殷偉東

（重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067）

1 綜述

廣義Nash問(wèn)題提供了一個(gè)非合作博弈的數(shù)學(xué)模型，在這種博弈中，每個(gè)參與者都沒(méi)有比對(duì)手更大的領(lǐng)導(dǎo)地位。當(dāng)一個(gè)或多個(gè)參與者在游戲中扮演領(lǐng)導(dǎo)者的角色時(shí)，就會(huì)形成一個(gè)多主從博弈，其中最簡(jiǎn)單的是由一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和多個(gè)跟隨者組成的Stackelberg博弈。由于多主從博弈可以表述為Nash問(wèn)題和Stackelberg博弈的推廣，它已經(jīng)被許多學(xué)者深入研究[1-4]，并將其應(yīng)用于電力市場(chǎng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程等方面。例如Pang等[5]首先對(duì)多主從博弈進(jìn)行了研究，研究了一類(lèi)可退化為準(zhǔn)變分不等式的多主從博弈。俞建[6-7]的研究已經(jīng)確立了存在多主從博弈平衡點(diǎn)，并且也驗(yàn)證了一主和二主多從博弈中存在Nash均衡點(diǎn)。另外，楊哲等[8]也對(duì)多主從博弈的均衡點(diǎn)是否存在進(jìn)行了探討。鄧喜才等[9]證明了一類(lèi)多主從博弈存在均衡點(diǎn)。Yu等[10]研究了具有單值目標(biāo)函數(shù)的兩主多從博弈，并得到了局部凸拓?fù)淇臻g中的一個(gè)均衡存在定理。Basar等[11]提供了兩人與多人主從博弈描述，并且展示了主從博弈均衡點(diǎn)的相關(guān)成果。Leyffer等[12]通過(guò)求解非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題得到了多主多從博弈的均衡點(diǎn)。Outrata[13]通過(guò)將多主從博弈轉(zhuǎn)化為均衡問(wèn)題，討論了一個(gè)策略向量成為均衡問(wèn)題的非合作解的必要條件。Sherali[14]給出了具有特式結(jié)構(gòu)的多主從博弈弱Pareto-Nash均衡存在性和唯一性的結(jié)果。Hu等[15]研究了一類(lèi)可表述為變分不等式的多主從博弈，并得到了一些存在性的結(jié)果。Ding[16]引入并研究了一類(lèi)更一般的多主從博弈模型，并在非緊FC-空間中建立了一些均衡存在定理。Morgan等[17]在他們的論文中，引入了偽連續(xù)性概念，并確證了在具體環(huán)境中，給定玩家的支付函數(shù)是偽連續(xù)性時(shí)，至少會(huì)存在一個(gè)Nash均衡點(diǎn)。蔡江華等[18]率先公開(kāi)在偽連續(xù)性狀況下的主從博弈Nash均衡點(diǎn)存在性的定理，同時(shí)他們也運(yùn)用非線(xiàn)性問(wèn)題的本質(zhì)連通區(qū)存在性來(lái)研究主從博弈的Nash均衡點(diǎn)的本質(zhì)連通區(qū)。Jia等[19]的研究中，當(dāng)玩家支付函數(shù)是連續(xù)的時(shí)候，對(duì)廣義多目標(biāo)主從博弈的弱Pareto-Nash均衡存在性進(jìn)行了闡述，并且深入研究了其穩(wěn)定性。

受到之前研究的啟發(fā)，在廣義多目標(biāo)多主體多從體博弈問(wèn)題存在一個(gè)弱Pareto-Nash均衡點(diǎn)的基礎(chǔ)上，本文降低了對(duì)于參與者支付函數(shù)的連續(xù)性需求，借鑒了Zeng[20]研究中關(guān)于廣義上偽連續(xù)的解釋?zhuān)诰种腥说闹Ц逗瘮?shù)在廣義上呈現(xiàn)偽連續(xù)性和上偽連續(xù)性這一先決條件，構(gòu)建了廣義多目標(biāo)多主從博弈的弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，再根據(jù)本質(zhì)解的定義，對(duì)廣義多主體-多從體博弈下弱Pareto-Nash均衡解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2 廣義多目標(biāo)多主體-多從體博弈

2.1 廣義多目標(biāo)多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡的模型

多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的主從博弈可以按照以下方法進(jìn)行說(shuō)明：

領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者先后采取策略，其決定過(guò)程為領(lǐng)導(dǎo)者制定決策并通告跟隨者。在跟隨者掌握領(lǐng)導(dǎo)者的決定x∈X后，跟隨者會(huì)再度執(zhí)行一輪參數(shù)廣義限制多目標(biāo)博弈，通過(guò)含有領(lǐng)導(dǎo)者策略參數(shù)的廣義約束多目標(biāo)博弈模型來(lái)構(gòu)建追隨者的均衡解，設(shè)K:Xi×X-i→2Y代表追隨者的參數(shù)廣義約束多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash均衡解集，它表示對(duì)于任意的x=(xi,x-i)∈X，K(xi,x-i)代表跟隨者的參數(shù)廣義約束多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash均衡解集。對(duì)任意的y?∈K(xi,x-i)，都有，使得對(duì)于任意的j∈J，都存在，對(duì)于所有的，都滿(mǎn)足如下的性質(zhì)：

2.2 廣義多目標(biāo)多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡點(diǎn)的存在性和預(yù)備知識(shí)

定義2.1[20]設(shè)是定義了序關(guān)系的拓?fù)湎蛄靠臻g，其中int≠?，Ε是一個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻gX的一個(gè)非空凸子集，f:E→Rl是一個(gè)向量值映射。

（2）如果(-f)在z0處上偽連續(xù)，則稱(chēng)f在z0∈Rl處下偽連續(xù)。如果f在每一處z0∈Rl都是下偽連續(xù)，則稱(chēng)f在Rl上下偽連續(xù)。

（3）如果f既是上偽連續(xù)又是下偽連續(xù)，則稱(chēng)f是偽連續(xù)。

引理2.1[20]設(shè)f是定義在Rl上的一個(gè)擴(kuò)展實(shí)值函數(shù)。那么，下面這些陳述是等價(jià)的。

（1）f在Rl上是上偽連續(xù)。

（2）L={(z,λ) ∈ Rl×f(Rl∣)f(z) ≥λ}在Rl×f(Rl)是閉的。

（3）對(duì)所有的λ∈f(Rl)，Uλ={z∈R∣lf(z) ≥λ}是閉的。

此外，上偽連續(xù)性保證了在緊集上存在最大點(diǎn)。

引理2.2[20]設(shè)X為一個(gè)Hausdorff空間，且X是局部凸的。E是X中的一個(gè)緊子集，且E是非空的和具有凸性。設(shè) : 2E F E→ 具有上半連續(xù)性，且對(duì)任意的x∈E，F(xiàn)(x) 是非空的，同時(shí)F(x) 具有閉性和凸性。那么F在Ε中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理2.3[20]假設(shè)X和Y是兩個(gè)局部凸的Hausdorff空間和Y是緊的，則集值映射 : 2Y F X→ 有緊值且上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)閉映射。

3 廣義多目標(biāo)多主從博弈的通有穩(wěn)定性

下面分情況討論：

第一種情況：

同理可以得到集值映射Γ上半連續(xù)。

注3.1：蔡江華等[18]的研究中得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，定理3.1得到了多主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，所以本文與蔡江華等[18]所考慮的模型不同。蔡江華等[18]考慮的是單目標(biāo)單主多從博弈，本文廣義多目標(biāo)多主從博弈考慮的是具有多個(gè)目標(biāo)的博弈問(wèn)題，這種廣義形式允許玩家追求多個(gè)不同的目標(biāo)，而不僅限于單一的優(yōu)化目標(biāo)。

注3.2：Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（1）中，局中人支付函數(shù)是連續(xù)的。本文定理3.2的條件（1）中，局中人支付函數(shù)是廣義上偽連續(xù)的，所以本文考慮的局中人支付函數(shù)連續(xù)的條件更弱。Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（2）中，考慮的是映射Φi似-擬凹，本文定理3.2的條件（2）中，考慮的是映射iΦ-廣義擬凸，所以本文考慮的映射iΦ的凸性條件更弱。所以本文推廣了Jia等[19]的研究中的相應(yīng)結(jié)果。

定義3.1 設(shè)ζ∈?。（1）如果對(duì)任意ε>0，都存在δ>0，使得對(duì)任意ζ′∈，ρ(ζ,ζ′)<δ，存在‖x-x′‖<ε，使得x′∈W(ζ′)，那么x∈W(ζ)是本質(zhì)的。（2）如果每一個(gè)x∈W(ζ)都是本質(zhì)的，那么ζ是本質(zhì)的。

引理3.2[19]假設(shè)Ζ是一個(gè)度量空間，X是一個(gè)具有完備性的度量空間和 : 2Z W X→ 是一個(gè)上半連續(xù)映射。那么在X中可以找到一個(gè)稠密且剩余的子集Q，確保W在Q上保持下半連續(xù)性。

注3.3：從上述定義可以知道，ζ∈?是本質(zhì)的集值映射W在ζ∈?處是下半連續(xù)的。

定理3.3?中有一個(gè)稠密且剩余的子集Q，使得對(duì)于每一個(gè)ζ∈?都是本質(zhì)的。

證明 通過(guò)引理3.1，引理3.2和注3.3，可以直接得到定理3.3。

4 結(jié)論

因?yàn)閺V義多目標(biāo)多主從博弈允許參與者不局限于單一的優(yōu)化目標(biāo)，所以這種博弈被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等領(lǐng)域。在局中人支付函數(shù)偽連續(xù)的條件下，蔡江華等[18]已經(jīng)得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性。因?yàn)樵趶V義多目標(biāo)多主從博弈中，允許玩家追求多個(gè)不同的目標(biāo)，所以本文利用局中人支付函數(shù)廣義偽連續(xù)的條件，將僅限于單一的優(yōu)化目標(biāo)的單主多從博弈推廣至廣義多目標(biāo)多主從博弈中，并得到了廣義多目標(biāo)多主從博弈解映射的上半連續(xù)性。然后，在映射Φi似-擬凹和參與者支付函數(shù)具有連續(xù)性的條件下，Jia等[19]已經(jīng)證實(shí)了廣義多目標(biāo)多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于，不僅優(yōu)化了參與者支付函數(shù)連續(xù)的條件，還降低了映射iΦ的凹性的約束條件，利用參與者支付函數(shù)更弱的廣義上偽連續(xù)性和映射iΦ-廣義擬凸的條件，得到了廣義多目標(biāo)多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，在一定程度上拓展了Jia等[19]的研究成果。最后，基于廣義多目標(biāo)多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性以及本質(zhì)解的定義，得到了廣義多目標(biāo)多主從博弈弱Pareto-Nash均衡的穩(wěn)定性。