江西省九江市第三中學(xué)(332000)吳叢新

不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題是高考的熱點(diǎn),也是難點(diǎn)問題,其通法是構(gòu)造函數(shù)分類討論,但過程往往十分繁瑣,計(jì)算量龐大.倘若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)滿足一定的條件,則可考慮“端點(diǎn)效應(yīng)”進(jìn)行必要性探路.然而有時(shí)端點(diǎn)效應(yīng)會(huì)出現(xiàn)失效,即其充分性不成立的情況.本文結(jié)合實(shí)例對端點(diǎn)效應(yīng)成立的條件及其失效原因進(jìn)行分析,并提出解決問題的相應(yīng)方法.

一、“端點(diǎn)效應(yīng)”基本原理及解題步驟

(1)必要性縮小范圍:

①若f(x,m) ≥0 (m為參數(shù)) 在[a,b] 上恒成立, 且f(a)=0(或f(b)=0),則f′(a)≥0(或f′(b)≤0).此法適用于區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值為零的情況.

②若f(x,m) ≥ 0 (m為參數(shù)) 在[a,b] 上恒成立, 且(或), 則f′′(a) ≥0(或f′′(b) ≤0).此法適用于區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.

(2)充分性驗(yàn)證結(jié)果:

利用第一步中的參數(shù)范圍,通過f′(x)判斷f(x)的單調(diào)性,驗(yàn)證f(x)min≥0.

二、“端點(diǎn)效應(yīng)”有效應(yīng)用舉例及原因分析

例1已知f(x)=aex+2e-x+(a-2)x(a∈R).

(1)略;(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥(a+2)cosx,求a的取值范圍.

分析構(gòu)造函數(shù)g(x) =aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx,x> 0,注意到g(0) = 0,考慮端點(diǎn)效應(yīng),g(x) ≥0 的必要條件是g′(0)≥0.

解析令g(x)=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx,g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx,g(0)=0,因此要使g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,則g′(0)=2(a-2)≥0,即a≥2(必要性).

再證充分性.當(dāng)a≥2 時(shí),

所以g′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,g′(x) ≥g′(0) ≥0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0.

評析本題中二階導(dǎo)數(shù)g′′(x) ≥0 保證了g′(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g′(x) ≥0,從而保證原命題成立.因此本題中必要性探路點(diǎn)x= 0 不僅為區(qū)間端點(diǎn),同時(shí)也是一階導(dǎo)數(shù)g′(x)的單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn),所以端點(diǎn)效應(yīng)不能簡單理解為題目所給區(qū)間的端點(diǎn)簡單代入,否則會(huì)出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)失效的情況.

三、“端點(diǎn)效應(yīng)”失效原因分析及解決方法

例2已知當(dāng)x≥0 時(shí),ex-x2-(a-1)x-1 ≥0 恒成立,求a的取值范圍.

分析令g(x)=ex-x2-(a-1)x-1,注意到g(0)=0,考慮端點(diǎn)效應(yīng).g′(x) = ex- 2x- (a- 1), 因此要使g(x) ≥0 在[0,+∞) 上恒成立, 則g′(0) = 2-a≥0, 即a≤2.g′′(x) = ex-2.在[0,ln 2)上,g′′(x) < 0,g′(x)單調(diào)遞減, 在[ln 2,+∞)上,g′′(x) > 0,g′(x)單調(diào)遞增.所以g′(x)min=g′(ln 2) = 3-2 ln 2-a,當(dāng)a≤2 時(shí),g′(x)的正負(fù)號不確定,g′(x)不恒為正,故不能保證g(x) ≥0 恒成立,所以端點(diǎn)效應(yīng)失效.要得到原命題成立的充要條件,需要對g′(x)的正負(fù)號進(jìn)行分類討論,要確保g(x)的極小值大于0.筆者在端點(diǎn)效應(yīng)基礎(chǔ)上,進(jìn)一步分析得到如下解答:

對g′(x)min=g′(ln 2) = 3-2 ln 2-a的正負(fù)號進(jìn)行分類討論:

①當(dāng)g′(ln 2)≥0,即a≤3-2 ln 2 時(shí),g′(x)≥0,g(x)單增,g(x)≥g(0)=0,符合題意

②當(dāng)g′(0)>0 且g′(ln 2)<0,即3-2 ln 2

因?yàn)閑x0-x0-1 ≥0,所以ln 2

設(shè)φ(x) = ex-2x,x∈(ln 2,1],φ′(x) = ex-2 > 0,φ(x)在(ln 2,1]上單增,所以φ(x)∈(2-2 ln 2,e-2].所以a-1=ex0-2x0∈(2-2 ln 2,e-2].所以a∈(3-2 ln 2,e-1].

③當(dāng)g′(0) ≤ 0, 即a≥ 2 時(shí),g′(x) 在(0,ln 2) 上單減, 故g′(x)

綜上,a∈(-∞,e-1].

據(jù)上述解答過程可以發(fā)現(xiàn),為保證g(x)min≥0,需極小值點(diǎn)x0≤1,x0=1 為臨界點(diǎn),代入g(1)=e-1-a≥0 得a≤e-1,可知臨界點(diǎn)x0= 1 恰好是不等式g(x) ≥0 的充要條件.為何x0= 1 是g(x) ≥0 的充要條件呢? 實(shí)際上當(dāng)g(x)min= 0 時(shí),x0= 1(如圖1),即g(x)在x0處取極小值0.故x0應(yīng)滿足兩個(gè)條件:

圖1

消a得(1-x0)(ex0-x0-1) = 0, 易證當(dāng)x> 0 時(shí),ex0-x0- 1 > 0, 故滿足這兩個(gè)條件的唯一點(diǎn)x0= 1.不妨稱該點(diǎn)為“內(nèi)點(diǎn)”.以內(nèi)點(diǎn)作為必要性探路點(diǎn),得到不等式恒成立的必要條件,再證其充分性即可.

如果對不等式進(jìn)行等價(jià)變形,可得到不同的函數(shù)解析式,而“內(nèi)點(diǎn)”卻具有一致性.如下:

考慮參數(shù)分離法: 當(dāng)x> 0 時(shí),, 由得x0= 1 為該函數(shù)唯一極小值點(diǎn).

從函數(shù)圖像的凹凸性和共切點(diǎn)的角度考慮, 將原不等式變形可得(a- 1)x≤ ex-x2- 1.令h(x) =ex-x2- 1.設(shè)y= (a- 1)x與y=h(x) 相切于點(diǎn)(x0,y0)(如圖2),則,化簡得(1-x0)(ex0-x0-1) = 0.解得x0= 1 為兩函數(shù)唯一共切點(diǎn).

圖2

下面我們利用上述方法來求解一道高考真題.

例3(2020 年高考全國Ι 卷理科第21 題) 已知f(x)=ex+ax2-x.(1)略;(2)當(dāng)x≥0 時(shí),,求a的取值范圍.

分析令, 注意到, 注意g′(0) = 0;g′′(x) = ex-3x+2a, 因?yàn)間′(0) = 0, 考慮端點(diǎn)效應(yīng), 則g′′(0) ≥0, 即, 在[0,ln 3) 上,g′′′(x) < 0,g′′(x) 單調(diào)遞減, 在(ln 3,+∞) 上g′′′(x) > 0,g′′(x)單調(diào)遞增.

g′′(x)min=g′′(ln 3) = 3-3 ln 3+2a, 當(dāng)時(shí),g′′(x) 的正負(fù)號不確定, 導(dǎo)致g′(x) 不恒為正, 故不能保證g(x) ≥0 恒成立,所以端點(diǎn)效應(yīng)失效.這時(shí)候我們可以尋找“內(nèi)點(diǎn)”x0.x0應(yīng)滿足兩個(gè)條件:

消a得,易證當(dāng)x0>0 時(shí),,故滿足這兩個(gè)條件的唯一點(diǎn)x0=2.

將該點(diǎn)代入g(2) = 4a+e2-7 ≥0,得為不等式恒成立的必要條件.下面證其充分性.

當(dāng)a≥(7-e2)/4 時(shí),

令h(x) = ex-3x+(7-e2)/2,h′(x) = ex-3 在[0,ln 3)上單調(diào)遞減,在(ln 3,+∞)上單調(diào)遞增,故

所以g′′(x) > 0,g′(x) 在[0,+∞) 上單調(diào)遞增,g′(x) ≥g′(0) = 0, 所以g(x) 在[0,+∞) 上單調(diào)遞增, 故g(x) ≥g(0)=0.

如果對不等式進(jìn)行等價(jià)變形,可得到不同的函數(shù)解析式,而“內(nèi)點(diǎn)”卻具有一致性.如下:

從函數(shù)圖像的凹凸性和共切點(diǎn)的角度考慮,將原不等式變形(半分離參數(shù)).變形方式一:,設(shè)y=ax2與圖像的共切點(diǎn)為(x0,y0)(如圖3),則

圖3

圖4

消a得,易證,所以x0=2,a=(7-e2)/4.結(jié)合函數(shù)圖像的凹凸性及二次函數(shù)開口大小與a的關(guān)系可知,當(dāng)a≥(7-e2)/4時(shí),原不等式恒成立.

此外,從指數(shù)找朋友的角度考慮,可將原不等式變形為

所以要證g(x) ≤1,只需證,令

因?yàn)間(x)在,(2,+∞)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以x= 2 為極大值點(diǎn),所以當(dāng)a≥(7-e2)/4時(shí),g(x)≤1.

端點(diǎn)效應(yīng)本質(zhì)是極限的保號性的一種特殊情況,即臨界點(diǎn)恰好為區(qū)間端點(diǎn),若臨界點(diǎn)不為區(qū)間端點(diǎn),則所得結(jié)果是原命題成立的必要不充分條件.這時(shí),我們可以尋找“內(nèi)點(diǎn)”.還可對原不等式進(jìn)行適當(dāng)變形,可得函數(shù)不同的解析式表達(dá),探路點(diǎn)雖含義不同,但卻具有一致性,如本文中出現(xiàn)的極值點(diǎn)、共切點(diǎn)等不同名稱,它們其實(shí)是同一個(gè)點(diǎn).因此,我們在不等式恒成立問題求參數(shù)取值范圍問題中,應(yīng)先進(jìn)行單調(diào)性分析,若出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)失效時(shí),可尋找內(nèi)點(diǎn),也可對原不等式進(jìn)行合理變形,進(jìn)行必要性探路,并驗(yàn)證其充分性,保證所求范圍的充要性.