摘" 要：以“有理數(shù)”單元復(fù)習(xí)為例，以單元學(xué)習(xí)主題為統(tǒng)領(lǐng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，立足整體視角，深度剖析教材，關(guān)注中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中相應(yīng)內(nèi)容在知識(shí)和學(xué)習(xí)方法上的相似之處，著力培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、應(yīng)用的能力，從而有效提升其數(shù)系擴(kuò)充思想.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；單元學(xué)習(xí)

以單元學(xué)習(xí)主題為統(tǒng)領(lǐng)的教學(xué)設(shè)計(jì)作為深度學(xué)習(xí)的實(shí)施途徑，在區(qū)域內(nèi)開(kāi)始逐步從理念走向行動(dòng)，旨在引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí). 從教的角度來(lái)看，只有把握好知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性，才能明確教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)出本質(zhì)而自然的學(xué)習(xí)活動(dòng)；從學(xué)的角度來(lái)看，只有注重整體性，才能培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的基本“套路”. 以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）“有理數(shù)”單元復(fù)習(xí)為例，從深度學(xué)習(xí)的角度闡述本節(jié)課的教學(xué).

一、立足整體視角，深度剖析教材立意

“有理數(shù)”單元作為初中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容的起始，是初中階段代數(shù)學(xué)習(xí)的開(kāi)端. 有理數(shù)的復(fù)習(xí)課不僅是要羅列零散的有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容，而且要讓學(xué)生感悟到有理數(shù)系的擴(kuò)充與負(fù)數(shù)的引入體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想，擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)研究套路. 掌握這種研究的基本思想和基本套路，有利于整個(gè)初中階段代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

有理數(shù)產(chǎn)生的背景包括如下兩個(gè)方面.（1）數(shù)不夠用了. 生活和生產(chǎn)中一些具有相反意義的量需要從數(shù)學(xué)角度加以刻畫(huà)和表示.（2）數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求. 自然數(shù)集中，加法和乘法的逆運(yùn)算不能通行. 本章有理數(shù)系的擴(kuò)充歷程如表1所示.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷對(duì)本章所學(xué)知識(shí)的回顧與思考過(guò)程，通過(guò)類比自然數(shù)的學(xué)習(xí)路徑將本章內(nèi)容條理化、系統(tǒng)化.

（2）在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)用算理進(jìn)行計(jì)算，感受數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般思想，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和幾何直觀.

（3）通過(guò)知識(shí)間的縱向聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性，歸納出數(shù)系的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法.

二、一般觀念引領(lǐng)，深度構(gòu)建教學(xué)主線

環(huán)節(jié)1：概念之源，引發(fā)深度探究與思考.

情境：某公司生產(chǎn)了一種新型機(jī)器人，為了測(cè)試機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能，給它設(shè)置了如下程序：從點(diǎn)A出發(fā)，連續(xù)不斷地一左一右來(lái)回運(yùn)動(dòng)（第一次向左運(yùn)動(dòng)），運(yùn)動(dòng)的距離依次為1米，2米，3米，4米，……則第4次運(yùn)動(dòng)后的位置在點(diǎn)A的_______側(cè)；第101次運(yùn)動(dòng)后的位置在點(diǎn)A的_________側(cè).

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并解決問(wèn)題. 學(xué)生以點(diǎn)A為原點(diǎn)，把向左運(yùn)動(dòng)1米記為-1米，向右運(yùn)動(dòng)1米記為+1米，由此發(fā)現(xiàn)奇數(shù)次運(yùn)動(dòng)后機(jī)器人所在位置表示的數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)次運(yùn)動(dòng)后機(jī)器人所在位置表示的數(shù)為正數(shù)，從而根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義確定運(yùn)動(dòng)后機(jī)器人的位置. 教師總結(jié)引入負(fù)數(shù)的必要性，并提出如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：你知道是哪個(gè)國(guó)家的人最先使用負(fù)數(shù)的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)系擴(kuò)充的角度來(lái)看，人們對(duì)負(fù)數(shù)的“認(rèn)可”經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程. 通過(guò)情境中的兩個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明引入負(fù)數(shù)的必要性，這既是滿足生產(chǎn)、生活實(shí)際的需求，又可以解決小數(shù)減大數(shù)的問(wèn)題. 讓學(xué)生體驗(yàn)這個(gè)過(guò)程，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)研究的“味道”. 接著，介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)于負(fù)數(shù)的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度欣賞代數(shù)發(fā)展的過(guò)程，感受早期數(shù)學(xué)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)知識(shí)折射出人類的意志和智慧. 數(shù)學(xué)史讓學(xué)生產(chǎn)生的民族自豪感，會(huì)潛移默化的熏陶學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的精神之美.

環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}引領(lǐng)，引發(fā)深度交流對(duì)話.

問(wèn)題2：在“有理數(shù)”一章，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

追問(wèn)：是怎么學(xué)習(xí)的？

師生討論后，教師展示如圖1所示的自然數(shù)的學(xué)習(xí)路徑.

問(wèn)題3：小學(xué)階段學(xué)習(xí)了哪幾類數(shù)？引入負(fù)數(shù)后，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)的基礎(chǔ)上增加了哪幾類數(shù)？

追問(wèn)：有理數(shù)的定義是什么？能不能對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類？你能不能列舉一些有理數(shù)？我們能否用符號(hào)表示這些數(shù)？

問(wèn)題4：能否用更直觀的方式表示這些數(shù)？

追問(wèn)：觀察2和-2，這兩個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？你能用數(shù)軸解釋相反數(shù)和絕對(duì)值嗎？

問(wèn)題5：我們?cè)賮?lái)觀察2和-2，它們是由幾部分組成的？

追問(wèn)：數(shù)軸上的點(diǎn)的位置是由什么確定的？

教師總結(jié)：對(duì)于數(shù)與形，符號(hào)對(duì)應(yīng)著形（點(diǎn)）的方向，絕對(duì)值對(duì)應(yīng)著形（點(diǎn)）的距離，數(shù)軸是數(shù)與形的第一次融合，是我們今后解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.

問(wèn)題6：怎樣比較有理數(shù)的大?。?/p>

問(wèn)題7：如何學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算？

追問(wèn)：有理數(shù)的運(yùn)算法則有什么共同之處？

教師展示教材內(nèi)容并總結(jié)：自然數(shù)擴(kuò)充為有理數(shù)后，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律可能會(huì)發(fā)生變化，所以教材通過(guò)舉例，引導(dǎo)我們從數(shù)和形兩個(gè)方面來(lái)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納出有理數(shù)加法法則，這也體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法. 接著，在有理數(shù)加法的基礎(chǔ)上，我們研究了減法、乘法、除法、乘方，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中的運(yùn)算律保持不變.

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)情角度來(lái)看，經(jīng)過(guò)小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從日常生活中抽象出自然數(shù)的過(guò)程，能夠掌握自然數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，但這種認(rèn)識(shí)往往流于經(jīng)驗(yàn)的層面，對(duì)于自然數(shù)的學(xué)習(xí)路徑缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識(shí). 因此，筆者通過(guò)如圖2所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)自然數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，體會(huì)和總結(jié)數(shù)系研究的內(nèi)容、思路和方法，進(jìn)行自然數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)整理，接著類比自然數(shù)復(fù)習(xí)有理數(shù). 通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，學(xué)生重走了有理數(shù)的概念抽象及運(yùn)算法則的形成之路，在潛移默化中感悟了數(shù)系擴(kuò)充思想.

環(huán)節(jié)3：拓展應(yīng)用，引發(fā)深度知識(shí)遷移.

自我檢測(cè)：

（2）某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送5批客人（每送完一批客人，出租車行車記錄歸零），行駛路程記錄如表2所示.（規(guī)定向南為正，向北為負(fù).）

① 接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司的路程為多少？

② 若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這個(gè)過(guò)程中共耗油多少？

① 分別計(jì)算2 * （-1）和（-1） * 2的值.

② 試探索這種新定義運(yùn)算“*”是否滿足交換律？是否滿足結(jié)合律？并說(shuō)明理由．

③ 當(dāng)a = b時(shí)，若a * b = 5，求出a的值．

【設(shè)計(jì)意圖】“有理數(shù)”單元中涉及的核心能力是運(yùn)算能力. 本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生明確有理數(shù)運(yùn)算的算理，形成優(yōu)算的意識(shí)；進(jìn)一步讓學(xué)生遷移已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能夠基于已有經(jīng)驗(yàn)正確理解新的運(yùn)算規(guī)則，理清算理. 學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納地解決問(wèn)題的過(guò)程，再次體會(huì)從特殊到一般的思想，感受代數(shù)的核心思想，即“引進(jìn)一種新數(shù)，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律”.

環(huán)節(jié)4：整體歸納，引發(fā)深度構(gòu)建聯(lián)系.

問(wèn)題8：如果在有理數(shù)的基礎(chǔ)上引進(jìn)新的數(shù)，你覺(jué)得我們要怎么學(xué)習(xí)擴(kuò)充后的數(shù)系呢？

學(xué)生回答后，師生總結(jié)出如圖3所示的研究路徑.

【設(shè)計(jì)意圖】該教學(xué)片斷承接上述綜合運(yùn)用題的第③小題，學(xué)生通過(guò)估算的方法可以發(fā)現(xiàn)a的值不是有理數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)已學(xué)的有理數(shù)仍然不夠用，需要引進(jìn)新的數(shù)才能解決問(wèn)題. 此環(huán)節(jié)承上啟下，既讓學(xué)生建立了數(shù)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，又讓學(xué)生掌握了數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)研究基本套路，為后續(xù)新數(shù)系的研究打下了基礎(chǔ).

三、教學(xué)反思

1. 深度學(xué)習(xí)：從整體構(gòu)建走向積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

根據(jù)深度學(xué)習(xí)理論，初中階段的教師要能夠呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)，以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織、整合，盡可能地體現(xiàn)內(nèi)容本質(zhì)之間的聯(lián)系. 在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，從縱向看：數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了“自然數(shù)系—有理數(shù)系—實(shí)數(shù)系—復(fù)數(shù)系”的過(guò)程，它們具有共同的研究思路，即“引入—定義—表示—性質(zhì)—運(yùn)算與運(yùn)算律”；從橫向看，從數(shù)到式，用字母表示數(shù)，在式的學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生新的運(yùn)算對(duì)象——單項(xiàng)式，由單項(xiàng)式加減法產(chǎn)生多項(xiàng)式，進(jìn)而由單項(xiàng)式除法產(chǎn)生分式，由開(kāi)方產(chǎn)生根式，等等. 對(duì)于這些新的運(yùn)算對(duì)象也具有一致的研究思路，即“定義—表示—性質(zhì)—運(yùn)算”. 這種研究的基本套路體現(xiàn)了代數(shù)各系統(tǒng)之間邏輯的連貫性和思想方法的一致性. 因此，如果教師在教學(xué)中樹(shù)立整體觀，從整體性角度去設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，統(tǒng)攬全局，將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

本課例中，通過(guò)類比自然數(shù)系的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生構(gòu)建有理數(shù)系的學(xué)習(xí)路徑，最后讓學(xué)生自主構(gòu)建實(shí)數(shù)系的學(xué)習(xí)路徑. 大部分學(xué)生能夠在一般觀念的引領(lǐng)下設(shè)計(jì)出實(shí)數(shù)系的研究思路和研究?jī)?nèi)容，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)對(duì)代數(shù)研究的基本套路有了初步的感悟.

2. 深度學(xué)習(xí)：從理解本質(zhì)走向?qū)W生思維發(fā)展

從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)看，一堂課往往新就新在思維過(guò)程上，高就高在思想性上，好就好在學(xué)生參與活動(dòng)的深度上. 有思想深度的課，能給學(xué)生留下長(zhǎng)久的心靈激蕩和對(duì)知識(shí)的深刻理解，以后即使忘記了具體的知識(shí)，但數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方法將長(zhǎng)久存在. 在數(shù)系及其運(yùn)算的擴(kuò)充過(guò)程中，核心問(wèn)題是在添加了一類“新數(shù)”后，如何將所引進(jìn)的新數(shù)之間的運(yùn)算歸結(jié)到原有的數(shù)之間的運(yùn)算而定義運(yùn)算法則，進(jìn)而使原有的運(yùn)算律在新的數(shù)系中得以保持. 這種數(shù)系擴(kuò)充的思想在新課的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)潛移默化地滲透過(guò)，所以在本節(jié)課的教學(xué)中讓學(xué)生把這種數(shù)系擴(kuò)充的思想顯化出來(lái)，能促使學(xué)生深刻理解數(shù)系擴(kuò)充的本質(zhì).

本課例中，教師先通過(guò)問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生自主重構(gòu)有理數(shù)研究的基本套路，然后通過(guò)5個(gè)問(wèn)題，在一般觀念的引領(lǐng)下整體設(shè)計(jì)有理數(shù)復(fù)習(xí)的過(guò)程，為學(xué)生重現(xiàn)有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，再現(xiàn)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程，最后通過(guò)新定義運(yùn)算的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在領(lǐng)悟有理數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律內(nèi)涵的過(guò)程中體會(huì)從特殊到一般的研究過(guò)程和方法，使學(xué)生既學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，又學(xué)會(huì)歸納、概括，從而逐步發(fā)展學(xué)生的高階思維，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法來(lái)思考問(wèn)題的習(xí)慣.

3. 深度學(xué)習(xí)：從發(fā)展素養(yǎng)走向創(chuàng)新遷移應(yīng)用

深度學(xué)習(xí)理論是以核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)的. 在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，通過(guò)將內(nèi)容有機(jī)整合、整體設(shè)計(jì)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)理解性學(xué)習(xí)、批判性思考、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)及創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的形成. 從理念走向行動(dòng)，需要抓住核心知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，即突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).“有理數(shù)”單元中，核心知識(shí)是有理數(shù)的概念和有理數(shù)的運(yùn)算，核心能力是運(yùn)算能力. 運(yùn)算能力的培養(yǎng)是本章教學(xué)的重中之重. 引入負(fù)數(shù)后，對(duì)負(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)符號(hào)的處理是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

本課例中，學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，逐步加深對(duì)于負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí). 環(huán)節(jié)1中，通過(guò)情境問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧負(fù)數(shù)的概念，理解負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量；環(huán)節(jié)2中，通過(guò)對(duì)數(shù)軸的再認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解負(fù)號(hào)是表示一個(gè)數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)；環(huán)節(jié)3中，通過(guò)有理數(shù)的運(yùn)算引導(dǎo)學(xué)生理解負(fù)號(hào)不僅可以表示性質(zhì)符號(hào)，還可以表示運(yùn)算符號(hào)，有理數(shù)的運(yùn)算要先定符號(hào)再定值. 在“理解運(yùn)算對(duì)象（有理數(shù)）—掌握運(yùn)算法則（有理數(shù)運(yùn)算法則）—探索運(yùn)算思路（理解算理，選擇算法）—遷移到對(duì)新的運(yùn)算法則的應(yīng)用”的過(guò)程中，學(xué)生從具體形象思維不斷向抽象邏輯思維過(guò)渡，初步建立了符號(hào)意識(shí)，在探究有理數(shù)運(yùn)算的過(guò)程中不斷體會(huì)、研究運(yùn)算的方法，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力逐步得到提升.

四、結(jié)束語(yǔ)

開(kāi)展深度教學(xué)，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，讓培育核心素養(yǎng)從理念走向行動(dòng)是我們追求的目標(biāo). 當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，對(duì)教師自身來(lái)說(shuō)也是一個(gè)挑戰(zhàn)，需要對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容或知識(shí)鏈有整體把握，需要把握知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，需要提高自身的學(xué)科素養(yǎng)，這樣才能設(shè)計(jì)出體現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)，循序漸進(jìn)地實(shí)現(xiàn)學(xué)生整體素養(yǎng)的提升.

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