張斯博,姜思言,顧吉林

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

邁克爾遜干涉儀是光學(xué)實(shí)驗(yàn)室中重要的精密光學(xué)儀器,利用邁克爾遜干涉儀測(cè)量激光的波長(zhǎng)除此之外,邁克爾遜干涉儀還有許多應(yīng)用,例如用邁克爾遜干涉儀測(cè)量表征固體力學(xué)性質(zhì)的楊氏模量[1],測(cè)量微位移[2],用邁克爾遜干涉儀測(cè)量液體折射率也是當(dāng)今的研究熱點(diǎn)之一。

利用邁克爾遜干涉儀測(cè)量液體折射率主要分為兩種方法,分別是光程補(bǔ)償法和條紋計(jì)數(shù)法,光程補(bǔ)償法原理是通過調(diào)節(jié)兩個(gè)平面鏡之間的相對(duì)距離來改變光程差,進(jìn)而補(bǔ)償加入液體后光程差,使得加入液體前后光屏上的現(xiàn)象一致。張鳳云[3]等人以白光作為光源彩色干涉條紋,加入待測(cè)液體后彩色條紋消失,通過移動(dòng)動(dòng)鏡使得彩色條紋再次出現(xiàn),代入計(jì)算公式即可求得液體折射率;陳淑清[4]等人以激光為光源形成等密度等傾干涉條紋來測(cè)量液體的折射率,然而光程補(bǔ)償法的實(shí)驗(yàn)難用人眼觀察出完全相同的干涉條紋圖樣,對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定的影響。條紋計(jì)數(shù)法的原理是利用干涉條件,光程每改變一個(gè)光源波長(zhǎng),就可以觀察到一個(gè)條紋涌出或陷入,改變光程是要改變待測(cè)液體在光路中的那部分光程,這部分光程等于光線在液體中傳播的距離乘以液體折射率,因?yàn)檎凵渎适俏粗?因此需要連續(xù)改變光線傳播距離使條紋連續(xù)變化。彭劍輝、喬輝、李素文[5-7]等人將反射鏡放在待測(cè)液體中,通過移動(dòng)反射鏡的位置,改變了光線經(jīng)過待測(cè)液體的傳播距離,進(jìn)而改變了光程差,由于該方法需要將反射鏡放入待測(cè)液體中,因此該方法無法測(cè)量對(duì)反射鏡有腐蝕性的液體折射率;鄭建邦、李義寶、杜登熔[8-10]等人選擇制作一個(gè)楔形容器放入光路中,通過水平移動(dòng)容器即可改變光程差使干涉條紋發(fā)生吞吐現(xiàn)象,但楔形容器加工困難,制作成本也比較高;金恩培、汪曉春、張風(fēng)昀[11-13]等人選擇在傳統(tǒng)的邁克爾遜干涉儀上進(jìn)行改裝,采用旋轉(zhuǎn)法,將盛裝液體的容器放在轉(zhuǎn)盤上,轉(zhuǎn)過一定的角度使得光程發(fā)生改變,但加裝容器較為困難,學(xué)生無法自行操作。本文選擇在原有儀器的基礎(chǔ)上,在光學(xué)減震臺(tái)上安裝一個(gè)手動(dòng)微調(diào)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái),上端放置一個(gè)方形開口容器,旋轉(zhuǎn)一定的角度即可改變光程差,通過分析光路,推導(dǎo)出測(cè)量透明液體折射率的公式,通過多次測(cè)量水、不同濃度的葡萄糖溶液以及不同濃度的氯化鈉溶液的折射率,并與阿貝折射儀測(cè)量液體折射率的進(jìn)行比較,得到測(cè)量的平均誤差最大為3.3%,實(shí)現(xiàn)液體折射率的測(cè)量。為液體折射率測(cè)量提供了一種可行方法,改裝過程簡(jiǎn)便,學(xué)生可自行動(dòng)手完成。

1 實(shí)驗(yàn)原理

由干涉條件可知光程差δ滿足:

δ=ΔNλ。

(1)

當(dāng)δ增大或λ減小,就會(huì)有一個(gè)條紋涌出或陷入。即利用這一原理對(duì)液體折射率進(jìn)行裝置測(cè)量改進(jìn),測(cè)量裝置俯視圖如圖1(a)所示,在分束鏡與動(dòng)鏡之間放置一個(gè)行程為360°粗調(diào),±5°精調(diào),最小角度為0.95分的手動(dòng)微調(diào)旋轉(zhuǎn)光學(xué)載物臺(tái),載物臺(tái)上放置一內(nèi)徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器,轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)即可使容器發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),進(jìn)而改變光傳播過程中所產(chǎn)生的光程差。

(a) 改進(jìn)的邁克爾遜干涉儀的液體折射率測(cè)量裝置俯視圖

由于容器旋轉(zhuǎn),器壁和液體內(nèi)部光程將發(fā)生改變,如圖1(b)所示。由于器壁的轉(zhuǎn)動(dòng),則會(huì)影響外部空氣的光程的變化。為了便于討論,首先假設(shè)容器旋轉(zhuǎn)中心為圖中左側(cè)器壁的中心,并且光線始終保持水平方向,入射位置始終為左側(cè)器壁的中心,當(dāng)旋轉(zhuǎn)微小的角度時(shí),容器左側(cè)空氣的光程將不會(huì)發(fā)生改變。因此可將光程變化分為三部分,從左至右分別為光在容器器壁中傳播的光程的改變、光在液體中傳播的光程的改變以及受容器旋轉(zhuǎn)影響,光在右側(cè)空氣中傳播的光程的改變。

光在容器器壁中傳播的光程的改變,設(shè)空氣折射率為n0,容器器壁厚度為d0,容器折射率為n1,入射至器壁的距離為d1,液體折射率為n2,容器器壁內(nèi)徑為d2,出射器壁后傳播的距離為d3。

旋轉(zhuǎn)θ0角度后,容器器壁中的光程L1變?yōu)?/p>

(2)

同理可得液體中的光程L2變?yōu)?/p>

(3)

得到液體光程差δ液體、容器壁光程差δ容器壁分別為

(4)

(5)

光線經(jīng)過容器壁和液體將發(fā)生折射,因此出射位置較入射位置將存在一個(gè)位置偏移量,假設(shè)一條虛擬路徑a,該光路與入射光在同一水平方向,光線經(jīng)過容器在右側(cè)空氣中傳播的路徑為b,設(shè)虛擬路徑a與路徑b的位置偏移量為Δh,如圖2所示,設(shè)光線經(jīng)容器前壁、液體、容器后壁折射后產(chǎn)生的位置偏移量分別為Δh1、Δh2、Δh3。則,由光路圖可知:

圖2 光路的高度變化

(6)

(7)

Δh1=Δh3,

(8)

Δh=Δh1+Δh2+Δh3,

(9)

路徑b與虛擬路徑a在水平方向的偏移量差值為Δhtanθ,虛擬路徑a相較于未旋轉(zhuǎn)前空氣中的光傳播路徑的距離變化Δl為

(10)

空氣光程差δ空氣為

(11)

將(4)、(5)、(11)代入(1)式,可得:

(12)

其中,

(13)

(14)

當(dāng)容器不裝液體時(shí),此時(shí)盛裝的空氣,空氣折射率n2=n0=1,將容器旋轉(zhuǎn)角度θ0,設(shè)此時(shí)條紋數(shù)目變化為ΔN′,代入(12)、(13)和(14)式可得:

(15)

將n0=1代入式中,整理可得:

(16)

(17)

由該方程可知,只需測(cè)量容器內(nèi)徑寬度d2,在盛裝待測(cè)液體和空載兩種情況下,將容器轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度θ0,記錄條紋數(shù)目變化分別為ΔN和ΔN′,已知激光器激光的波長(zhǎng)λ,則代入(17)式,可求解液體折射率n2。

2 實(shí)驗(yàn)儀器及步驟

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)測(cè)量裝置如圖3所示,包括邁克爾遜干涉儀、光學(xué)減震器、旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺(tái)等組成,其中,旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺(tái)放大圖如圖3(b)所示。手動(dòng)旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學(xué)載物臺(tái)參數(shù)是:行程為360°粗調(diào),±5°精調(diào),最小角度為0.95分。

(a) 測(cè)量裝置實(shí)物俯視圖

具體實(shí)驗(yàn)裝置及材料如下:LPM1系列邁克爾遜干涉儀、內(nèi)徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器、手動(dòng)旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學(xué)載物臺(tái)、游標(biāo)卡尺、智能手機(jī)、純凈水、阿貝折射儀、容量瓶、天平、葡萄糖、氯化鈉。

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)操作過程及注意事項(xiàng)具體如下:

(1)用游標(biāo)卡尺上側(cè)測(cè)量容器器壁內(nèi)徑,記為d2,即液體的寬度。

(2)在邁克爾遜干涉儀光路上安裝手動(dòng)旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學(xué)載物臺(tái)、液體容器等裝置,將空載容器放在旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)上,使得手動(dòng)旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學(xué)載物臺(tái)能夠帶動(dòng)容器旋轉(zhuǎn),從而改變光程差。

(3)打開氦氖激光器電源,調(diào)節(jié)邁克爾遜干涉儀,至觀察屏上出現(xiàn)明顯的圓形干涉條紋,使容器與入射光線垂直,調(diào)節(jié)M2鏡背后三個(gè)螺絲使得圓形干涉條紋的中心位置位于觀察屏中心。

(4)轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)的粗調(diào)轉(zhuǎn)盤,對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)上的刻度,使其帶動(dòng)容器旋轉(zhuǎn),為了方便計(jì)算和旋轉(zhuǎn),實(shí)驗(yàn)過程中選取旋轉(zhuǎn)角度為4°。在此過程中,用手機(jī)錄像功能記錄觀察屏上條紋的數(shù)目變化情況,并慢速處理視頻,記下條紋數(shù)目變化為ΔN′。

(5)為了防止取放容器前后容器的位置發(fā)生改變,進(jìn)而對(duì)條紋產(chǎn)生影響,所以選擇直接往容器中加入待測(cè)液體,待條紋穩(wěn)定后,轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)的粗調(diào)轉(zhuǎn)盤,對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)上的刻度,使其帶動(dòng)容器回轉(zhuǎn)4°,用手機(jī)相機(jī)功能記錄觀察屏上條紋的數(shù)目變化情況,通過tracker軟件處理視頻,記下條紋數(shù)目變化為ΔN。

(6)使用容量瓶配置5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖和氯化鈉溶液,重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟,分別利用阿貝折射儀測(cè)量相應(yīng)液體折射率為n0。

(7)將測(cè)量結(jié)果代入計(jì)算公式(17)中即可求出待測(cè)液體的折射率,測(cè)量五次后取平均值記為n,將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與n0進(jìn)行比較,分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果并得出結(jié)論。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中使用氦氖激光器作為光源,波長(zhǎng)λ=632.8 nm,用游標(biāo)卡尺測(cè)得容器器壁內(nèi)徑d2=2.5 cm,確定旋轉(zhuǎn)角度θ0=4°。組裝實(shí)驗(yàn)裝置,此時(shí)方形容器為空載狀態(tài),轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái),可以觀測(cè)到觀察屏上的明暗環(huán)條紋吞吐變化,如圖4(a)(b)所示,明環(huán)和暗環(huán)交替出現(xiàn)。加入純凈水至方形容器中,相較于加入純凈水前,觀察屏上的明暗環(huán)條紋明顯變“扁”,如圖4(c)和(d)所示,再次轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)載物臺(tái),仍能在觀察屏上觀測(cè)到明暗環(huán)條紋吞吐變化的現(xiàn)象。

(a) 加入待測(cè)液體前明環(huán)出現(xiàn)

利用改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的條紋變化數(shù)目,觀測(cè)得空載時(shí)條紋變化數(shù)目ΔN′和裝入純凈水后條紋變化數(shù)目ΔN,將ΔN′、ΔN、λ、d2、θ0等數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式(17)中,可得到純凈水的折射率。使用阿貝折射儀測(cè)量純凈水的折射率為n0,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn),可得到純凈水的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和折射率計(jì)算結(jié)果如表1所示。經(jīng)過計(jì)算液體折射率,與阿貝折射率測(cè)量?jī)x相比,水的折射率平均相對(duì)誤差為1.1%,最大誤差是2.3%,最小誤差是0.2%。

表1 水的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果

測(cè)量不同濃度的葡萄糖溶液和氯化鈉溶液的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2和表3所示。5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖的折射率相對(duì)誤差為1.9%、2.1%和5.9%。

表2 葡萄糖溶液的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果

5%、10%、15%的不同濃度的氯化鈉溶液的折射率相對(duì)誤差為1.3%、1.2%和3.5%。測(cè)量結(jié)果與阿貝折射儀所測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)值接近,數(shù)據(jù)穩(wěn)定,測(cè)量的最大誤差為5.9%。因此,本實(shí)驗(yàn)裝置和計(jì)算方法可以測(cè)量溶液的折射率,為液體折射率測(cè)量提供了一種可行方法,測(cè)量精度小于5.9%。

4 結(jié) 論

本實(shí)驗(yàn)基于邁克爾遜干涉儀和旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺(tái)設(shè)計(jì)了透明液體折射率的測(cè)量裝置,考慮了光路中空氣、容器、待測(cè)液體等各個(gè)部分的光程改變量,利用干涉公式,推導(dǎo)出干涉圓環(huán)吞吐圓環(huán)的數(shù)目變化與待測(cè)液體折射率之間的函數(shù)關(guān)系,得到了待測(cè)液體折射率的表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)測(cè)得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的平均相對(duì)誤差分別為1.1%、3.3%、2.0%,實(shí)驗(yàn)過程中測(cè)量的最大誤差為5.9%,為液體折射率測(cè)量提供了一種可行方法。實(shí)驗(yàn)測(cè)量裝置安裝方便,操作簡(jiǎn)單,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象直觀明顯,測(cè)量方法精度較高,實(shí)驗(yàn)研究有助于學(xué)生理解干涉現(xiàn)象產(chǎn)生的本質(zhì)原因,拓寬了邁克爾遜干涉儀在物理教學(xué)及科學(xué)研究中的實(shí)際應(yīng)用。若在本公式上進(jìn)一步更改相關(guān)參數(shù),可得到用于測(cè)量透明固體折射率的表達(dá)式,具有一定的研究?jī)r(jià)值。