王 媛, 王慧男, 盛正大, 王 芳

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

對(duì)相對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)建模時(shí), 用分?jǐn)?shù)階微積分方程建模比整數(shù)階模型更加簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確[1-3], 可以很好地表達(dá)時(shí)間記憶效果, 精確描述物理力學(xué)問(wèn)題, 因此分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有較高的研究?jī)r(jià)值. 目前分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、黏性流體力學(xué)、信號(hào)處理、生物工程學(xué)、控制理論等領(lǐng)域[4-6].

近些年關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展. Guo等[7]研究了廣義Van der Pol系統(tǒng)在白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)分岔行為; Mathiyalagan等[8]利用Gronwall和隨機(jī)分析的方法, 研究了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在噪聲作用下的有限時(shí)間穩(wěn)定性; 唐建花等[9]采用平均法研究了含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼項(xiàng)的Van der Pol-Duffing振子的隔振效果, 并討論了不同參數(shù)對(duì)力傳遞率的影響. 但由于系統(tǒng)的復(fù)雜性, 許多控制系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)都不可避免地受到過(guò)去狀態(tài)的影響, 即系統(tǒng)存在一種名為時(shí)滯的特性. 它的存在一方面可以讓系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差; 另一方面利用時(shí)滯設(shè)計(jì)系統(tǒng)可以改善其控制效果, 很多學(xué)者將時(shí)滯反饋?lái)?xiàng)引入系統(tǒng)中進(jìn)行研究: 邱偉達(dá)等[10]研究了在Lévy噪聲激勵(lì)下含有時(shí)滯反饋的FHN神經(jīng)元系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為, 發(fā)現(xiàn)時(shí)滯以及噪聲偏斜參數(shù)均能引起神經(jīng)元系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變; 尚慧琳等[11]研究了引入時(shí)滯位置反饋后微陀螺系統(tǒng)的振動(dòng)跳躍現(xiàn)象等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為; 段緒星等[12]研究了在加性白噪聲的激勵(lì)下, 時(shí)滯反饋對(duì)三穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響. 可見(jiàn)引入時(shí)滯確實(shí)會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成一定的影響, 而目前將時(shí)滯反饋?lái)?xiàng)引入分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究還不多, 且選取的噪聲以白噪聲為主, 對(duì)于其他噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)的研究還比較欠缺. 因此本文研究了色噪聲激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯項(xiàng)的廣義Van der Pol系統(tǒng)的隨機(jī)分岔行為, 并運(yùn)用隨機(jī)平均法分析了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及時(shí)滯等參數(shù)的改變對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)P-分岔的影響.

1 含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的廣義Van der Pol系統(tǒng)

考慮在色噪聲激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的廣義Van der Pol系統(tǒng):

(1)

其中ε為線性阻尼系數(shù),β1,β2,β3,β4,μ為非線性阻尼系數(shù),w為系統(tǒng)的自然角頻率,b1,b2為常數(shù),N(t)為色噪聲, 其均值和相關(guān)函數(shù)滿足(2)式, 其功率譜密度為(3)式

(2)

(3)

在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下, 方程(1)中x(t-τ)的p階導(dǎo)數(shù)定義[13]如下所示:

(4)

這里n-1

為方便計(jì)算, 由文獻(xiàn)[14-15]可知, 將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)換為一種回復(fù)力和阻尼力的線性組合, 進(jìn)而得到以下的等效系統(tǒng)

(5)

其中β(p)是等效阻尼力的系數(shù),α(p)是等效回復(fù)力的系數(shù).

系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的誤差為

(6)

由最小均方誤差原則[16-17]可知

(7)

將(6)式代入(7)式中計(jì)算可得

(8)

將(1)式的解設(shè)為以下形式:

(9)

將(9)式代入(8)式并對(duì)φ積分平均, 經(jīng)化簡(jiǎn)可得

(10)

將(10)式代入(5)式中, 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成如下形式:

(11)

其中

(12)

引入如下變換[18]:

(13)

其中a(t),θ(t)分別為系統(tǒng)的幅值過(guò)程和相位過(guò)程. 根據(jù)廣義Van der Pol變換, 將(13)式代入(11)式, 由確定性平均法可得以下隨機(jī)微分方程

(14)

其中

(15)

(16)

其中B1(t),B2(t)是標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程, 且

(17)

運(yùn)用隨機(jī)平均法[19], 將(14)式轉(zhuǎn)化為如下的平均It隨機(jī)微分方程

(18)

其中的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)分別為

(19)

由(18)式及(19)式可知, 方程中a(t)的表達(dá)式與θ(t)是相互獨(dú)立的, 可得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)幅值的FPK方程如下

(20)

(21)

其中C為歸一化常數(shù), 且滿足

2 系統(tǒng)的隨機(jī)P-分岔分析

這一節(jié)主要分析參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔的影響, 并通過(guò)觀察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)PDF曲線圖的峰值個(gè)數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)是否發(fā)生了隨機(jī)P-分岔現(xiàn)象.

當(dāng)b1=1,b2=0時(shí), 系統(tǒng)受加性噪聲的影響, 將(19)式代入(21)式,得

(22)

為了方便表示, 可將p(a)設(shè)為如下形式

p(a)=CR(a,D,ε,w,p,τ,β1,β2,β3) exp[Q(a,D,ε,w,p,τ,β1,β2,β3)],

(23)

(24)

2.1 參數(shù)p對(duì)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔的影響

固定參數(shù)[20]β1=1.45,β2=2.81,β3=-1.68,w=1,τ0=0.3,ε=0.2, 給定參數(shù)τ=0.5,μ=0.5,D=0.003, 通過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)p取不同的值, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見(jiàn)圖1)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見(jiàn)圖2).

(a) p=0.70

(b) p=0.16

(a) p=0.70

(b) p=0.16

由圖1及圖2可知, 在改變參數(shù)p之后, 系統(tǒng)發(fā)生了分岔行為. 當(dāng)p=0.70時(shí), 系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點(diǎn)不遠(yuǎn)處有一個(gè)較明顯的峰; 隨著參數(shù)p的減小, 概率密度函數(shù)曲線在離原點(diǎn)更近的地方出現(xiàn)兩個(gè)明顯的峰, 即系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷. 結(jié)合圖2(a)和(b)所對(duì)應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線的局部截面, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生了由單峰分布到雙峰分布的躍遷. 由此得出結(jié)論, 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)p的變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)P-分岔行為.

2.2 參數(shù)τ對(duì)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔的影響

選取參數(shù)p=0.15,μ=0.5,D=0.008, 通過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)τ取不同的值, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見(jiàn)圖3)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見(jiàn)圖4).

由圖3及圖4可知, 在改變參數(shù)時(shí)滯τ之后, 系統(tǒng)同樣發(fā)生了分岔行為. 當(dāng)τ=0.32時(shí), 系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點(diǎn)不遠(yuǎn)處有一個(gè)較明顯的峰, 隨著參數(shù)τ的增大, 概率密度函數(shù)曲線在離原點(diǎn)更近的地方先后出現(xiàn)一低一高兩個(gè)明顯的峰, 即系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷; 結(jié)合圖4(a)和(b)可知,相應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線的局部截面圖的峰由一個(gè)變成了兩個(gè). 由此說(shuō)明時(shí)滯τ的引入可以誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔.

(a) τ=0.32

(b) τ=0.47

(a) τ=0.32

(b) τ=0.47

2.3 參數(shù)μ對(duì)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔的影響

最后給定參數(shù)p=0.15,τ=0.5,D=0.007, 改變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)μ, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見(jiàn)圖5)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見(jiàn)圖6).

由圖5及圖6可知, 在改變參數(shù)μ之后, 系統(tǒng)同樣發(fā)生了分岔行為. 當(dāng)μ=0.2時(shí),系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點(diǎn)很近的地方有一個(gè)較明顯的峰, 當(dāng)μ=0.42時(shí), 概率密度函數(shù)曲線開(kāi)始先后出現(xiàn)一高一低兩個(gè)峰, 即隨著參數(shù)μ的增大, 系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷;結(jié)合圖6相應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線立體圖,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了單峰分布和雙峰分布. 由此說(shuō)明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)μ的變化可以導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P-分岔的行為.

(a) μ=0.2

(b) μ=0.42

(a) μ=0.2

(b) μ=0.42

3 結(jié)論

本文主要研究了在廣義Van der Pol系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階項(xiàng)引入時(shí)滯反饋和非線性阻尼項(xiàng)后, 在色噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)分岔問(wèn)題. 首先將其中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)換為一種回復(fù)力和阻尼力的線性組合, 將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)變換為整數(shù)階系統(tǒng)之后, 用隨機(jī)平均法求得伊藤隨機(jī)微分方程和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù). 用Matlab繪圖驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)p以及時(shí)滯τ等參數(shù)的改變能引起系統(tǒng)的平穩(wěn)PDF曲線發(fā)生單峰到雙峰的躍遷, 即系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機(jī)P-分岔行為. 利用上述特性, 可以對(duì)廣義的Van der Pol系統(tǒng)進(jìn)行深入研究, 以減少隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)造成的影響.