數(shù)量有關(guān)。本文引入時滯τ作為x1、x2種群的妊娠期，使系統(tǒng)（1）更加貼近于現(xiàn)實。此外，由于人類的一些活動（例如開采、捕撈等行為）可能會對種群造成影響[14]，所以有必要在系統(tǒng)（1）中考慮線性收獲項。但目前還沒有關(guān)于帶有時滯和線性收獲項的三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的研究。本文在系統(tǒng)（1）的基礎(chǔ)上，提出了一個具有線性收獲項的時滯合作系統(tǒng)，并對其進(jìn)行Hopf分支分析。改進(jìn)后的系統(tǒng)如下：

其中，τ表示x1、x2種群的妊娠期，h1x1、h2x2、h3x3（hi＜0，i=1，2，3）表示x1、x2、x3的線性收獲項，其他系數(shù)生物學(xué)意義均同系統(tǒng)（1）。

本文旨在對三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行研究，通過引入時滯項使其更加具有現(xiàn)實意義，所得結(jié)果補(bǔ)充和完善了前人的結(jié)果。

由圖1可見，當(dāng)τ=0.3＜τ0=0.410 3時，系統(tǒng)（30）的正平衡點E*是漸近穩(wěn)定的。由圖2可見，當(dāng)τ=0.5＞τ0=0.410 3時，系統(tǒng)（30）的E*是不穩(wěn)定的。

4 結(jié)論

本文對具有時滯和線性收獲項的Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究。將時滯τ作為分支參數(shù)，最終得出結(jié)論：在此系統(tǒng)中考慮x1、x2種群的妊娠期以及x1、x2、x3的線性收獲項的情況下，當(dāng)τ從0一直增加到通過臨界值τ0時，系統(tǒng)的正平衡點從穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，且在正平衡點處產(chǎn)生Hopf分支。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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［責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)]

Hopf bifurcation of a three－dimensional Lotka－Volterra cooperative system with time delay and linear harvesting terms

WU Wei， LYU Tanghong

Abstract： This article mainly studies the Hopf bifurcation of the three－dimensional Lotka－Volterra cooperative system. Firstly， the time delay term and linear harvesting term are introduced to improve the three－dimensional Lotka－Volterra cooperative system. Secondly， taking the time delay τ as the bifurcation parameter， the existence of local Hopf bifurcation of the improved system is analyzed and discussed， and the critical value for the system to produce Hopf bifurcation at the positive equilibrium point is given. Then， using the center manifold theorem and normal form theory， the formula for Hopf bifurcation direction and stability of periodic solutions is calculated. Finally， numerical simulation is performed. According to the results of numerical simulation， the feasibility of theoretical analysis conclusions is verified. The results show that when τ increases from 0 to pass the critical value， the positive equilibrium point of the system changes from a stable state to an unstable state， and Hopf bifurcation occurs at the positive equilibrium point. This indicates that time delay affects the dynamic behavior of the system， making its dynamic properties more complex.

Key words： Lotka－Volterra cooperative system; time delay; Hopf bifurcation; stability

收稿日期：2023－06－30 修回日期：2023－09－04

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（11426045）；吉林省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（JJKH20240891KJ）

*通信作者：呂堂紅（1979—），女，吉林長春人，碩士，教授，主要研究方向為常微分方程定性理論及分支理論。

引用格式：武微，呂堂紅.具有時滯和線性收獲項的三維Lotka－Volterra合作系統(tǒng)的Hopf分支[J].陜西理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2024，40（3）：84－94.