武穎麗,倪 朔,代少玉

(西安電子科技大學(xué) 物理學(xué)院,陜西 西安 710126)

電場強(qiáng)度和電位是靜電場描述的基本物理量。靜電場場區(qū)無電荷運(yùn)動,不產(chǎn)生電流,故不能用伏特計(jì)測量其電勢。同時,用探測儀器的探針探入待測靜電場時,靜電感應(yīng)現(xiàn)象使探針內(nèi)部電荷重新分布,出現(xiàn)感生電荷產(chǎn)生的電場疊加使原電場發(fā)生畸變。因而,直接測量復(fù)雜形狀靜電場分布較困難,加上標(biāo)量的計(jì)算與測量比矢量簡單,往往通過電勢分布描繪靜電場。

“靜電場描繪實(shí)驗(yàn)”是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的常規(guī)性內(nèi)容,這一實(shí)驗(yàn)相關(guān)科學(xué)問題已有研究:林春丹等[1,2]用MATLAB繪制兩個平行圓柱面間區(qū)域及電荷位于無限大導(dǎo)體平面上的電場分布,以更好理解靜電場分布特征,而且用智能手機(jī)拍攝測量打點(diǎn)圖、軟件Geogebra處理數(shù)據(jù),完成了測量半徑、等勢線繪制、數(shù)據(jù)擬合等;張季等[3]模擬了兩點(diǎn)、三點(diǎn)、點(diǎn)線和雙線電極的等勢線分布,并將其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較;趙燕萍等[4]用交變電信號幅值項(xiàng)驗(yàn)證以水為電介質(zhì)的靜電場描繪儀測量實(shí)驗(yàn)值與理論值相吻合。實(shí)驗(yàn)裝置方面:宮吉祥等[5]利用高壓直流電源,將極化微物在靜電場中被極化定向移動運(yùn)動結(jié)果,顯示了同軸柱面電極靜電場的二維分布;黃志鵬等[6]通過帶電球體模擬空間電場的三維分布,并用Geogebra軟件可視化。趙俊等[7]設(shè)計(jì)探討“靜電場實(shí)驗(yàn)”在教學(xué)環(huán)節(jié)如何有機(jī)融合課程思政問題。許平等[8]針對靜電場描繪實(shí)驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)講義、實(shí)驗(yàn)器材以及實(shí)驗(yàn)操作等方面存在的問題進(jìn)行了分析與探討。目前,大多教學(xué)中采用模擬法實(shí)現(xiàn)“同軸電纜、平行線電極、聚焦電極”等經(jīng)典的靜電場描繪,與該實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一致的教學(xué)軟件鮮有報(bào)道。

西安電子科技大學(xué)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)“靜電場模擬”,是給定10V電壓,要求測量同軸電纜及平行線電極的電場,每個電場測7條等位線、每條等位線測10個點(diǎn),并在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)畫等勢線,然后根據(jù)電場線與等勢線的垂直關(guān)系描繪電場分布。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中有些弊端顯而易見,一是測量點(diǎn)多且測量精度不高,在坐標(biāo)紙上描繪點(diǎn)不準(zhǔn)確;二是輸入電壓變化時等勢線疏密隨之變化,有限時間內(nèi)無法完成導(dǎo)致對電場分布認(rèn)識不完整;三是“聚焦電極、飛機(jī)場機(jī)翼速度場”電場描繪難度大任務(wù)重,上課期間難以完成。基于以上原因,提出了通過軟件編程對“同軸電纜”“平行直線電極”“聚焦電極”劈尖電極”“平行板電極”等5種典型靜電場進(jìn)行高精度仿真,以實(shí)現(xiàn)對靜電場分布、電場特性的深刻全面理解。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 靜電場理論

靜電場是由靜止電荷激發(fā)的電場。由于電場具有疊加性,多個電荷激發(fā)的電場等于每個電荷激發(fā)電場的矢量和。設(shè)第i個電荷QI到P點(diǎn)的矢徑為rI,P點(diǎn)的電場強(qiáng)度E為

(1)

考慮電荷與電場的局域關(guān)系,由空間無限小區(qū)域電場的性質(zhì),可得高斯定理的微分形式

(2)

式中,ρ為電荷密度,ε0為真空電容率(真空介電常量)。

標(biāo)量φ作為表征靜電場的另一個量電勢,進(jìn)而電勢與電場強(qiáng)度矢量的微分關(guān)系為

E=-φ。

(3)

若取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)(電勢零點(diǎn)),則電勢與電場強(qiáng)度間的積分關(guān)系為

(4)

均勻各向同性線性介質(zhì)中D=εE,關(guān)于電勢滿足的基本微分方程(泊松方程)為

(5)

其中,ρ為自由電荷密度。

為描述靜電場的電場分布,除基本微分方程外要考慮邊值關(guān)系(邊界條件)、導(dǎo)體表面及介質(zhì)交界面處電勢邊值關(guān)系。已知在兩介質(zhì)交界面處,電場的邊值關(guān)系為

en×(E2-E1)=0 ,

(6)

en×(D2-D1)=σ。

(7)

進(jìn)而,交界面處靜電勢的邊值關(guān)系為

φ1=φ2,

(8)

(9)

由于導(dǎo)體內(nèi)不帶凈電荷,電荷只分布于導(dǎo)體表面;導(dǎo)體內(nèi)部電場為零,表面電場沿法線方向、導(dǎo)體表面為等勢面、整個導(dǎo)體電勢相等。結(jié)合式(8)和(9)可得導(dǎo)體表面邊界條件為

(10)

由式(5)、(8)、(9)和(10),可得到靜電場具體的電場分布。

1.2 模擬法可行性與局限性

與實(shí)際靜電場描繪實(shí)驗(yàn)一致,我們建立包含同軸電纜、平行線電極、聚焦電極以及機(jī)翼速度場等四個靜電場相對應(yīng)的理論模型與仿真,再增加“平行板電極”的電場分布仿真。

理想的靜電場電場分布實(shí)驗(yàn)是在無窮大靜電場物理情境中完成,同軸電纜和平行線電極的電場分布,在仿真實(shí)驗(yàn)中由靜電場原理求出解析解,再描繪出靜電場分布;而聚焦電極、機(jī)翼速度場及平行板電極的電場,無法求得解析解,則借助模擬法用穩(wěn)恒電流來模擬。具體設(shè)計(jì)流程如圖1:

圖1 流程圖

2 仿真測繪

以靜電場基本理論為基礎(chǔ),用有限差分方法,參考靜電場模擬實(shí)驗(yàn)儀,利用MATLAB App Designer,設(shè)計(jì)以上五種常見靜電場描繪的高精度仿真程序。

2.1 仿真界面

仿真實(shí)驗(yàn)由測量儀、描繪儀和操作欄三部分組成,界面如圖2所示?！皽y量儀”提供可調(diào)節(jié)的電壓,顯示探針的電壓讀數(shù)?！懊枥L儀”提供同軸電纜電場、平行線電極電場、聚焦電極、劈尖電極以及平行板電極等5個經(jīng)典電場的描繪。“操作欄”提供該五種經(jīng)典電場的等勢線圖和電場圖等。此外,坐標(biāo)可顯示或隱藏,坐標(biāo)區(qū)相當(dāng)于精度為0.2 mm的坐標(biāo)紙,坐標(biāo)區(qū)大小與導(dǎo)電媒質(zhì)一致。測量過程中軟件顯示測量點(diǎn)電壓及其對應(yīng)的坐標(biāo),測量結(jié)束后可以存儲測量數(shù)據(jù)。

圖2 靜電場測繪實(shí)驗(yàn)界面

2.2 電場線和等勢線的描繪

以聚焦電極的靜電場為例,闡述電場線和等勢線的描繪。

2.2.1 測量等勢點(diǎn)

在軟件界面上,將“測量儀”中“電壓”表右側(cè)的按鈕由“輸出”撥到“測量”,“電源”開關(guān)由“On”調(diào)至“Off”,調(diào)節(jié)電壓確定輸出電壓大小,點(diǎn)擊操作欄的開始測繪按鈕進(jìn)行測繪。用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊“描繪儀”的中間位置,用鼠標(biāo)點(diǎn)擊不同的位置或者通過鍵盤的“W”“A”“S”“D”鍵來選取所需要的等位點(diǎn),找到后右鍵將其留在圖中,以此法尋找一組等位點(diǎn),等位點(diǎn)的坐標(biāo)可以顯示,測量結(jié)束可以存儲并導(dǎo)出測量點(diǎn)的數(shù)據(jù)。

測量時可選擇顯示坐標(biāo),以輸入電壓為10 V為例、導(dǎo)電媒質(zhì)大小為10 cm×10 cm的情況下的測量仿真,得到如圖3所示結(jié)果。在圖3中,用仿真軟件描繪聚焦電極電場的電壓為1～9 V的等位點(diǎn),間隔1 V,尋找等壓點(diǎn)過程,點(diǎn)的顏色為紅色。同時,在測量儀上顯示電壓值,描繪儀上顯示測量點(diǎn)的坐標(biāo)。若確定該點(diǎn)為測量點(diǎn)時點(diǎn)擊右鍵,電壓點(diǎn)顏色顯示為藍(lán)色。

圖3 聚焦電極電場等勢點(diǎn)的測量

2.2.2 等勢線和電場線

測量完等勢點(diǎn),可得到圖4所示等勢線。進(jìn)一步,根據(jù)電場線和等勢線垂直的原理,畫出電場線并標(biāo)出電場方向如圖5所示。圖5(a)和圖5(b)給出顯示和不顯示坐標(biāo)時的情況。

圖4 聚焦電極電場的等勢線

2.2.3 數(shù)據(jù)參數(shù)的改變

與實(shí)際的測量儀器相比,靜電場描繪仿真軟件能實(shí)現(xiàn)更多功能,兩個重要的參數(shù)是輸入電壓調(diào)節(jié)和導(dǎo)電媒質(zhì)大小的調(diào)節(jié)。圖6為輸入電壓為5 V時的聚焦電極的電場分布,與圖5(a)相比,可以看出輸入電壓越小,電場線變得越稀疏,說明同一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度變小。

圖6 輸入電壓變化的聚焦電極電場分布

進(jìn)一步,導(dǎo)電媒質(zhì)大小從10 cm×10 cm調(diào)整到26 cm×26 cm,聚焦電極的電場分布如圖7所示?？梢钥闯?導(dǎo)電媒質(zhì)變大,相當(dāng)于聚焦電極間距離變小,則靠近電極處的電場變強(qiáng),電力線變得更密集?？梢钥闯?仿真軟件中參數(shù)變化引起的電場變化,與靜電場理論相一致。

圖7 導(dǎo)電媒質(zhì)變化的聚焦電極電場分布

3 其他四種靜電場的描繪

圖8給出了同軸電纜、平行線電極、劈尖-平行板電場以及平行板電極四種電場描繪結(jié)果,其中輸入電壓均為10 V,導(dǎo)電媒質(zhì)大小從10 cm×10 cm。每個電場中描繪電壓為1～9 V的等勢點(diǎn)。圖8中虛線為等勢線,實(shí)線為電場線,箭頭表示電場線方向。各個靜電場描繪結(jié)果與線下實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果基本一致。

4 結(jié) 論

(1)基于MATLAB App Designer設(shè)計(jì)的靜電場描繪實(shí)驗(yàn)仿真軟件,實(shí)現(xiàn)了五種常見靜電場分布模擬,仿真測繪程序高度還原了實(shí)際靜電場模擬實(shí)驗(yàn)儀的實(shí)驗(yàn)操作與UI設(shè)計(jì),與現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)操作高度近似。

(2)該實(shí)驗(yàn)仿真軟件,可以幫助學(xué)生直觀感受不同靜電場電場分布,有助于理解靜電場原理,其獨(dú)特的仿真設(shè)計(jì)可以鍛煉學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作能力;同時,擴(kuò)展了實(shí)際靜電場描繪實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容,增加了等勢線與電場線,并可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)電媒質(zhì)尺寸、輸入電壓的調(diào)節(jié)與顯示等功能,有利于學(xué)生對理想靜電場關(guān)于邊界條件的理解。可以說,該描繪仿真軟件實(shí)現(xiàn)在再現(xiàn)實(shí)際實(shí)驗(yàn)的操作,仿真度高,并可供無線下實(shí)驗(yàn)條件作為拓展實(shí)驗(yàn)。