潘衛(wèi)寧，楊紀(jì)昌，王亞珍，仝麗娟

1洛陽礦山機(jī)械工程設(shè)計研究院有限責(zé)任公司 河南洛陽 471039

2智能礦山重型裝備全國重點實驗室 河南洛陽 471039

物料粒度分布的表示方法有表格法、圖示法以及粒度分布方程法，粒度分布方程是根據(jù)物料的粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)分析方法建立的。物料的粒度分析，通常是由一系列尺寸的篩網(wǎng)篩分獲得的，其結(jié)果是一組離散的點，粒度方程可以對復(fù)雜的篩分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行概括、描述，可以便捷地計算各粒級的產(chǎn)率，避免了繁雜費時的篩分工作，尤其是對較難進(jìn)行篩分的小粒級。侯英等人對粒度特性參數(shù)與粒度分布均勻程度的關(guān)系進(jìn)行了研究，利用粒度方程式進(jìn)行物料顆粒的比表面積計算及均勻性分析，以反映物料的均勻程度[1]。近年來，也有學(xué)者將粒度特性方程式與碎礦、磨礦的功耗相聯(lián)系，成為研究碎磨過程的重要手段[2]。

多年來，學(xué)者已經(jīng)通過統(tǒng)計方法總結(jié)出 10 余種粒度方程，應(yīng)用較廣的粒度方程有高登 Gaudin 方程(簡稱 G 方程) 和羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer (簡稱 RR方程)。實踐證明，G 方程對粗、中碎產(chǎn)品或?qū)亯簷C(jī)、棒磨機(jī)產(chǎn)品較為符合，RR 方程則對破碎的煤、細(xì)碎的礦石和細(xì)磨的礦料以及水泥等較為符合[2]。段希祥教授對球磨機(jī)產(chǎn)品粒度特性進(jìn)行研究，分析了 G方程和 RR 方程之間的關(guān)系[3]；鄔小騏等人對破碎產(chǎn)品的粒度特性方程進(jìn)行研究，建立了常用破碎設(shè)備的排礦標(biāo)準(zhǔn)粒度曲線[4]；劉晨敏等人對原生煤粉粒度特性進(jìn)行研究，證實了原生煤粉粒度特性符合 RR 方程[5]。輥壓機(jī) 20 世紀(jì) 80 年代被引入國內(nèi)，廣泛應(yīng)用于建材、礦山等行業(yè)，在生料和水泥粉磨系統(tǒng)節(jié)能優(yōu)勢較為明顯[6-7]。丁凱等人的試驗研究，證實了輥壓機(jī)在鐵礦石粉磨中的節(jié)能效果[8]；中信重工楊紀(jì)昌等人經(jīng)過多年努力，建立了用于礦山和建材領(lǐng)域的輥壓機(jī)選型試驗方法[9]。目前對于輥壓產(chǎn)品粒度特性方程的研究鮮見有報道。輥壓機(jī)的破碎機(jī)理與傳統(tǒng)破碎機(jī)、球磨機(jī)顯著不同，其破碎產(chǎn)品的粒度分布理應(yīng)與傳統(tǒng)的碎磨設(shè)備有所不同。筆者借助近年在實驗室進(jìn)行的水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)，對 G 方程和 RR 方程進(jìn)行驗證、分析，探討適合水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度分布描述的粒度方程。

1 常用粒度方程介紹

1.1 高登 Gaudin 方程

高登 Gaudin 方程為冪函數(shù)，形式為

式中：y為篩孔尺寸x的篩下累積產(chǎn)率，即篩下累積，%；x為篩孔尺寸，μm；Ag為與變量 (x，y) 選用單位有關(guān)的參數(shù)；k為與物料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)，硬度大者k值大，硬度小者k值小。

對式 (1) 兩邊分別取對數(shù)，得

顯然，在以lnx為橫坐標(biāo)，lny為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系內(nèi)，lny與 lnx呈直線關(guān)系，k為直線斜率，lnAg為縱軸截距。

1.2 羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer 方程

羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer 方程是羅任-拉姆勒于 1934 年用統(tǒng)計方法整理破碎機(jī)和磨機(jī)產(chǎn)品得出的，形式為

式中：R為篩孔尺寸x的篩上累積，%；b為與破碎方式有關(guān)的常數(shù)；m為與物料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

對式 (3) 兩邊取 2 次對數(shù)，得

式中：y為篩孔尺寸x的篩下累積產(chǎn)率，即篩下累積，%。

可得

將式 (5) 代入式 (4)，可得

顯然，在以 lnx為橫坐標(biāo)，lnln [100/(100 -y)]為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，lnx與 lnln [100/(100 -y)] 之間呈直線關(guān)系，m為直線斜率，lnb為縱軸截距。

2 粒度方程試驗驗證與分析

2.1 輥壓試驗方法

智能礦山重型裝備全國重點實驗室建立了水泥原料輥壓機(jī)終粉磨工藝裝備選型試驗方法[7]。輥壓試驗機(jī)規(guī)格為φ420-100，輥子直徑為 420 mm，輥面寬度為 100 mm，試驗液壓缸壓力在 1.5～ 3.5 MPa，輥子外緣線速度為 0.46 m/s，試驗入料粒度為 -13.2 mm。試驗分為開路試驗和閉路試驗，閉路試驗流程如圖1所示。

圖1 閉路試驗流程Fig.1 Diagram of closed-circuit test flow

閉路輥壓試驗一般經(jīng)過 3～ 4 次循環(huán)試驗可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時給料和排料粒度組成基本保持不變，排料中粗粒級相對減少，物料粒度分布范圍變窄。

2.2 輥壓產(chǎn)品粒度分析方法

輥壓產(chǎn)品的粒度分析以干法、套篩的形式進(jìn)行，由小到大篩孔尺寸為：0.080、0.106、0.125、0.150、0.200、0.300、0.425、0.600、0.850、1.180、1.700、2.360、3.000、5.000、6.700、9.500 和 13.200 mm，共 17 個粒級。由于輥壓過程中可能形成料餅，為避免料餅對篩分結(jié)果的影響，在粒度篩分前，先對樣品中的料餅進(jìn)行了打散處理。同時在篩分過程中執(zhí)行達(dá)到篩分終點的原則[2]，以確保篩析結(jié)果能準(zhǔn)確反應(yīng)輥壓產(chǎn)品的粒度分布，并為后續(xù)對不同條件下的試驗結(jié)果進(jìn)行對比提供了統(tǒng)一基準(zhǔn)。

2.3 G 方程式和 RR 方程式驗證與分析

某水泥原料輥壓試驗開路輥壓中心料 A2C、開路輥壓邊緣料 A2S 以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C 的篩分粒度分析數(shù)據(jù)如表1 所列。

表1 某水泥原料輥壓樣品粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)Tab.1 Particle size screening data of a cement raw material rolling sample

根據(jù)式 (2)，由表1 數(shù)據(jù)分別計算出 17 個篩孔尺寸x相應(yīng) lnx和篩下累積y相應(yīng)的 lny，在 Excel 中以 lnx為x數(shù)組，lny為y數(shù)組，利用最小二乘法原理，計算 G 方程式參數(shù)k、Ag，獲得 3 個樣品的 G 方程式。同理，根據(jù)式 (6)，以lnx為x數(shù)組，lnln [100/(100 -y)] 為y數(shù)組，利用最小二乘法原理，計算 RR方程式參數(shù)m、b，求得 3 個樣品的 RR 方程式，兩個方程式回歸結(jié)果如表2 所列。

表2 G 方程式和 RR 方程式回歸結(jié)果Tab.2 Regression results of G equation and RR equation

由表2 G 方程式和 RR 方程式，計算不同篩孔尺寸x對應(yīng)的擬合值Y，然后與表1 中的實際篩分值y進(jìn)行比較，計算篩分值y與擬合值Y的差值，即為殘差s，以殘差平方和∑s2來判斷方程式的擬合精度，殘差平方和∑s2越小認(rèn)為方程式越優(yōu)越。

針對開路輥壓中心料 A2C、開路輥壓邊緣料 A2S以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C，應(yīng)用 G 方程式和 RR方程式進(jìn)行擬合，得到殘差分布圖，結(jié)果如圖2～ 4所示。

圖2 中心料 A2C 各粒級殘差分布Fig.2 Residual distribution of each particle size of central material A2C

由圖2 可以看出：采用 G 方程式進(jìn)行中心料A2C 粒度分布的擬合，13.200、9.500 mm 粒級殘差較大，分別達(dá)到 24.7% 和 11.2%，從而導(dǎo)致殘差平方和增加到 988.7，而 RR 方程式殘差平方和較小為271.4；但在 0.080 到 0.300 mm 區(qū)間內(nèi)，RR 方程式的殘差明顯大于 G 方程式；在 0.300 到 6.700 mm 區(qū)間內(nèi)，RR 方程式的殘差也明顯大于 G 方程式。對中心料 A2C 而言，不論是 G 方程式，還是 RR 方程式，其擬合誤差均較大，沒有實際使用價值。

由圖3 可以看出：采用 G 方程式進(jìn)行邊緣料 A2S粒度分布的擬合，G 方程式各粒級殘差較小，殘差最大值為 4.3%，殘差平方和為 30.6，遠(yuǎn)小于 RR 方程式殘差平方和 639.4。邊緣料可以被認(rèn)為是類似于破碎機(jī)的破碎產(chǎn)品。所以對于邊緣料的擬合，G 方程式擬合精度較高，反映了 G 方程式對破碎產(chǎn)品進(jìn)行擬合是可行的。

圖3 邊緣料 A2S 各粒級殘差分布Fig.3 Residual distribution of each particle size of edge material A2S

由圖4 可以看出：采用 RR 方程式進(jìn)行穩(wěn)定中心料 B4C 粒度分布的擬合，RR 方程式各粒級殘差明顯較小，殘差最大值為 4.1%，RR 方程式殘差平方和為50.49，遠(yuǎn)小于 G 方程式殘差平方和為 2 118.8。對輥壓閉路穩(wěn)定產(chǎn)品而言，RR 方程式較優(yōu)。

圖4 穩(wěn)定中心料 B4C 各粒級殘差分布Fig.4 Residual distribution of each particle size of stable central material B4C

綜觀圖2～ 4 可知，存在一個共性，即在 0.080到 0.300 mm 粒度范圍內(nèi)，兩種方程式擬合殘差都較小，但在擬合的粒度區(qū)間擴(kuò)展到 13.200 mm 后，兩種方程式擬合的殘差都大幅增加。分析式 (2) 和式 (6)，參數(shù)k和m均為定值，如果粒度分布曲線的斜率變化較小，回歸精度必然很高，但輥壓產(chǎn)品粒度分布曲線的斜率會隨篩孔尺寸x不斷變化，在以 lnx為橫坐標(biāo)，lny為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中，輥壓產(chǎn)品的粒度分布曲線大多呈現(xiàn)為上凸形狀。對于閉路穩(wěn)定產(chǎn)品的粒度分布曲線更為明顯，表現(xiàn)為由分級篩位置向較粗方向上的曲線斜率明顯增加，然后在達(dá)到粒度上限時趨于平緩，甚至為零。

RR 方程式中，開路輥壓中心料樣品 A2C、開路輥壓邊緣料樣品 A2S 以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C，不同篩孔尺寸x的斜率變化如圖5 所示。

圖5 RR 方程式中不同篩孔尺寸的曲線斜率分布Fig.5 Curve slope distribution of different screen sizes in RR equation

綜合分析，在方程式中引入描述篩分曲線不同位置斜率的參數(shù)有可能是提高方程擬合精度的有效辦法，由于 RR 方程進(jìn)行了兩次取對數(shù)，對平滑斜率變化更有利，故在 RR 方程式中引入斜率修正參數(shù)進(jìn)行嘗試。

在RR 方程式中引入?yún)?shù)M和N，將原方程式中的參數(shù)m變?yōu)橐粋€與篩孔尺寸x有關(guān)的函數(shù)，關(guān)系如式(7)所示。

將式 (7) 代入式 (3)，可得新 RR 方程式

對表1 粒度分布數(shù)據(jù)重新進(jìn)行擬合分析，計算參數(shù)b、M、N，得到 3 個樣品的粒度特性回歸方程式如表3 所列。

表3 新 RR 方程式回歸結(jié)果Tab.3 Regression results of new RR equation

由表3 數(shù)據(jù)，計算新 RR 方程式擬合的篩下累積Y，并與實際篩分值y做差，計算新方程式各粒級殘差s，殘差s分布及與修正前殘差的比較如圖6～ 8 所示。

圖6 新 RR 方程 A2C 各粒級殘差分布Fig.6 Residual distribution of each particle size of A2C in new RR equation

由圖6 可以看出：利用新 RR 方程式進(jìn)行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 1.9%，殘差平方和∑s2為 15.23；而原 RR 方程式殘差平方和 ∑s2為271.4，新 RR 方程式的擬合效果明顯較好。

由圖7 可以看出：利用新 RR 方程式進(jìn)行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 2.0%，殘差平方和 ∑s2為9.91；而 RR 方程式殘差平方和∑s2為 639.4，新 RR方程式的擬合效果明顯較好。

圖7 新 RR 方程 A2S 各粒級殘差分布Fig.7 Residual distribution of each particle size of A2S in new RR equation

由圖8 可以看出：利用新 RR 方程式進(jìn)行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 1.2%，殘差平方和∑s2為6.2；而 RR 方程式殘差平方和∑s2為 50.49，新 RR 方程式的擬合效果明顯較好。

圖8 新 RR 方程 B4C 各粒級殘差分布Fig.8 Residual distribution of each particle size of B4C in new RR equation

由圖6～ 8 可知，新 RR 方程的殘差明顯減小，為進(jìn)一步確認(rèn)新 RR 方程式的可靠性，對數(shù)據(jù)庫中的17 組輥壓數(shù)據(jù)均以新 RR 方程式進(jìn)行回歸計算，并與篩分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 新 RR 方程式擬合值與篩分值對比Fig.9 Comparison between fitting value and screening value of new RR equation

由圖9 可以看出，新 RR 方程式回歸結(jié)果與實際篩分結(jié)果非常接近，于是認(rèn)為新 RR 方程式是可以作為水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度分布的回歸方程式。

3 結(jié)語

(1) 在 RR 方程中引入描述粒度曲線斜率的參數(shù)M、N，將原固定斜率變?yōu)橐粋€與篩孔尺寸有關(guān)的函數(shù)，方程的擬合精度明顯提升，能夠較為準(zhǔn)確描述水泥原料輥壓產(chǎn)品開路中心料、開路邊緣料以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料的粒度分布，是理想的方程形式。在Excel 軟件中利用規(guī)劃求解功能，可以方便地進(jìn)行參數(shù)b、M、N的計算，從而確定粒度分布方程。

(2) 通過粒度分布方程可以求得任意x值對應(yīng)的篩下累積y，尤其對于獲得較難篩分的小粒級篩下累積數(shù)據(jù)極為便捷。