范 凱，趙和明

（1.上?？臻g推進研究所，上海 201112； 2.上?？臻g發(fā)動機工程技術(shù)研究中心，上海 201112）

1 引言

推進劑貯箱作為航天器推進系統(tǒng)中關(guān)鍵的承壓容器部件，其核心功能是貯存和供給滿足使用要求的推進劑［1］。其中，推進劑的供給主要由貯箱內(nèi)部的管理裝置實現(xiàn)。作為重要的推進劑管理裝置之一，金屬隔膜因可靠性高、工藝簡單、相容性好等特點被廣泛使用。

金屬隔膜在內(nèi)外側(cè)壓差作用下通過翻轉(zhuǎn)變形將液體推進劑排出，完成推進劑供給。因此，隔膜的可靠翻轉(zhuǎn)對貯箱性能至關(guān)重要。同時，受限于上述工作原理，現(xiàn)有的金屬隔膜結(jié)構(gòu)主要為球形、橢球形及錐球形。其中球形隔膜結(jié)構(gòu)最為簡單，主要翻轉(zhuǎn)區(qū)呈半球形，但其幾何尺寸（半徑）由貯箱液腔容積直接確定，進而貯箱外包絡(luò)尺寸也隨之確定，因此該類型隔膜應(yīng)用場景受限。橢球形隔膜和錐球形隔膜是在球形隔膜的基礎(chǔ)上對型面進行調(diào)整，可實現(xiàn)在確定貯箱外包絡(luò)尺寸下根據(jù)液腔容積要求進行適應(yīng)性設(shè)計，應(yīng)用場景更為廣泛。近些年針對球形和錐球形隔膜翻轉(zhuǎn)行為及影響因素開展了較多研究。結(jié)果表明隔膜翻邊半徑［2-3］、隔膜錐角［4］、隔膜壁厚［5］和徑厚比［6］等幾何參數(shù)對隔膜翻轉(zhuǎn)行為影響顯著，需要在隔膜設(shè)計中加以考慮。為拓展金屬隔膜的應(yīng)用場景，作者對新型柱形金屬隔膜的結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化和變形行為進行了研究［7］。然而，對于橢球形隔膜的翻轉(zhuǎn)行為及影響因素研究較少。黃韜等［8］通過有限元方法研究分析了厚度梯度對鈦制橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)行為的影響。作為橢球形隔膜的另一個重要幾何參數(shù)，母線橢圓率ρ的影響尚未見研究報道。目前的金屬隔膜采用板材沖／旋壓后機加壁厚得到，這就意味著不同母線橢圓率的隔膜需要不同的沖／旋壓工裝，試驗研究時間和經(jīng)濟成本巨大。有限元仿真模擬技術(shù)為開展這一研究提供了更為合適的手段。

本文以橢球形金屬隔膜為研究對象，基于弧長（Riks）法的有限元仿真，研究母線橢圓率ρ對隔膜翻轉(zhuǎn)行為的影響，重點分析其對翻轉(zhuǎn)壓力、徑向失穩(wěn)和最終翻轉(zhuǎn)型面的影響機理。

2 有限元模擬

2.1 隔膜結(jié)構(gòu)和幾何

橢球形金屬隔膜為軸對稱結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)及幾何尺寸如圖1 所示。其母線由橢圓段、翻邊段和直線段3 部分構(gòu)成。其中橢圓段方程如式（1）所示。

上述3 段經(jīng)旋轉(zhuǎn)后分別形成隔膜結(jié)構(gòu)的3 個組成區(qū)域：構(gòu)成翻轉(zhuǎn)主體區(qū)域的橢球區(qū)、誘發(fā)隔膜啟動翻轉(zhuǎn)的翻邊區(qū)和用于與殼體密封連接的直筒區(qū)。

橢球形隔膜幾何參數(shù)包括：隔膜高度H、翻邊半徑r、豎直柱段高度h、翻邊段圓心到隔膜中心軸的距離L和隔膜壁厚t。為了研究母線橢圓率ρ對橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)行為的影響，保持其他幾何參數(shù)不變，僅通過改變母線橢圓的長半軸a和短半軸b實現(xiàn)橢圓率ρ的改變。本文共選取6 組不同ρ的隔膜（D-1～D-6），其具體型面如圖2 所示，對應(yīng)的幾何參數(shù)如表1 所示。

表1 橢球形金屬隔膜幾何參數(shù)Table 1 Geometry datas of ellipsoidal metal diaphragms mm

圖2 不同ρ 值的橢球形隔膜初始型面Fig.2 Initial profiles of ellipsoidal diaphragms with different ρ values

2.2 隔膜材料

根據(jù)隔膜的工作特點，一方面，要求其容易變形，具有良好的柔韌性、延展性、不易破裂失效；另一方面，能與推進劑長期貯存。目前常用的隔膜材料為純鋁、純鈦和不銹鋼。本文選用工業(yè)純鋁橢球形隔膜為研究對象，其在室溫下的真應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。

圖3 室溫下工業(yè)純鋁的真應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 True stress-strain curve of commercial pure aluminium at room temperature

2.3 隔膜有限元模型

采用ABAQUS 有限元軟件對不同母線橢圓率ρ的橢球形隔膜進行三維（3D）建模。綜合考慮結(jié)果準確性和計算成本，將所有隔膜結(jié)構(gòu)簡化為1／4 模型。在隔膜直筒區(qū)頂端和2 個對稱面上分別設(shè)置固定約束和對稱約束，同時在隔膜外表面上施加均布載荷。所有隔膜均采用殼單元（S4R）進行計算分析。通過網(wǎng)格無關(guān)性驗證得到較為合理的網(wǎng)格尺寸2 mm×2 mm。圖4 為典型橢球形隔膜（ρ＝1.1）的整體網(wǎng)格，其共包含65 968 個網(wǎng)格和66 235 個節(jié)點。

圖4 ρ＝1.1 橢球形金屬隔膜有限元模型Fig.4 Finite element model of ellipsoidal metal diaphragm with ρ＝1.1

Riks 弧長法作為目前結(jié)構(gòu)非線性分析中計算穩(wěn)定、計算效率高且可靠性高的迭代控制方法之一，被廣泛應(yīng)用于推進劑貯箱金屬隔膜的非線性前后屈曲分析，其合理性和有效性得到了驗證。本文仍采用Riks 弧長法模擬不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)變形過程。

3 結(jié)果與討論

3.1 母線橢圓率對隔膜翻轉(zhuǎn)壓力的影響

通過模擬得到6 組不同母線橢圓率ρ的橢球形隔膜在翻轉(zhuǎn)過程中的壓力變化，如圖5 所示。從圖中可以觀察到，在隔膜翻轉(zhuǎn)初期（隔膜頂點軸向位移D＝0 ～6 mm），不同母線橢圓率ρ的隔膜對應(yīng)的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線基本相同，如圖中A區(qū)域局部曲線所示；在隔膜翻轉(zhuǎn)前期（隔膜頂點軸向位移D＝6～280 mm），母線橢圓率ρ越大的隔膜對應(yīng)的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線越低，如圖中B區(qū)域局部 曲 線 所 示； 在 隔 膜 翻 轉(zhuǎn) 后 期（D＝280 ～620 mm），母線橢圓率ρ越大的隔膜對應(yīng)的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線越高，如圖中C區(qū)域局部曲線所示；在隔膜翻轉(zhuǎn)末期（D＝620 ～630 mm），不同母線橢圓率ρ的隔膜對應(yīng)的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線基本相同，如圖中D區(qū)域局部曲線所示。因此，母線橢圓率的增加對橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)壓力的影響與翻轉(zhuǎn)階段有關(guān)。在隔膜翻轉(zhuǎn)初期和末期，母線橢圓率對翻轉(zhuǎn)壓力基本無影響；在翻轉(zhuǎn)前期，母線橢圓率的增加對翻轉(zhuǎn)壓力產(chǎn)生負向影響；在翻轉(zhuǎn)后期，母線橢圓率增加對翻轉(zhuǎn)壓力產(chǎn)生正向影響。

圖5 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)壓力曲線Fig.5 Overturing pressure curves of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.2 母線橢圓率對隔膜翻轉(zhuǎn)徑向失穩(wěn)的影響

圖6 展示了6 組母線橢圓率的橢球形隔膜在翻轉(zhuǎn)相同頂點軸向距離（D＝50 mm）時的應(yīng)力云圖。從圖中可以觀察到，當母線橢圓率ρ較?。é眩?、1.05、1.1 和1.2）時，隔膜翻轉(zhuǎn)過程中均未出現(xiàn)徑向失穩(wěn)現(xiàn)象；當母線橢圓率ρ較大（ρ＝1.3和1.4）時，隔膜翻轉(zhuǎn)過程中在出現(xiàn)了徑向失穩(wěn)現(xiàn)象，并且隨著ρ的增大，失穩(wěn)程度增加。因此，母線橢圓率的增加對橢球形隔膜在翻轉(zhuǎn)過程中的徑向失穩(wěn)具有一定的負向影響。

3.3 母線橢圓率對隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面的影響

在目前隔膜的設(shè)計中，為保證隔膜可靠性，通常不允許隔膜產(chǎn)生較大的塑性變形。因此，將隔膜剛完成翻轉(zhuǎn)作為其整個工作過程結(jié)束的標志，此時對應(yīng)的型面為翻轉(zhuǎn)最終型面。

根據(jù)模擬得到的6 組不同母線橢圓率ρ隔膜的翻轉(zhuǎn)最終型面繪制了其最終母線，如圖7 所示。從圖中可以觀察到，在最終隔膜型面赤道位置（y＝-2 ～12 mm） 和下極端位置（y＝-305 ～-295 mm）內(nèi)，不同母線橢圓率ρ的隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面基本相同，如圖中的A區(qū)域和D區(qū)域所示；在隔膜最終型面中上位置（y＝-140 ～-2 mm）內(nèi)，相同軸向位移Δy下母線橢圓率ρ越大對應(yīng)的徑向位移Δx越大，如圖中的B區(qū)域所示；在隔膜最終型面中下位置（y＝-295 ～-140 mm）內(nèi)，相同軸向位移Δy下母線橢圓率ρ越大對應(yīng)的徑向位移Δx越小，如圖中的C區(qū)域所示；因此，母線橢圓率對隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面的影響與型面位置有關(guān)，其中中間位置的影響顯著，赤道和下極端位置幾乎無影響。

圖7 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面母線Fig.7 Overturing final profile generatrixes of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

此外，對上述各最終母線進行了非線性擬合。圖7 中的2 組散點曲線（黑色方形散點曲線和綠色圓形散點曲線）為2 個典型隔膜（ρ＝1 和1.2）的擬合曲線，擬合結(jié)果較好。匯總所有隔膜對應(yīng)的擬合曲線形狀及方程如表2 所示。從表中可以觀察到，母線橢圓率ρ較小的3 個隔膜（D-1、D-2和D-3）的翻轉(zhuǎn)最終型面母線約為1／4 橢圓，并且橢圓中心點縱坐標和短半軸長度隨著ρ的增大而增大；母線橢圓率ρ較大的3 個隔膜（D-4、D-5 和D-6）的最終型面約為1／4 圓，并且圓心縱坐標隨著ρ的增大而增大。

表2 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面擬合形狀與方程Table 2 Fitting Shapes and equations of overturning final profiles for the ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.4 討論與分析

根據(jù)金屬隔膜的工作原理，任一時刻向由翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)、翻邊區(qū)和待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)所形成的第n個主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)施加一定壓力時，在該區(qū)域殼體上形成一定的翻轉(zhuǎn)力矩促使上述3 區(qū)發(fā)生不同程度的翻轉(zhuǎn)，并最終依次形成翻轉(zhuǎn)完成區(qū)、新的翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)和新的翻邊區(qū)，同時后2 區(qū)與新的待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)構(gòu)成第n+1 個主動翻轉(zhuǎn)區(qū)。該過程如圖8所示。連續(xù)經(jīng)歷若干個上述過程即完成隔膜的整個翻轉(zhuǎn)過程。因此，主動翻轉(zhuǎn)區(qū)的翻轉(zhuǎn)行為決定了隔膜的翻轉(zhuǎn)行為，同時其受到該區(qū)域局部型面幾何的影響。通常來說，當該區(qū)域內(nèi)的橢球區(qū)切線斜率k（＝-tan（90-β））絕對值較小時，該區(qū)域的張開夾角β較大，此時驅(qū)動其發(fā)生翻轉(zhuǎn)所需的彎矩較小，進而形成了較低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線；同時較低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線導致翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)榉D(zhuǎn)完成區(qū)的變化程度較弱，進而導致最終型面中相同軸向位移Δy對應(yīng)的徑向位移Δx較大。

圖8 隔膜主動翻轉(zhuǎn)區(qū)翻轉(zhuǎn)過程Fig.8 Overturning process of diaphragm active overturning area

此外，隔膜主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)的待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體承受外壓，并進入塑性階段，此時該區(qū)域殼體的抗徑向失穩(wěn)能力較差［9］。當主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)的翻轉(zhuǎn)壓力pr大于橢球區(qū)殼體的臨界失穩(wěn)壓力ppb時，待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體會發(fā)生徑向失穩(wěn)。

首先，對各隔膜初始型面母線斜率進行了計算?；谑剑?）求導可得到式（2）：

聯(lián)合式（1）可得隔膜初始型面母線斜率與隔膜軸向坐標y的關(guān)系如式（3）所示。

計算得到6 組隔膜初始型面母線斜率k隨軸向坐標y的變化，如圖9（a）所示。從圖中可以觀察到，不同隔膜的初始型面母線斜率k差異與隔膜軸向坐標y有關(guān)。

圖9 隔膜初始型面母線切線斜率變化曲線Fig.9 Change curves of slope of the tangent line for the diaphragm initial profile generatrixes

在隔膜軸向坐標y＝0～6 mm 范圍內(nèi)（初始型面翻邊區(qū)），不同母線橢圓率ρ的隔膜所對應(yīng)的切線斜率變化曲線基本重合，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值相同，如圖9（b）中的A區(qū)域局部曲線所示。相同的切線斜率k絕對值導致不同ρ的隔膜在此區(qū)域內(nèi)任一時刻的主動翻轉(zhuǎn)區(qū)所需的翻轉(zhuǎn)力矩相同，進而形成相同的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線（圖5 中A區(qū)域曲線）和相同的最終型面（圖7 中A區(qū)域型面）。

在隔膜軸向坐標y＝6～205 mm 范圍內(nèi)（初始型面橢球區(qū)底部），母線橢圓率ρ越大的隔膜所對應(yīng)的切線斜率曲線越高，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值越小，如圖9（b）中的B區(qū)域局部曲線所示。越小的切線斜率k絕對值導致ρ越大的隔膜在此區(qū)域內(nèi)任一時刻的主動翻轉(zhuǎn)區(qū)所需的翻轉(zhuǎn)力矩越小，進而形成越低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線（圖5 中B區(qū)域曲線）。同時，越低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線導致翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)榉D(zhuǎn)完成區(qū)的變化程度較弱，進而導致ρ越大的隔膜最終型面中相同軸向位移Δy產(chǎn)生的徑向位移Δx較大（圖7 中B區(qū)域輪廓）。

在隔膜軸向坐標y＝205～317 mm 范圍內(nèi)（初始型面橢球區(qū)中部），母線橢圓率ρ越大的隔膜所對應(yīng)的切線斜率曲線越低，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值越大，如圖9（c）中的C區(qū)域局部曲線所示。越大的切線斜率k絕對值導致ρ越大的隔膜在此區(qū)域任一時刻的主動翻轉(zhuǎn)區(qū)所需的翻轉(zhuǎn)力矩越大，進而形成越高的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線（圖5 中C區(qū)域曲線）。同時，越高的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線導致翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)榉D(zhuǎn)完成區(qū)的變化程度較強，進而導致ρ越大的隔膜最終型面中相同軸向位移Δy產(chǎn)生的徑向位移Δx較?。▓D7 中C區(qū)域輪廓）。

在隔膜軸向坐標y＝317～324 mm 范圍內(nèi)（初始型面橢球區(qū)頂部），不同母線橢圓率ρ的隔膜所對應(yīng)的切線斜率變化曲線基本重合，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值相同，如圖9（c）中的D區(qū)域局部曲線所示。相同的切線斜率k絕對值導致不同ρ的隔膜在此區(qū)域內(nèi)任一時刻的主動翻轉(zhuǎn)區(qū)所需的翻轉(zhuǎn)力矩相同，進而形成相同的翻轉(zhuǎn)壓力曲線（圖5 中D區(qū)域曲線）和相同的最終型面（圖7 中D區(qū)域輪廓）。

隨后，對隔膜主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體的塑性失穩(wěn)壓力進行計算。基于式（1）可得其第一主曲率半徑和第二主曲率半徑分別為式（4）和式（5）［10］：

按線性范圍內(nèi)的薄殼屈曲理論公式［11］，橢球殼塑性失穩(wěn)臨界壓力為式（6）：

聯(lián)合式（4）～（6），分別對6 組不同母線橢圓率ρ的隔膜在翻轉(zhuǎn)壓力首次達到最大值prmax時對應(yīng)的塑性失穩(wěn)臨界壓力ppb進行計算，如表3所示。

表3 隔膜橢球區(qū)殼體塑性失穩(wěn)臨界壓力Table 3 Critical pressure of plastic instability for ellipsoidal shell of diaphragm MPa

從表中可以觀察到，母線橢圓率ρ較小的4組隔膜（D-1、D-2、D-3 和D-4），待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體的塑性失穩(wěn)臨界壓力ppb均高于隔膜翻轉(zhuǎn)最大壓力prmax，因此隔膜不會發(fā)生徑向失穩(wěn)（圖6（a）～（d））；母線橢圓率ρ較大的2 組隔膜（D-5和D-6），待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)塑性失穩(wěn)臨界壓力ppb均低于隔膜翻轉(zhuǎn)最大壓力prmax，因此隔膜發(fā)生徑向失穩(wěn)（圖6（e）和（f））。此外由于D-6 隔膜的ppb低于prmax的程度較D-5 隔膜更大，進而造成其徑向失穩(wěn)更為明顯。

綜上所示，母線橢圓率對橢球形隔膜的翻轉(zhuǎn)行為影響顯著，應(yīng)在其設(shè)計過程中加以考慮。

4 結(jié)論

1）母線橢圓率對橢球形隔膜翻轉(zhuǎn)壓力的影響與翻轉(zhuǎn)階段有關(guān)。在隔膜翻轉(zhuǎn)初期和末期，其對翻轉(zhuǎn)壓力基本無影響；在翻轉(zhuǎn)前期，其對翻轉(zhuǎn)壓力產(chǎn)生負向影響；在翻轉(zhuǎn)后期，其對翻轉(zhuǎn)壓力產(chǎn)生正向影響。

2）母線橢圓率的增加對橢球形隔膜在翻轉(zhuǎn)過程中的徑向失穩(wěn)具有一定的負向影響。

3）母線橢圓率對隔膜翻轉(zhuǎn)最終型面的影響與型面位置有關(guān)，其中中間位置的影響顯著，赤道和下極端位置幾乎無影響。母線橢圓率ρ較小的隔膜的翻轉(zhuǎn)最終型面母線約為1／4 橢圓；母線橢圓率ρ較大的隔膜最終型面母線約為1／4 橢圓。

4）當該區(qū)域內(nèi)的橢球區(qū)切線斜率k絕對值較小時，該區(qū)域的張開夾角β較大，此時驅(qū)動其發(fā)生翻轉(zhuǎn)所需的彎矩較小，進而形成了較低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線；同時較低的翻轉(zhuǎn)壓力p曲線導致翻轉(zhuǎn)過渡區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)榉D(zhuǎn)完成區(qū)的變化程度較弱，進而導致最終型面中相同軸向位移Δy對應(yīng)的徑向位移Δx較大。

5）隔膜主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)的待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體承受外壓，并進入塑性階段，此時該區(qū)域殼體的抗徑向失穩(wěn)能力較差。當主動翻轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)的翻轉(zhuǎn)壓力pr大于橢球區(qū)殼體的臨界失穩(wěn)壓力ppb時，待翻轉(zhuǎn)橢球區(qū)殼體會發(fā)生徑向失穩(wěn)。