林淑怡，葛先輝，田立君

上海大學(xué) 理學(xué)院物理系，上海 200444

1 量子糾纏的研究歷程

1935年，愛因斯坦(Albert Einstein)、波多爾斯基(Boris Podolsky)與羅森(Nathan Rosen)提出了著名的EPR佯謬[1]。當(dāng)時(shí)，愛因斯坦認(rèn)為所有的物理現(xiàn)實(shí)存在都是確定的，并且可以通過測量發(fā)現(xiàn)其精確的屬性。與之相反，其他量子力學(xué)的支持者，即哥本哈根學(xué)派的物理學(xué)家們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)存在似乎從根本上是不確定的。粒子直到被測量的那一時(shí)刻，才具有一定的性質(zhì)。在愛因斯坦等的思想實(shí)驗(yàn)中，量子理論可以使兩個(gè)粒子形成量子系統(tǒng)，對(duì)這兩個(gè)粒子進(jìn)行測量的結(jié)果之間具有強(qiáng)烈的聯(lián)系，即在處于糾纏態(tài)的粒子1與粒子2分開的時(shí)刻就已攜帶了某種預(yù)定的關(guān)聯(lián)特性。未知的某些“隱藏變量”決定了粒子1與粒子2自旋方向的測量結(jié)果。按照哥本哈根學(xué)派的觀點(diǎn)，處于非常遙遠(yuǎn)距離的粒子1與粒子2之間，在某一時(shí)刻測量粒子1時(shí)，可以立即確定出粒子2的具體屬性。此刻信息傳播的速度遠(yuǎn)超光速，這有悖于相對(duì)論的核心原則，愛因斯坦將這樣的結(jié)果稱為“幽靈般的超距作用”。該思想實(shí)驗(yàn)的本意是為了反駁當(dāng)時(shí)哥本哈根學(xué)派主張的量子理論，提出量子物理可能忽略了一些可以解釋明顯的量子物理悖論的“隱藏變量”。然而，這個(gè)實(shí)驗(yàn)引入了量子物理學(xué)最為奇怪的效應(yīng)之一——量子糾纏。這是量子糾纏第一次被提出并被引入量子理論的體系之中。

1964年，貝爾(John Bell)設(shè)計(jì)了一個(gè)可以解決以上爭論的實(shí)驗(yàn)：兩位物理學(xué)家沿著不同的坐標(biāo)軸測量糾纏粒子的自旋。此時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，糾纏粒子不僅僅是“自旋向上”或“自旋向下”的，它們的自旋方向還會(huì)沿著左右或隨機(jī)的方向[2]。根據(jù)愛因斯坦的關(guān)于“隱藏變量”影響測量結(jié)果的觀點(diǎn)，粒子1具有早已預(yù)定的自旋方向，改變坐標(biāo)軸應(yīng)該對(duì)測量結(jié)果沒有影響。然而貝爾的測量結(jié)果與愛因斯坦的觀點(diǎn)相悖。該實(shí)驗(yàn)表明，相互糾纏的粒子狀態(tài)具有極大的相關(guān)性。量子糾纏的測量結(jié)果無法用“隱藏變量”的觀點(diǎn)來解釋。

1969年，克勞澤(John F.Clauser)和同事改進(jìn)了貝爾思想實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用偏振光子模擬電子自旋，第一次在實(shí)驗(yàn)室里將貝爾思想實(shí)驗(yàn)的理論轉(zhuǎn)化成實(shí)踐。在實(shí)驗(yàn)室中，他們使光子具有不同偏振方向，就像電子自旋一樣，不同的偏振方向的光子可以通過對(duì)應(yīng)方向的濾光片?？藙跐上Ｍㄟ^這個(gè)實(shí)驗(yàn)來觀察貝爾思想實(shí)驗(yàn)基于現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)。

當(dāng)時(shí)，克勞澤的實(shí)驗(yàn)不被看好，因?yàn)榘ㄙM(fèi)曼(Richard Feynman)在內(nèi)的物理學(xué)家們認(rèn)為量子力學(xué)不需要實(shí)驗(yàn)證明。1972年，克勞澤和同事用濾光片測量了一對(duì)糾纏光子的偏振方向。令人激動(dòng)的是，他們成功實(shí)現(xiàn)了貝爾思想實(shí)驗(yàn)的初步實(shí)驗(yàn)室證明，這意味著在現(xiàn)實(shí)世界中，量子糾纏效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)證明邁出了第一步。

盡管克勞澤的實(shí)驗(yàn)符合了貝爾思想實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，但貝爾理論的實(shí)驗(yàn)室證明并不能證明愛因斯坦的理論是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵谶@組實(shí)驗(yàn)中，不能排除濾光片擺放的位置觸發(fā)了“隱藏變量”的產(chǎn)生條件，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果恰好是所需要的。要證明愛因斯坦理論是錯(cuò)誤的，還需要更有隨機(jī)性的多組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行證明。阿斯佩(Alain Aspect)在巴黎進(jìn)行了一系列嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)測試，最終在1982年完成了一個(gè)極其復(fù)雜的證明實(shí)驗(yàn)。此次實(shí)驗(yàn)在光子從發(fā)射器飛到透鏡的十億分之一秒內(nèi)，透鏡的方向會(huì)隨機(jī)改變。這種方式可以避免在光子發(fā)射時(shí)刻與透鏡產(chǎn)生的“隱藏變量”，排除了透鏡的配置與位置對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，證明了貝爾理論與量子力學(xué)的正確性[3]。

克勞澤與阿斯佩的一系列實(shí)驗(yàn)似乎可以得出量子力學(xué)已被證明的結(jié)論。然而，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在這一系列嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)中，仍然存在著一個(gè)非常細(xì)微的漏洞需要解決。這個(gè)漏洞就是在實(shí)驗(yàn)開始的時(shí)候，一個(gè)非隨機(jī)的過程是否會(huì)決定透鏡的更新方式？在2017年，塞林格(Anton Zeilinger)領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)利用數(shù)百年前遙遠(yuǎn)恒星發(fā)射出的光子的顏色來確定實(shí)驗(yàn)設(shè)置，進(jìn)一步縮小了這一漏洞[4]。這個(gè)初始條件極大地降低了糾纏結(jié)果的“預(yù)定”。如果愛因斯坦所說的“隱藏變量”存在，那么在數(shù)百年前，這個(gè)糾纏條件就已經(jīng)被觸發(fā)。當(dāng)時(shí)，仍有少數(shù)物理學(xué)家堅(jiān)持愛因斯坦的觀點(diǎn)，認(rèn)為所有物質(zhì)的量子糾纏的測量結(jié)果早在宇宙大爆炸時(shí)期就已經(jīng)確定，但大部分物理學(xué)家接受了克勞澤、阿斯佩與塞林格三人的實(shí)驗(yàn)與觀點(diǎn)，盡管粒子對(duì)系統(tǒng)存在量子糾纏現(xiàn)象的原因并不完全清楚。要結(jié)束這長達(dá)80多年的爭論，物理學(xué)還需要一個(gè)完美的實(shí)驗(yàn)證明。

目前，物理學(xué)雖然沒有一個(gè)絕佳的量子糾纏實(shí)驗(yàn)證明，但克勞澤、阿斯佩與塞林格三人的實(shí)驗(yàn)對(duì)于量子糾纏證明具有開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。2022年，克勞澤、阿斯佩與塞林格榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?！白罡镜膯栴}是，量子糾纏從根本上說到底意味著什么?我們沒有答案。這(量子糾纏)是一個(gè)新的研究途徑?！比指裾f。我們期望在未來能夠?qū)崿F(xiàn)量子糾纏的解釋與完全證明。

2 糾纏熵的分類與計(jì)算

量子糾纏是量子力學(xué)的一種基本效應(yīng)，為了量化研究量子糾纏，物理學(xué)家引入“糾纏熵”這一概念。經(jīng)典物理中，熵最先出現(xiàn)在開爾文(Lord Kelvin)與克勞修斯(Rudolf J.E.Clausius)提出的熱力學(xué)第二定律中，即熱力學(xué)系統(tǒng)從一個(gè)平衡態(tài)經(jīng)絕熱過程到達(dá)另一個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的熵永不減少。后來，熵的概念被推廣到統(tǒng)計(jì)物理與信息科學(xué)領(lǐng)域用來表征系統(tǒng)的信息量，稱為信息熵[5]。

類比于熱力學(xué)熵與信息熵，糾纏熵表示量子力學(xué)系統(tǒng)中的量子糾纏大小，是目前主流的糾纏度量之一。糾纏熵最先是由馮?諾依曼(von Neumann)在研究量子力學(xué)系統(tǒng)時(shí)定義的，是測量系統(tǒng)被分割之后信息丟失的統(tǒng)計(jì)力學(xué)熵。馮?諾依曼糾纏熵定義為：

其中ai為約化密度矩陣ρA的特征值。值得注意的是，處于純態(tài)的系統(tǒng)其糾纏熵始終為零。另外，局域的幺正操作不改變糾纏度。目前，主流的量子糾纏度量還有相對(duì)糾纏熵[6]、形成糾纏度[7]、糾纏負(fù)值度[8]等。

量子信息領(lǐng)域中，被觀測物不僅依賴于時(shí)間，也依賴于它在流形中的空間位置。在離散化的空間中計(jì)算被觀測物的糾纏熵，并得到其相關(guān)信息。一個(gè)晶格間距為?的晶格系統(tǒng)，需考慮一個(gè)長度為L的子區(qū)域A，我們用如下公式可以計(jì)算糾纏熵[9]。在整個(gè)希爾伯特空間選取一個(gè)隨機(jī)態(tài)，根據(jù)Page公式[10]，子區(qū)域A的糾纏熵滿足體積律：

其中D-1是空間區(qū)域的維數(shù)，?為UV(紫外)截?cái)?，糾纏熵體積律主要適用于高度激發(fā)態(tài)系統(tǒng)。我們通常對(duì)隨機(jī)態(tài)不感興趣，而是將注意力集中在量子態(tài)上。對(duì)于糾纏只發(fā)生在相鄰的晶格點(diǎn)之間的局域哈密頓系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，糾纏熵滿足面積律：

其中γ是與系統(tǒng)相關(guān)的系數(shù)，省略號(hào)后是較小的領(lǐng)頭項(xiàng)。面積律中，糾纏主要來自子區(qū)域A邊界(記作?A)附近相鄰態(tài)之間的短程糾纏。其計(jì)算的糾纏熵?cái)?shù)值比體積律中計(jì)算得到的數(shù)值小很多。在某種意義上，我們希望物理狀態(tài)包含較少的糾纏。結(jié)果證明，面積律符合晶格系統(tǒng)的實(shí)際情況。但當(dāng)D=2時(shí)，系統(tǒng)中基態(tài)有足夠的長距離糾纏，面積律將不適用。在此情況下，臨界系統(tǒng)的子區(qū)域A的糾纏熵滿足對(duì)數(shù)律：

其中C為二維共形場論中的帶電中心荷，L為區(qū)域A的時(shí)間切片面長度?？梢钥吹剑嘏c中心荷成正比，與UV截?cái)嘤袑?duì)數(shù)關(guān)系。我們可以將上述公式推廣到更復(fù)雜系統(tǒng)中，度量特定的糾纏熵。

3 全息糾纏熵與幾何

1995年，弦理論的創(chuàng)始人之一薩斯坎德(Leonard Susskind)結(jié)合荷蘭理論物理學(xué)家霍夫特(Gerardus 't Hooft)的早期想法，提出引力全息原理——“三維世界是一個(gè)數(shù)據(jù)圖像，可以像全息圖像一樣儲(chǔ)存在二維投影上”的猜想。例如，在普朗克尺度下，我們所在的世界可以通過二維投影來理解[11]?；谝θ⒃?，他猜測引力理論與量子場論之間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即一個(gè)(d+1)維時(shí)空上的引力理論可以通過其邊界上的d維無引力的量子場論來等效描述，就像進(jìn)行全息投影一樣。類似于柏拉圖的洞穴理論，一群人生來就只能面對(duì)洞穴中的一面墻且不能回頭，當(dāng)火把與其他各式各樣的人從他們后面經(jīng)過時(shí)，他們只能看到墻壁上的投影。洞穴人所認(rèn)為的世界就是墻上的影子，認(rèn)為世界是二維的。恰恰相反，在全息原理中，真實(shí)世界是墻上的影子，即二維的世界。當(dāng)時(shí)，薩斯坎德提出的猜想留有一些令人困惑的問題，例如，全息原理能否保持系統(tǒng)某些特征與連續(xù)對(duì)稱，如平移、旋轉(zhuǎn)和完全洛倫茲變換是否遵循諾特定理。如果物理學(xué)家能夠建立適用于全息投影的物理框架，就能夠極大程度地簡化復(fù)雜的物理問題，這將可能成為解決量子引力問題的重要方法。

不久，這個(gè)猜想就有了新的證明。1997年，馬爾達(dá)西那(Juan Maldacena)發(fā)現(xiàn)超弦理論中十維時(shí)空AdS5×S5上的Type IIB弦理論對(duì)偶于四維N=4SU(N)的超對(duì)稱Yang-Mills規(guī)范理論[12]，首次在弦論中實(shí)現(xiàn)了全息對(duì)偶，并提出AdS/CFT猜想。其中AdS代表一個(gè)曲率為常負(fù)數(shù)的(d+1)維時(shí)空，即反德西特(AdS, anti- de Sitter)時(shí)空；CFT(conformal field theory)則代表等價(jià)的d維時(shí)空中的共形場論。AdS/CFT來源于弦理論，在全息理論中，AdS是含有引力的時(shí)空，比定義為在沒有引力的量子空間中的量子場論CFT高一維度[13-15]，即引力時(shí)空中的區(qū)域?qū)?yīng)于低一維量子場論中的邊界。另外，AdS比CFT多出的一個(gè)維度對(duì)偶于共形場論中的能量尺度。利用全息對(duì)偶，我們可以在共形場論中理解復(fù)雜的量子引力問題，也可以在它對(duì)偶的量子引力理論中解決量子共形場論問題。盡管這個(gè)理論缺少對(duì)量子引力理論對(duì)偶的詳細(xì)描述，但關(guān)于糾纏熵的計(jì)算，物理學(xué)家們似乎找到了一個(gè)新的實(shí)現(xiàn)途徑。

2006年，量子場論的糾纏熵計(jì)算迎來第一個(gè)結(jié)果。日本物理學(xué)家笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)提出，在共形場論中，邊界上有任意一個(gè)(d+1)維的子系統(tǒng)A，區(qū)域A的量子糾纏熵對(duì)偶于(d+2)維AdS時(shí)空中同樣邊界上的曲面中面積最小的一個(gè)，即“面積定律”[16]：

其中γA是AdSd+2中余二維靜態(tài)時(shí)空的最小曲面的面積，即與子系統(tǒng)A的同源的RT(Ryu-Takayanagi)面。三維情況下也是一條測地線，邊界由?A給出；GN(d+2)是(d+2)維的牛頓引力常量，這個(gè)公式被稱為RT公式。RT面是AdS時(shí)空中的一個(gè)類空面，RT公式描述的是一個(gè)靜態(tài)時(shí)空，所以RT面不依賴于時(shí)間。在AdS時(shí)空邊界任取一個(gè)子區(qū)域，可以得到低一維的CFT(圖1(a))；根據(jù)“面積定律”，極小表面γA對(duì)只能接觸到子系統(tǒng)A的觀察者起著全息屏幕的作用(圖1(b))。并且，由糾纏熵的互補(bǔ)性，我們可以得到與子系統(tǒng)互補(bǔ)的子系統(tǒng)B的糾纏熵SB等于子系統(tǒng)A的糾纏熵SA。在低維時(shí)空中，RT公式能夠與直接從CFT計(jì)算的糾纏熵?cái)?shù)據(jù)完全重合。然而，在d≥2的更高維度中，因?yàn)橐εc強(qiáng)耦合規(guī)范理論描述相對(duì)應(yīng)，而強(qiáng)耦合規(guī)范理論的熵暫不確定，所以糾纏熵的計(jì)算很難進(jìn)行定量比較。

圖1 (a)AdS3空間中，CFT2位于其邊界上；(b)測地線γA作為全息屏幕[16]

4 時(shí)空來自量子糾纏

全息糾纏熵給出了AdS/CFT全息對(duì)偶的一個(gè)強(qiáng)有力的證明。同時(shí)，它也將量子糾纏與時(shí)空幾何聯(lián)系起來。事實(shí)上，在此之前的研究表明，黑洞也存在幾何面積與物理量的聯(lián)系。

在20世紀(jì)70年代，霍金(Stephen William Hawking)提出黑洞面積不減定理，即黑洞的表面積隨著時(shí)間只能增加不能減少[17]。而后，貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)發(fā)現(xiàn)黑洞的面積不減定理與熱力學(xué)第二定律之間存在著驚人的相似性，可以將黑洞永不隨時(shí)間減少的表面積類比經(jīng)典物理學(xué)中永不隨時(shí)間減少的熵。貝肯斯坦史無前例地在黑洞物理學(xué)中引入了熱力學(xué)物理的概念，最先提出了“黑洞熵”一詞，并且得到了黑洞熵與四分之一的黑洞的視界面積A成正比的結(jié)論[18]：

根據(jù)熱力學(xué)第二定律，在同樣大小的一個(gè)球形區(qū)域里，其他任何物質(zhì)態(tài)的熵都不能超過黑洞。一般來說，熵是與體積成正比的，而這里的熵與黑洞視界面積成正比，意味著黑洞熵并不是時(shí)空局域的，它一定有某些特殊的含義。

全息原理就是基于黑洞熵的結(jié)果被提出的，它也存在著關(guān)于定域性的量子糾錯(cuò)悖論。正如上節(jié)所提到的，共形場論對(duì)偶于AdS中的引力理論，引力場中的每一個(gè)態(tài)都對(duì)應(yīng)著邊界量子場論中的一個(gè)態(tài)。那么，如果體時(shí)空內(nèi)部有一個(gè)離邊界很遠(yuǎn)的電子，攜帶某個(gè)特定方向的“自旋向上”的信息，它的電子波函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的局域范圍內(nèi)，根據(jù)全息對(duì)偶的條件，我們可以在邊界找到與之對(duì)偶的態(tài)電子，從而操控體內(nèi)部電子攜帶的自旋方向的信息，使之“自旋向下”。這看上去非常自然。但是，如果體時(shí)空滿足相對(duì)論，那么信息傳遞的速度就不能超過光速。當(dāng)我們從邊界上操控電子自旋，它的信息幾乎在瞬間就傳遞給遠(yuǎn)處的電子，這與體時(shí)空的定域性相矛盾，即量子糾錯(cuò)悖論。

2014年，阿姆黑利(Ahmed Almheiri)、董希和哈洛(Daniel Harlow)三人提出了關(guān)于這個(gè)悖論的解釋[19]。在此之前，人們已經(jīng)可以利用全息原理的局部重構(gòu)技術(shù)，將體時(shí)空中某局域電子攜帶的信息對(duì)應(yīng)到邊界上的子區(qū)域中，縮小了對(duì)應(yīng)的范圍[20-21]。他們認(rèn)為，用小區(qū)域來操控體時(shí)空中的電子的信息是不可能實(shí)現(xiàn)的。如圖2所示，A區(qū)域非常小，該區(qū)域的觀測者無法實(shí)現(xiàn)對(duì)電子的操控。在觀測者看來，A區(qū)域與電子的距離非常遠(yuǎn)，導(dǎo)致觀測者產(chǎn)生信息傳遞速度超過光速的悖論。如果要操控電子，我們必須選取更大的區(qū)域，如圖2中的B區(qū)域。作為B區(qū)域的觀察者，無法同時(shí)在大區(qū)域的邊界找到并操控電子對(duì)偶的區(qū)域，使得電子所攜帶的自旋信息產(chǎn)生變化。我們發(fā)現(xiàn)，量子糾錯(cuò)的核心機(jī)制和經(jīng)典計(jì)算機(jī)的糾錯(cuò)十分類似，即把量子信息以一種冗余的方式儲(chǔ)存在一個(gè)更大的系統(tǒng)里，以保證如果系統(tǒng)的一部分出了錯(cuò)誤，還能從未出錯(cuò)的剩余部分中把信息提取出來[22]。電子所攜帶的自旋信息可以看作是一種“量子編碼”，它儲(chǔ)存在大系統(tǒng)中，即便出現(xiàn)錯(cuò)誤也可以從沒有錯(cuò)誤的部分提取出信息來。這樣，體時(shí)空引力理論的定域性實(shí)際上來自全息對(duì)偶作為一個(gè)“量子編碼”的量子糾錯(cuò)性質(zhì)。這種量子糾錯(cuò)的性質(zhì)與RT公式密切相關(guān)[23]。因此，我們利用RT公式得到的糾纏熵，對(duì)于實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)有重要的貢獻(xiàn)。

圖2 體時(shí)空中x處的電子不能被邊界上的A區(qū)域控制，而大區(qū)域B可以直接操控它[21]

在量子糾錯(cuò)悖論得到解釋之前，RT公式也有相應(yīng)的發(fā)展。我們計(jì)算糾纏熵的方法在不斷豐富與完善。2007年，胡本尼(Veronika Hubeny)、讓加曼尼(Mukund Rangamani)和高柳匡三人將RT公式擴(kuò)展至?xí)r間依賴的廣義AdS時(shí)空中，并提出了RT公式的協(xié)變推廣形式的糾纏熵HRT公式。在AdS/CFT對(duì)應(yīng)的背景下，糾纏熵與邊界上特定區(qū)域相關(guān)，并且隨著類光測地線的膨脹消失，由共維體時(shí)空曲面的面積給出[24]：

其中Area(χ)是體時(shí)空中與邊界子區(qū)域R同源的極值HRT面χ的面積。當(dāng)體時(shí)空是靜態(tài)時(shí)空時(shí)，Area(χ)會(huì)簡化為最小曲面，即RT公式中的γA面。RT公式與HRT公式是最低階的半經(jīng)典貢獻(xiàn)項(xiàng)。在量子場論中，我們需要考慮量子漲落貢獻(xiàn)及量子修正項(xiàng)，即RT面與邊界子區(qū)域圍成的體區(qū)域內(nèi)物質(zhì)場的糾纏熵貢獻(xiàn)。

隨后，在2013年，?？思{(Thomas Faulkner)、萊科維奇(Aitorn Lewkowycz)和馬爾達(dá)西那三人表明，RT公式忽略了最小面所包裹區(qū)域內(nèi)的量子場產(chǎn)生的馮?諾伊曼熵，并提出了含有一階量子修正的全息糾纏熵公式，即QRT或FLM公式[25]：

其中除了第一項(xiàng)的面積項(xiàng)之外，還包括了第二項(xiàng)的量子修正項(xiàng)。由于真空中的量子漲落的存在，量子修正項(xiàng)不會(huì)被消除。

進(jìn)一步，2014年，恩格哈特(Netta Engelhard)與沃爾(Aron C.Wall)提出全息糾纏熵可以用廣義熵極值化的“量子極值面”在普朗克常數(shù)的量級(jí)的任意階量子修正下進(jìn)行計(jì)算，并推導(dǎo)出了量子極值面(QES)公式[26]：

在體量子修正的領(lǐng)頭階上，計(jì)算公式與QRT公式一致；在領(lǐng)頭階之外，存在著兩個(gè)分歧。與RT面不同的是，此時(shí)的極值曲面不再是面積取最小的RT面，而是極值化(Ext)廣義熵與所有滿足該條件的候選者中的項(xiàng)取最小值(Min)，這個(gè)最小值作為最后的結(jié)果，具有廣義熵最小值的面稱為量子極值面。誠然，在經(jīng)典層面，RT面和QES差別很小，可近似認(rèn)為相等。但是，一旦考慮精確量子修正后，就有極大的差別。量子修正后糾纏熵?cái)?shù)值的差別導(dǎo)致我們的討論即將迎來一個(gè)全新的結(jié)果。

QES公式的一個(gè)重要應(yīng)用就是用來計(jì)算佩奇(Don N.Page)在1993年提出的佩奇曲線[27]。它是黑洞信息丟失問題中的一個(gè)重大突破。佩奇曲線最初是由包含幺正性假設(shè)的佩奇定理得到的。佩奇定理表明，從量子力學(xué)的幺正演化出發(fā)，如果要使黑洞在蒸發(fā)的過程中產(chǎn)生熱輻射但不丟失信息，即假設(shè)黑洞蒸發(fā)是一個(gè)幺正的過程，那么黑洞的糾纏熵應(yīng)滿足隨著時(shí)間先上升，達(dá)到峰值開始逐漸減少的規(guī)律。在上升時(shí)符合霍金預(yù)期的結(jié)果，下降后糾纏熵應(yīng)該遞減至零，在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)與黑洞熱力學(xué)熵的曲線重合，這個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)就是佩奇時(shí)間。整個(gè)糾纏熵隨時(shí)間演化的先增后減的曲線被稱作佩奇曲線。

2019年，佩寧頓(Geoffrey Penington)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)用QES計(jì)算一個(gè)蒸發(fā)黑洞的輻射糾纏熵時(shí)，量子QES的位置恰好在佩奇時(shí)間發(fā)生了相變。新的QES面略高于視界面。利用QES公式和Hayden-Preskill解碼準(zhǔn)則，通過糾纏楔重構(gòu)，可以推導(dǎo)出佩奇曲線[28]。同年，阿姆黑利等人考慮到量子極值面和糾纏楔，提出可以用于計(jì)算蒸發(fā)黑洞的細(xì)粒度熵的公式：

其中X是量子極值面QES，ΣX指黑洞的視界面與截?cái)嗝嬷g的區(qū)域。該研究表明量子極值面能夠準(zhǔn)確描述預(yù)期的黑洞蒸發(fā)幺正性，并且發(fā)現(xiàn)一種新的QES面。這個(gè)面只由量子效應(yīng)產(chǎn)生。我們可以發(fā)現(xiàn)，在佩奇時(shí)間后出現(xiàn)于接近視界處并開始占主導(dǎo)地位[29]，這使得物理學(xué)家們對(duì)于擬合佩奇曲線的研究更進(jìn)一步。

與此同時(shí)，阿姆黑利、馬哈詹(Rahajan Mahajan)、馬爾達(dá)西那、趙穎受黑洞的輻射糾纏楔啟發(fā)進(jìn)一步認(rèn)為，霍金輻射的糾纏熵在具有高維全息對(duì)偶的物質(zhì)耦合引力場中，即AdS/CFT場的背景下，高維幾何將輻射與黑洞內(nèi)部聯(lián)系了起來。我們發(fā)現(xiàn)，在上述的公式中，修正項(xiàng)不僅考慮了黑洞外部的輻射熵R，還考慮到了黑洞內(nèi)部的貢獻(xiàn)I，因此可以通過一個(gè)類似廣義熵的公式來計(jì)算輻射熵，這個(gè)公式稱為“孤島公式”[30]：

其中領(lǐng)頭階是孤島邊界的面積項(xiàng)，Area(X)仍是QES的面積，類似黑洞的貝肯斯坦-霍金熵，而第二項(xiàng)表示量子場的馮?諾伊曼熵。利用這個(gè)公式計(jì)算霍金輻射的糾纏熵，計(jì)算結(jié)果可以很好地遵循佩奇曲線，并且與糾纏楔計(jì)算所得結(jié)果一致?！肮聧u公式”的修正項(xiàng)不僅正確計(jì)算了黑洞的輻射熵，還提出了一個(gè)新的物理概念——量子極值孤島。在黑洞蒸發(fā)的中后期，由于量子極值面QES面出現(xiàn)在視界內(nèi)部，黑洞內(nèi)部區(qū)域產(chǎn)生了量子極值孤島區(qū)域。黑洞內(nèi)部和外部被QES面分隔，因?yàn)閮?nèi)部的島嶼區(qū)域的I與外部輻射區(qū)域的R是非連通的，如同大海中的一座孤島，得名“孤島”。考慮到量子孤島修正，霍金輻射的糾纏熵值可以在佩奇時(shí)間后遞減，計(jì)算的結(jié)果能夠很好地符合佩奇曲線。

此外，之后的研究表明，雖然孤島公式是在AdS/CFT背景中推導(dǎo)出來的，但其應(yīng)用范圍遠(yuǎn)超全息背景。目前的研究已將其推廣至了更一般的時(shí)空背景，并在不斷地發(fā)展，例如二維漸進(jìn)平坦永恒黑洞[31-32]、史瓦西黑洞[33]及其他高維背景。

5 結(jié)論與展望

通過特殊的AdS/CFT引力全息對(duì)偶，我們找到了引力場與共形場論邊界的聯(lián)系，這是一個(gè)積極的信號(hào)，意味著對(duì)于量子糾纏與時(shí)空有了全新的認(rèn)識(shí)。利用全息原理，我們發(fā)現(xiàn)量子信息中的量子糾纏原理，它暗示著時(shí)空并不是局域的，正如文章中關(guān)于糾纏熵的計(jì)算，量子糾纏可以在長距離的情況下發(fā)生，它與引力、時(shí)空之間存在著極大的聯(lián)系，盡管物理學(xué)家們?nèi)晕粗肋@個(gè)聯(lián)系的真正作用原理。目前，我們已經(jīng)可以從全息原理中窺見量子引力領(lǐng)域的廣闊前景，但這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能預(yù)見量子引力理論。我們可以對(duì)未來大膽猜測，或許時(shí)空來自量子糾纏，希望能夠進(jìn)一步地聯(lián)系量子糾纏與引力理論，達(dá)到我們了解時(shí)空的最終目的。