唐海軍, 王佳佳, 黃維燕

(1.四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 達(dá)州 635000;2.四川省達(dá)州中學(xué), 四川 達(dá)州 635711)

在新高考背景下,數(shù)學(xué)試題對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有引導(dǎo)和促進(jìn)作用.數(shù)學(xué)試題的分析是認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)取向和鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的主要手段.學(xué)生對(duì)一道試題數(shù)學(xué)本質(zhì)與求解方法的溯源分析,有助于提升他們的問題解決能力和促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.然而,長期以來,題海戰(zhàn)術(shù)嚴(yán)重困擾著數(shù)學(xué)教學(xué).一方面,在試題講評(píng)課上,“教師示范解答,學(xué)生重復(fù)練習(xí)”,“師生就題論題”而缺乏試題求解的本源知識(shí)和通性通法分析,造成學(xué)生在新的情境中解決問題遷移困難.另一方面,在高考數(shù)學(xué)試題的分析中,部分教師只是按部就班地進(jìn)行若干試題的分解或者僅僅簡單地羅列出近似的高考題,而沒有分析試題之間的聯(lián)系,導(dǎo)致課堂出現(xiàn)“一講就懂、一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象.弗里德曼[1]認(rèn)為“若學(xué)生解題只是為了得一個(gè)答案或重復(fù)解題,沒有在應(yīng)有的程度上分析題目,就不能從解題活動(dòng)中獲得一般方式和方法”.因此,對(duì)于試題進(jìn)行溯源分析十分重要.本文以2022年全國甲卷理科數(shù)學(xué)第21題為例闡述數(shù)學(xué)教師實(shí)施試題溯源的緣由、內(nèi)容和途徑.

1 高考數(shù)學(xué)試題溯源的緣由

溯源是人們以某種題材為載體追根尋本的一種思考問題的模式.試題溯源是一種對(duì)試題進(jìn)行深入地“逆向”分析的學(xué)習(xí)活動(dòng).試題溯源核心目的是發(fā)現(xiàn)試題的繼承與變化規(guī)律,以及問題解決的一般方法.具體而言,師生要實(shí)施試題溯源的原因在于四個(gè)方面.

1.1 試題溯源是要在數(shù)學(xué)要素之間揭示普遍聯(lián)系

數(shù)學(xué)試題的解決就是在問題涉及的各要素、問題條件與待解問題之間,建立起普遍聯(lián)系的過程.從哲學(xué)來看,事物之間以及事物內(nèi)部諸要素存在著相互作用和相互影響的聯(lián)系.外在現(xiàn)象是事物可以被直接感知的表面的東西;內(nèi)在本質(zhì)則是事物的內(nèi)部聯(lián)系.外在現(xiàn)象不能直接把握,必須通過理性的思考分析才能認(rèn)識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)中,“具體的數(shù)學(xué)問題僅僅反映出問題本身的表面現(xiàn)象,它是問題本身的一種表現(xiàn)形式,而題源反映的卻是數(shù)學(xué)問題的深層結(jié)構(gòu)和真正含義[2]”.所以,學(xué)生需要在高考題的分析中,通過試題溯源將試題涉及的數(shù)學(xué)各要素聯(lián)系起來.如本題中,學(xué)生通過閱讀情境,初步提取出試題中的常見元素“函數(shù)”“參數(shù)a”“取值范圍”,再在深度思考的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)、不等式f(x)≥0、方程f(x1)=f(x2)=0三者統(tǒng)一于同一個(gè)問題情境中.因此,學(xué)生如果把握了試題題源,更能認(rèn)清問題的本質(zhì)屬性.

1.2 試題溯源有助于在知識(shí)組塊間形成“結(jié)構(gòu)圖”

數(shù)學(xué)試題解決過程是學(xué)生處理來自外部數(shù)學(xué)情境與內(nèi)部思維信息的過程.從認(rèn)知心理學(xué)看,“如果所有的知識(shí)不分巨細(xì),都羅列在長時(shí)記憶中,那么尋找這些知識(shí)會(huì)有可能要將整個(gè)記憶搜索一遍[3]”,所以學(xué)生先前的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)會(huì)影響到解題時(shí)從“記憶器”中對(duì)信息的提取.數(shù)學(xué)解題中“學(xué)生不具有解決問題的一般技巧和能力,其基本的原因就在于沒有對(duì)自己的解題過程進(jìn)行不斷的分析,不善于從中整理出最常用的演算方法以及缺乏必要的理論基礎(chǔ)[1]”.而試題溯源過程是形成新的更優(yōu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程,相當(dāng)于將問題相關(guān)知識(shí)及思維嵌入一張大圖,并以某些特定的聯(lián)系影響其他知識(shí),與它們結(jié)合,從而形成試題“結(jié)構(gòu)圖”.這有助于學(xué)習(xí)者在今后面臨新的問題情境時(shí)回憶試題的起點(diǎn),回憶相關(guān)知識(shí)“組塊”和出入“記憶器”,從整體的角度將有關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來.

1.3 試題溯源是追求知識(shí)與方法本原的過程

數(shù)學(xué)試題的解答是一個(gè)應(yīng)用通性通法的過程.從教育視角看,奧蘇貝爾認(rèn)為一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的,學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是極為豐富的.試題溯源是一個(gè)追求知識(shí)與方法本原的過程.卡爾·雅思貝爾斯[4]認(rèn)為教育的關(guān)鍵全在于選擇完善的教育內(nèi)容,盡可能使學(xué)生之“思”導(dǎo)向事物的本原而不誤入歧途.涂榮豹[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)解題應(yīng)該把學(xué)生引導(dǎo)到本原的思考、本原的方法上.因此,試題溯源作為一種回溯知識(shí)本原(核心知識(shí))和方法本原(一般方法)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,有助于學(xué)生今后解答試題時(shí),與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和適當(dāng)觀念建立起自然而非人為的聯(lián)系,如本文中提到的高考試題,涉及函數(shù)的單調(diào)性,就需要建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性判斷之間的內(nèi)在聯(lián)系.學(xué)生在試題的溯源過程中鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,掌握數(shù)學(xué)基本方法及思想,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.4 試題溯源是解題學(xué)習(xí)活動(dòng)中的重要任務(wù)

數(shù)學(xué)試題解答總是與以前的解題存在關(guān)聯(lián).“我們幾乎不可能想出一道全新的題目,它和以前解過的題目既不相像,又無聯(lián)系.事實(shí)上,我們在解題時(shí)總是得益于以前曾解過的那些題目,應(yīng)用它們的結(jié)果或者方法,或是我們在解答它們當(dāng)中所獲得的經(jīng)驗(yàn)[6]”.從解題視角看,試題的溯源也是教師有效開展復(fù)習(xí)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù).由于新高考背景下,數(shù)學(xué)試題命制是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),深化基礎(chǔ)考查,突出主干知識(shí),強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透和關(guān)鍵能力的考查,聚焦“教考”銜接和“考選”銜接,突出了高考試題對(duì)中學(xué)教學(xué)改革的引導(dǎo)和促進(jìn)作用,以及數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)人才的選拔功能,所以數(shù)學(xué)教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如選擇一個(gè)有意義的典型試題,去引導(dǎo)學(xué)生溯源分析題目的各個(gè)側(cè)面,提高他們的綜合素質(zhì).

2 高考數(shù)學(xué)試題溯源的內(nèi)容

高考數(shù)學(xué)試題溯源是師生圍繞高考數(shù)學(xué)中的典型真題,回溯試題的數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯、學(xué)生認(rèn)知原點(diǎn)和教材知識(shí)要點(diǎn)等三個(gè)方面的內(nèi)容.

2.1 溯數(shù)學(xué)邏輯之源

試題溯源的第一個(gè)內(nèi)容維度是溯數(shù)學(xué)邏輯之源.奧蘇伯爾認(rèn)為學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)根源在于新知識(shí)要與學(xué)生原有知識(shí)建立合理和本質(zhì)的聯(lián)系.數(shù)學(xué)試題溯源作為一種特殊的學(xué)習(xí)活動(dòng),就是要將新的試題情境與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有觀念建立起非人為、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.因此,試題溯源要關(guān)注溯數(shù)學(xué)邏輯之源.溯源數(shù)學(xué)邏輯就是教師引導(dǎo)學(xué)生探索與分析該試題的知識(shí)與思維邏輯是什么.知識(shí)邏輯是試題涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),是分析試題“考的是什么”的問題.思維邏輯是人們在試題求解過程中,涉及的思維活動(dòng)的規(guī)律,分析試題“求解的途徑是什么”.兩者結(jié)合構(gòu)成數(shù)學(xué)試題基礎(chǔ),包括了數(shù)學(xué)試題涉及的概念、命題、性質(zhì)、公式、基本方法、數(shù)學(xué)思想等數(shù)學(xué)核心內(nèi)容.教師在組織學(xué)生試題溯源時(shí),只有厘清了知識(shí)與思維發(fā)生的本源,科學(xué)地組織了學(xué)習(xí)材料,才能保證學(xué)生在溯源中既能學(xué)到基本的知識(shí)點(diǎn),又能理解試題與題源間的內(nèi)在邏輯性,從學(xué)科意義上建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

對(duì)于本文中的高考試題而言,在數(shù)學(xué)知識(shí)上,函數(shù)主線圍繞以下幾個(gè)主題展開:函數(shù)概念,函數(shù)性質(zhì),函數(shù)模型,函數(shù)應(yīng)用和研究的方法.通過函數(shù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).對(duì)于綜合性的函數(shù)問題,函數(shù)常常與方程、不等式和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交叉命題,成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在思維方法上,“研究函數(shù)會(huì)涉及函數(shù)圖象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和微積分—極限思想[7]”.本題較好地考查了分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.由于函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界變化的模型,“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的引入幫助學(xué)生在用單調(diào)性定性整體描述函數(shù)變化的基礎(chǔ)上,過渡到定量地刻畫一個(gè)更小區(qū)間上(局部)函數(shù)的變化,所以,求解復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、最值和極值問題,需要學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)思想將函數(shù)整體性質(zhì)與局部性質(zhì)結(jié)合起來,定性描述與定量方法融合起來,這成為高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn).溯邏輯之源有助于找到問題求解規(guī)律,實(shí)現(xiàn)多題同解.與2022年全國甲卷第21題類似的有2017年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅲ理科第21題第1問,已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0,求a的值.這樣的類似高考題擁有共同的求解邏輯.

2.2 溯學(xué)生認(rèn)知之源

試題溯源的第二個(gè)內(nèi)容維度是分析認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn).維果茨基認(rèn)為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展主要有兩種情況:一種是學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)水平,一種是學(xué)生可能達(dá)到的發(fā)展水平,在這兩種情況之間存在的水平差異則是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).在試題溯源的學(xué)習(xí)活動(dòng)中,溯源認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)是教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己和同伴已知什么、思維特征、能力水平以及學(xué)習(xí)經(jīng)歷等的反省分析,確定現(xiàn)有水平.教師著眼學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),引領(lǐng)學(xué)生通過復(fù)盤平時(shí)的測評(píng)和總結(jié)類似試題的解答情況,對(duì)解決當(dāng)前試題執(zhí)果索因,不斷尋找題源.教師在這個(gè)過程中為學(xué)生搭建支架,從而幫助學(xué)生超越最近發(fā)展區(qū).

2.3 溯教材內(nèi)容之源

試題溯源的第三個(gè)內(nèi)容維度是探尋教材起點(diǎn).教材是落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容載體,是對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的再一次創(chuàng)造和組織,從而成為教師實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源以及教學(xué)過程的重要參考,也因此成為試卷命題時(shí)設(shè)置題材的主要來源.溯源教材內(nèi)容是教師指導(dǎo)學(xué)生再次對(duì)課本中的概念、定義、定理、法則、公式進(jìn)行理解,進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)公式是如何正用、逆用和活用,并在教材中發(fā)現(xiàn)一些有聯(lián)系的題目.由此,一方面,試題分析時(shí),圍繞典型試題,指導(dǎo)學(xué)生通過變式,識(shí)別和聚焦試題中的關(guān)鍵屬性,依題溯源,回歸教材.另一方面,指導(dǎo)學(xué)生挖掘教材例(習(xí))題的潛在功能,分析它們的普遍化、特殊化或類比情形,建立高考試題與教材典型問題之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3 高考數(shù)學(xué)試題溯源的途徑

在數(shù)學(xué)試題的分析活動(dòng)中,學(xué)生可以通過三種途徑來實(shí)現(xiàn)試題溯源,從而理解題意和優(yōu)化求解的步驟.

3.1 通過直覺形式溯源

直覺形式溯源是指在解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,識(shí)別數(shù)學(xué)試題中的圖形或表達(dá)式中的視覺特征,形成試題求解的粗略框架.這類溯源立足于學(xué)生的直覺思維,是對(duì)一個(gè)問題未經(jīng)嚴(yán)格推理,僅依據(jù)個(gè)體對(duì)事物或問題的感知并迅速對(duì)問題答案做出判斷、猜想、設(shè)想[8].由于數(shù)學(xué)的高度抽象性,在數(shù)學(xué)活動(dòng)中往往只能看到通過數(shù)學(xué)圖形語言和符號(hào)語言組合而成的圖像或表達(dá)式這樣一些“形式化”的材料.在溯源活動(dòng)中,學(xué)生通過觀察和回憶,由直覺去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題情境中存在的各類典型可見的數(shù)學(xué)元素、模型和與以前類似的問題情境.正如波利亞[6]所言“要回憶起某些和目前的題目多少有點(diǎn)聯(lián)系,而且是以前解過的題目,通常毫不困難”.直覺溯源有助于再暴露學(xué)生在理解和解決問題時(shí)的原始想法和思維過程,它為人們繼續(xù)探索這類問題的深層結(jié)構(gòu)提供了研究的對(duì)象與平臺(tái). 由此,在試題溯源活動(dòng)中,教師要讓學(xué)生多嘗試以直覺形式溯源歸納,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力.

函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分,不但可以解決很多與函數(shù)相關(guān)的問題,也可以解決許多非函數(shù)問題(如不等式的證明,方程根的存在性判定等)[9]．在本試題中涉及的高中生需要掌握的必備知識(shí),包括函數(shù)解析式、函數(shù)最小值、參數(shù)a的取值范圍、函數(shù)的零點(diǎn)和復(fù)合函數(shù),從而溯源到類似的試題或教材例習(xí)題.由于該試題第1問仍然是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查,所以通過直覺形式溯源,容易將其歸入基礎(chǔ)題型.學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想,對(duì)函數(shù)實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得出參數(shù)范圍,從而求解.由于f(x)的定義域?yàn)?/p>

令f′(x)=0,得x=1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以得到fmin(x)=f(1)=e+1-a.因此,要保證f(x)≥0恒成立,需要e+1-a≥0,即a≤e+1,從而a的取值范圍為(-∞,e+1].

3.2 聚焦概念特征溯源

概念特征溯源指根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特征和其他本質(zhì)特征,分析數(shù)學(xué)試題涉及的概念系統(tǒng),給出問題求解的通性通法.“由于數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果,使得數(shù)學(xué)的形式化材料脫離了作為它客觀背景的實(shí)例材料的具體,卻保留了一類事物的抽象本質(zhì)屬性,并以這些形式化的材料作為它們的代表”[5].在本試題中涉及的概念是函數(shù)的最值.因此,聚焦最值的概念,進(jìn)一步追問該如何研究函數(shù)的性質(zhì),求解函數(shù)性質(zhì)問題的一般方法是什么.教師需要引導(dǎo)學(xué)生回歸到函數(shù)學(xué)習(xí)的初始狀態(tài),去發(fā)現(xiàn)解析式是求解和研究函數(shù)最重要的載體;而復(fù)合函數(shù)中的最值又與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),需要采用求導(dǎo)的運(yùn)算. 由此,引導(dǎo)學(xué)生立足高考試題的概念特征溯源,有助于他們重新從數(shù)學(xué)的角度來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題.

3.3 抓住關(guān)系結(jié)構(gòu)溯源

抓住關(guān)系結(jié)構(gòu)溯源是指利用概念、命題間的關(guān)系及關(guān)系結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)分析數(shù)學(xué)試題出處,并探尋解法. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是揭示各個(gè)數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系,從而形成大量的定理、公式和法則,形成一定的結(jié)構(gòu)關(guān)系.學(xué)生在試題溯源活動(dòng)中對(duì)關(guān)系結(jié)構(gòu)的溯源,就在于識(shí)別數(shù)學(xué)關(guān)系的各種模式和關(guān)系的結(jié)構(gòu)模式,達(dá)到再次理解數(shù)學(xué)問題情境、找到問題解決的步驟.同時(shí)這種溯源途徑相較于前述兩類溯源,還具有形成并強(qiáng)化新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能. 這種溯源策略使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)試題的理解進(jìn)入新的深層結(jié)構(gòu).

總之,試題的溯源是一個(gè)對(duì)試題的分析過程,有助于揭示數(shù)學(xué)問題相關(guān)要素的聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)組塊形成結(jié)構(gòu)圖,還原數(shù)學(xué)問題解決的本原方法.教師通過溯源數(shù)學(xué)知識(shí)與思想邏輯、學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和數(shù)學(xué)教材的根源,揭示數(shù)學(xué)試題解決過程中的多層結(jié)構(gòu),對(duì)學(xué)生的直覺溯源加以點(diǎn)撥指導(dǎo),對(duì)概念特征的溯源鋪設(shè)必要的認(rèn)知基礎(chǔ),對(duì)關(guān)系結(jié)構(gòu)的溯源創(chuàng)造時(shí)間和機(jī)會(huì),為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)優(yōu)化路徑.