摘要： Radon 變換是地震資料處理中常用的一種算法，通過特定路徑求和實現(xiàn)地震數(shù)據(jù)插值、多次波壓制和波場分離。然而，由于采集數(shù)據(jù)和算法限制，變換域的分辨率較低，提高Radon 域分辨率一直是研究的熱點。最常用的提高分辨率方法是多次迭代重加權(quán)算法，通過迭代更新權(quán)重，將加權(quán)值聚焦到地震數(shù)據(jù)曲率上，但很難將加權(quán)值聚焦到真實曲率位置。文中提出了一種優(yōu)化提高變換域分辨率的新方法，即在地震數(shù)據(jù)的主頻帶內(nèi)求取一個加權(quán)矩陣，并將加權(quán)值聚焦至真實地震曲率位置。首先，計算地震數(shù)據(jù)的主頻，并以主頻為中心頻率，向低頻和高頻方向各取一個范圍作為約束頻帶； 對主頻帶內(nèi)的地震數(shù)據(jù)采用低頻約束策略，從低頻到高頻迭代計算加權(quán)矩陣； 從主頻帶的最后一個加權(quán)矩陣得到最終的加權(quán)矩陣，并應(yīng)用于所有其他頻率的計算。主頻帶數(shù)據(jù)的信噪比高、振幅強，因此，該方法更加穩(wěn)定，得到的加權(quán)矩陣可以顯著增強變換域的分辨率。此外，與其他迭代方法相比，它避免了每個頻率加權(quán)矩陣的迭代過程，計算效率更高。合成數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)的測試結(jié)果證明了該方法的在多次波壓制方面的有效性和優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞： Radon 變換，多次波壓制，高分辨率，主頻帶，約束，效率

中圖分類號：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 06. 011

0 引言

Radon 變換是一種廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)CT 圖像重建和地震數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)方法，在地震同相軸識別、多次波壓制、地震數(shù)據(jù)重建、速度分析和波場分離等方面有著廣泛的應(yīng)用。在地震資料處理領(lǐng)域，Radon變換可分為線性變換、拋物線變換和雙曲線變換。

20 世紀(jì) 70 年代，美國斯坦福大學(xué)地球物理小組對Radon 變換進行深入研究，并取得了重大進展，為其在地球物理領(lǐng)域的應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。

Hampson[1]將線性Radon 變換改進為拋物線Radon變換，并應(yīng)用于多次波壓制。經(jīng)過正常時差校正后，一次波被校正為平直的同相軸，而多次波則由雙曲線校正為拋物線，可用拋物線方程描述。由于變換域內(nèi)多次波和一次波曲率不同，可以在變換域通過切除實現(xiàn)二者的分離。

Beylkin[2]討論了基于最小二乘理論的Radon 變換。然而，由于地震數(shù)據(jù)采集的空間和時間有限，變換后的Radon 域的聚焦點經(jīng)常出現(xiàn)發(fā)散假象，極大地影響了多次波壓制的效果。因此，研發(fā)高分辨率 Radon變換可以改善同相軸的可分離性、消除發(fā)散假象。

提高 Radon 域的分辨率的途徑可以大致分為如下三類。第一類算法是在時間域通過大尺度求逆運算提高分辨率。時域方法具有一定的優(yōu)勢，比如在數(shù)據(jù)和模型上都能處理時變問題，在消除混疊假象方面效果顯著，通常能獲得分辨率更高的結(jié)果。Thorson 等[3]給出了一種采用隨機反演的高分辨率時域Radon 變換算法，同時增強了時間和曲率方向的稀疏性。Stoffa 等[4]提出了一種基于平面波分解、利用相似加權(quán)導(dǎo)出的窗濾波器，可以有效消除混疊假象，提高分辨率。Yilmaz 等[5]采用時域離散平面波分解技術(shù)計算每個點的斜率，迭代估計地震數(shù)據(jù)中的傾角范圍，并應(yīng)用到變換中，有效消除了混疊假象。

然而，時域高分辨率方法計算效率較低，很快被Hampson[1]的頻率域快速、時不變拋物 Radon 變換所取代。但Hampson 的頻域最小二乘方法由于時空域地震數(shù)據(jù)有限，在變換域存在截斷效應(yīng)，分辨率較低。為此，Sacchi 等[6]提出了一種基于貝葉斯框架的優(yōu)化反演算法、利用最大熵函數(shù)計算先驗概率、采用以柯西范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)約束項的非線性優(yōu)化方法，并假設(shè)殘差項和模型參數(shù)項分別服從高斯分布和柯西分布，利用迭代重加權(quán)最小二乘 （IRLS）法得到稀疏解。IRLS 法是頻率域上常用的高分辨率Radon 變換算法之一，屬于高分辨率算法的第二類。Sacchi 等[6]的方法在處理稀疏采樣數(shù)據(jù)時會出現(xiàn)空間混疊現(xiàn)象，從而大大降低分辨率，且計算成本比傳統(tǒng)的最小二乘法高。Cary[7]強調(diào)了時域算法在時間和曲率兩個方向都具有稀疏性的優(yōu)勢，同時建議結(jié)合頻域算法改善Radon 變換的保幅性。Herrmann等[8]提出了一種利用低頻數(shù)據(jù)約束高頻拋物分解的非迭代高分辨率方法，避免了空間混疊，同時實現(xiàn)了在空間域稀疏情況下的高分辨率結(jié)果。然而，該方法需先計算低頻結(jié)果，并以此作為權(quán)重約束高頻計算，計算量仍然較大。Chen 等[9]提出了一種利用峰值頻率求取加權(quán)矩陣的非迭代方法。然而，該方法的結(jié)果受所選頻率的影響較大，并且在變換域的分辨率不夠高。所有頻域方法在頻域計算的模型權(quán)重在時間域都耦合在一起，在不同時間對所有同相軸應(yīng)用相同的權(quán)重。因此，頻率域高分辨率算法的分辨率只在 Radon 參數(shù)，即曲率方向有所提高。此外，頻域高分辨率Radon 變換算法對反演過程正則化所需的超參數(shù)比較敏感，必須經(jīng)過大量的測試才能確定。如果每個頻率的超參數(shù)均是默認(rèn)的，即使有一個頻率的參數(shù)選擇不當(dāng)，也會影響整個Radon 域的結(jié)果，這使得該方法的實現(xiàn)同樣具有挑戰(zhàn)性。

第三類高分辨率 Radon 方法是時頻域混合方法。該類算法計算效率高、分辨率高。時頻混合域高分辨率算法在傳統(tǒng)的頻域最小二乘算法基礎(chǔ)上，增加一個額外的時域閾值收縮步驟。這一步驟有助于緩解截斷效應(yīng)引起的邊緣能量泄漏，使變換域能量向聚焦點中心收斂，從而提高 Radon 變換的分辨率，如Lu[10]利用混合域算法提出的稀疏Radon 變換，在時域通過簡單的收縮處理提升變換域的稀疏性，且在頻域?qū)崿F(xiàn)正、反Radon 變換，兼顧了時域和頻域算法的優(yōu)勢。Wang 等[11]在時頻混合域提出了魯棒時不變的 Radon 變換，并在時域?qū)?shù)據(jù)不擬合和 Radon 模型進行雙L1 范數(shù)稀疏約束壓制異常值，在頻域進行正、反變換，利用一維交替分裂Bregman算法對Radon 模型進行閾值收縮。Li 等[12]提出了一種快速迭代收縮閾值算法，并將其應(yīng)用于自適應(yīng)多次波壓制。Liu 等[13]將基于L1 范數(shù)約束的高分辨率Radon 變換與形態(tài)成分分析方法相結(jié)合，對地震數(shù)據(jù)中的多次波和折射波進行分離。Geng等[14‐15]利用 L1‐2 范數(shù)約束在時頻混合域提出了稀疏Radon 變換，該變換比 L1 范數(shù)約束具有更強的稀疏性，并采用三維拉格朗日乘子進一步將該算法擴展到三維空間。薛亞茹等[16] 將IRLS 和閾值收縮（ISTA）法相結(jié)合，給出了一種加權(quán)迭代軟閾值方法。與頻域高分辨率算法類似，這種混合域高分辨率算法面臨時域收縮參數(shù)設(shè)置困難的問題，收縮參數(shù)設(shè)置不合理會導(dǎo)致算法不收斂。張全等[17]將全局貪婪優(yōu)化算法同迭代閾值收縮結(jié)合，引入Radon 反問題求解，提高了收斂速率，但需要設(shè)置迭代步長和算法的重啟條件，復(fù)雜度較高。井洪亮等[18] 通過將傳統(tǒng)Radon 變換的離散曲率參數(shù)q 更改為耦合頻率的參數(shù)λ，變換到另外的λ?f 模型域，并設(shè)計三維體錐形濾波器對多次波進行切除，減少了計算量，但濾波器形式復(fù)雜，對于近炮檢距處小時差的多次波壓制效果差。Li 等[19]提出了一種結(jié)合了頻率—慢度域Radon 算子的魯棒正交匹配追蹤算法，使用交替乘子法求解，用L1 ‐L1 范數(shù)稀疏約束增強了Radon 變換的群稀疏性，并應(yīng)用于混合震源數(shù)據(jù)分離和三維地震數(shù)據(jù)重建。

基于前人的研究，本文給出了一種利用主頻帶約束的高分辨率 Radon 變換算法。通過將單頻擴展到一個主頻帶，可得到一個稀疏約束矩陣； 與單頻相比，該加權(quán)約束矩陣能更精確地描述地震數(shù)據(jù)的特征，將地震數(shù)據(jù)的能量聚焦于主要曲率參數(shù)。利用地震數(shù)據(jù)的主頻帶計算稀疏加權(quán)矩陣，并約束求解所有頻率，可以提高計算精度和效率。在該算法中，所有頻率的加權(quán)矩陣是相同的。在該主頻帶內(nèi)，采用Hermann 等[8]的高分辨率策略由低頻到高頻更新加權(quán)矩陣。主頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)振幅強、信噪比高，因此能對地震數(shù)據(jù)進行精準(zhǔn)描述。該算法參數(shù)設(shè)置也非常簡單，可以快速生成算法所需的加權(quán)矩陣。與Chen 等[9]的峰值頻率約束的高分辨率方法相比，本方法更加穩(wěn)定，分辨率更高； 與 IRLS 算法相比，本方法具有較高的計算效率和較強的抗噪性。分別使用二維合成數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)驗證了本文算法的優(yōu)勢。