謝翰君，王 林，王欽若

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510000；2.國工信（滄州）機(jī)器人有限公司，河北 滄州 061000）

0 引言

在數(shù)控系統(tǒng)中，速度規(guī)劃算法是研究的熱點(diǎn)之一，因?yàn)樗鼘?duì)數(shù)控系統(tǒng)的速度、精度和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性具有重要的影響[1-2]。在加工復(fù)雜曲線時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)高效加工，通常希望電機(jī)按照最大加速度Amax盡可能加速，以達(dá)到理想的最大速度。但是，這樣的加減速過程可能會(huì)引起剛?cè)狁詈稀⒅刎?fù)載平臺(tái)的殘余振動(dòng)[3-4]，從而影響零件的加工精度和表面質(zhì)量。因此，如何平衡加工平穩(wěn)性和高效性是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，也是眾多學(xué)者長期以來關(guān)注和研究的熱點(diǎn)問題。

文獻(xiàn)[5]充分論述了單段（線段）回溯前推算法，避免了由于速度突變所引起的沖擊，并在嵌入式平臺(tái)仿真測試了該算法。文獻(xiàn)[6]給出了直線間構(gòu)造圓弧平滑過渡的軌跡規(guī)劃算法，為解決因加工路徑方向改變而引起沖擊的問題提供了較好的解決思路。文獻(xiàn)[7]給出了雙向掃描速度規(guī)劃算法，實(shí)現(xiàn)連續(xù)小線段的速度銜接，但該算法本質(zhì)上屬于離線規(guī)劃，不太適合實(shí)時(shí)高速的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]-[10]通過計(jì)算相鄰小線段拐角處所允許的最大速度，給出微小線段連續(xù)前瞻算法。文獻(xiàn)[11]給出了考慮弓高誤差和向心加速度的自適應(yīng)速率規(guī)劃算法。但上述算法都沒有考慮實(shí)際平臺(tái)動(dòng)力學(xué)的影響，可能會(huì)激起剛?cè)狁詈?、重?fù)載平臺(tái)的殘余振動(dòng)，影響零件的加工精度。文獻(xiàn)[12]提出的實(shí)時(shí)速度前瞻算法基于系統(tǒng)模型動(dòng)力學(xué)，但該模型僅為一階模型，因此對(duì)于難以建立精確模型的剛?cè)狁詈?、重?fù)載龍門雙驅(qū)XY平臺(tái)系統(tǒng)，該算法可能不太適用。

由此，開發(fā)一種同時(shí)考慮弓高誤差、向心加速度、速度平穩(wěn)性、實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的速度規(guī)劃算法，很有必要。

1 系統(tǒng)架構(gòu)

基于PC 的實(shí)時(shí)控制器架構(gòu)如圖1 所示。該架構(gòu)采用了工業(yè)上廣泛應(yīng)用的EtherCat 總線[13-14]作為實(shí)時(shí)系統(tǒng)。其主要包括兩個(gè)程序：CNC 解析器和EtherCat Master。CNC 解析器將加工文件的圖形字符串信息轉(zhuǎn)換成直線/圓弧結(jié)構(gòu)體數(shù)組，并將其緩存在兩片交換內(nèi)存中。EtherCat Master 主要由兩個(gè)線程組成：規(guī)劃線程和S曲線插補(bǔ)線程。規(guī)劃線程對(duì)各段直線/圓弧實(shí)現(xiàn)所提速度規(guī)劃算法。該線程主要包括基于動(dòng)力學(xué)的初步規(guī)劃算法模塊和自適應(yīng)多段回溯前推速度規(guī)劃算法模塊?；趧?dòng)力學(xué)的初步規(guī)劃模塊先通過直線段的起止坐標(biāo)，圓弧段的起點(diǎn)、中間點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算線段長度、圓弧半徑、圓心坐標(biāo)等信息，然后結(jié)合弓高誤差約束、向心加速度約束、半徑約束和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)等信息，該模塊得出各線段的實(shí)際加速度、動(dòng)力學(xué)約束速度Vrr、向心加速度約束速度Vrmax和弓高誤差約束速度Vctf，并將其存放在隊(duì)列中。自適應(yīng)多段回溯前推算法模塊調(diào)用該隊(duì)列的信息，規(guī)劃出各線段的初始速度Vs、最高速度以及末速度Ve，并將這些信息傳遞到S曲線插補(bǔ)線程。插補(bǔ)線程生成的插補(bǔ)點(diǎn)隊(duì)列通過EtherCat 總線發(fā)送到各個(gè)EtherCat slave，實(shí)現(xiàn)龍門雙驅(qū)XY平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。

圖1 系統(tǒng)架構(gòu)圖

以下先介紹基于動(dòng)力學(xué)的初步規(guī)劃算法。

2 基于動(dòng)力學(xué)的初步規(guī)劃算法

任意復(fù)雜的曲線都可由直線和圓弧組成，對(duì)各段直線/圓弧選用S曲線加減速算法可確保數(shù)控系統(tǒng)的加工速度和精度[1]。要使用S曲線加減速算法，需要首先確定每段直線或圓弧的長度L、初始速度Vs、最高速度、末速度Ve和加速度等參數(shù)。這個(gè)過程稱為初步規(guī)劃。

初步規(guī)劃的普遍方法如下：

（1）對(duì)于直線，由式（1）判斷該段直線的線長是否能實(shí)現(xiàn)期望速度F。

式中，lr為實(shí)現(xiàn)期望速度F的最小線長。若線長L＜lr，需由式（2）重新計(jì)算最大可達(dá)速度。

式中，Ts為插補(bǔ)周期，δ為弓高誤差，r為圓弧半徑。于是得：

為了更準(zhǔn)確地考慮系統(tǒng)的伺服動(dòng)力學(xué)模型，除了考慮上述的約束條件，文獻(xiàn)[12]提出需要進(jìn)一步考慮該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并給出基于系統(tǒng)一階動(dòng)力學(xué)模型的速度規(guī)劃算法。然而，文獻(xiàn)[15]指出龍門雙驅(qū)平臺(tái)是一種強(qiáng)耦合系統(tǒng)，實(shí)際上很難建立起其準(zhǔn)確的模型。文獻(xiàn)[16]采用實(shí)驗(yàn)試錯(cuò)的方法，基于系統(tǒng)特征給出了點(diǎn)位離散軌跡算法，以優(yōu)化系統(tǒng)在固有頻率處的最小激勵(lì)幅值，從而提高微小線段加工性能。基于上述研究，本文提出使用實(shí)驗(yàn)方法來確定龍門雙驅(qū)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)：

（1）選取一段微小線段（如10 mm 的直線），線段從零開始平滑加速并減速到零，則平滑加速所需的最小時(shí)間定義為T0；

（2）對(duì)于線長L的線段，其不含勻速段時(shí)的實(shí)際加速度，定義amin≤≤Amax，其中amin為系統(tǒng)的最小加速度，由實(shí)驗(yàn)方法確定；

（3）對(duì)于r=1 mm 的小圓，平滑運(yùn)動(dòng)一周所需的最小時(shí)間定義為Tω，則圓的動(dòng)力學(xué)約束速度Vrr=。

因此，對(duì)于直線和圓弧，同時(shí)考慮弓高誤差約束、向心加速度約束及動(dòng)力學(xué)約束的加速度分別為：

將式（1）、式（2）中的Amax改寫為，對(duì)于直線，得：

對(duì)于圓弧，得：

3 基于動(dòng)力學(xué)自適應(yīng)多段回溯前推算法

在完成基于動(dòng)力學(xué)的初步規(guī)劃后，本節(jié)將介紹基于動(dòng)力學(xué)自適應(yīng)多段回溯前推算法。

文獻(xiàn)[5]對(duì)單段回溯前推算法進(jìn)行了詳細(xì)闡述。設(shè)有當(dāng)前段i，單段回溯前推算法的核心思想是保證回溯段（i+1）的出口速度為零，即Ve,i+1=0，并確保在兩段線段的銜接處不發(fā)生速度突變，即Ve,i=Vs,i+1，以保證能夠無沖擊地完成每段線段的運(yùn)動(dòng)。

本節(jié)在單段回溯前推算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出基于動(dòng)力學(xué)自適應(yīng)多段回溯前推速度規(guī)劃算法(以下簡稱多段回溯算法），該算法同時(shí)考慮了弓高誤差約束、向心加速度約束和動(dòng)力學(xué)約束。考慮到龍門雙驅(qū)XY平臺(tái)的剛?cè)狁詈咸匦院图庸ぞ纫?，本文設(shè)定線段之間的銜接必須滿足相切的情況下才使用多段回溯算法。此外，假設(shè)直線之后只能與圓弧相切，而圓弧之后則可以與直線或圓弧相切。

假設(shè)有連續(xù)相切的n段線段，起始段(i)為直線，起始速度Vs,i=0，定義下一段(i+1)圓弧的預(yù)計(jì)銜接（入口）速度為Vs-,i+1=min(F,Vrmax,i+1,Vctf,i+1,Vrr,i+1)，則i段的預(yù)計(jì)出口速度Ve-,i=。由此，定義i+1 段出口速度為零的判別式如下：

若式（12）成立，則多段回溯算法結(jié)束；若式（12）不成立，則繼續(xù)回溯下一段（i+2）。需區(qū)分i+2 段為直線或圓弧，定義i+2 段出口速度為零的判別式如下：

（1）當(dāng)i+2 段直線時(shí)：

（2）當(dāng)i+2 段圓弧時(shí)：

類似的流程即可自適應(yīng)回溯i+3,i+4,…段，具體算法流程如圖2 所示。

圖2 自適應(yīng)多段回溯前推算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將會(huì)給出所提算法將與文獻(xiàn)[11] 中的自適應(yīng)速率算法和文獻(xiàn)[5]中的單段回溯前推算法的實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)將在圖1 所示的龍門雙驅(qū)XY激光切割平臺(tái)上進(jìn)行。該平臺(tái)的XY軸采用了表貼式永磁同步直線電機(jī)，單軸連續(xù)推力為191 N。伺服驅(qū)動(dòng)器采用了SANYODENKI RS3A05A。反饋裝置采用了RENISHAW 增量式光柵尺，其分辨率為1 μm。光源采用SYNRAD Ti100 脈沖CO2激光器,工作波長為9.2 μm，峰值功率為400 W。與龍門雙驅(qū)XY平臺(tái)及所提算法相關(guān)的參數(shù)見表1。

表1 平臺(tái)及所提算法相關(guān)參數(shù)

本實(shí)驗(yàn)采用了基于PC 的實(shí)時(shí)控制器，其采用了J1900 2.4 GHz CPU 和2 GB 內(nèi)存。圖1 所示的CNC 解析器在Qt IDE 開發(fā)，規(guī)劃線程和插補(bǔ)線程運(yùn)行在Ether-Cat 實(shí)時(shí)主站中。其中，CNC 解析器、規(guī)劃線程和插補(bǔ)線程的定時(shí)器周期分別為20 ms、5 ms、1 ms。為了確保EtherCat 實(shí)時(shí)主站的兩個(gè)線程能夠同步同一個(gè)規(guī)劃線段，在兩個(gè)線程間設(shè)置了線程互斥鎖。插補(bǔ)線程采用了文獻(xiàn)[1] 中的 5 段S曲線插補(bǔ)算法。

根據(jù)圖2 中的算法流程圖，可以看出自適應(yīng)段數(shù)的增加會(huì)導(dǎo)致算法時(shí)空復(fù)雜度的增加。考慮到代碼實(shí)現(xiàn)難度和系統(tǒng)實(shí)時(shí)性，設(shè)定最大自適應(yīng)回溯段數(shù)為2。

4.1 與自適應(yīng)速率算法的對(duì)比

下文先給出與自適應(yīng)速率算法的對(duì)比，測試圖形及相應(yīng)速度曲線如圖3 所示。

圖3 算法對(duì)比

各軸位置偏差如圖4 所示。

圖4 位置偏差曲線對(duì)比

R=1 mm 及R=2 mm 圓的目標(biāo)位置和實(shí)際位置曲線如圖5、圖6 所示。

圖5 R=1 mm 圓的實(shí)際曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比

圖6 R=2 mm 圓的實(shí)際曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比

實(shí)際曲線采樣點(diǎn)與圓心距離如圖7 所示。

圖7 采樣點(diǎn)到圓心距離曲線對(duì)比

由圖6、圖7 中可知，所提算法得到較小的誤差，實(shí)際圓的加工曲線更接近理想圓。由于自適應(yīng)速率算法主要考慮最大向心加速度與圓弧半徑，忽略了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，導(dǎo)致圓弧的加工速度較高，產(chǎn)生了了較大的軸位置偏差和加工誤差。由表2 可知，相比自適應(yīng)速率算法，對(duì)于R=1 mm 圓，最大輪廓誤差減少58%；對(duì)于R=2 mm 圓，最大輪廓誤差減少61%。

表2 圓輪廓誤差對(duì)比

4.2 與單段回溯前推算法的對(duì)比

接著將給出與單段回溯前推算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，測試圖形如圖8 所示，性能對(duì)比如圖9 所示。

圖8 測試圖形-橢圓

圖9 橢圓曲線性能對(duì)比偏差

由圖9 可知，所提算法相比單段回溯前推算法，加工時(shí)間減少了17%。這是因?yàn)閱味位厮萸巴扑惴ū仨毐ＷC回溯段的出口速度為零。由圖8 可知，與起始段圓弧相接的是一段較短的直線，為保證該段直線的出口速度為零，意味著在這兩段線段相接處只能規(guī)劃較低的銜接速度。因而其最終速度曲線呈“高低起伏”形狀，與此相比，所提算法的速度曲線更平順。

最后對(duì)字母圖形S 進(jìn)行激光切割測試，激光能量脈寬調(diào)節(jié)(PWM)設(shè)置為10%。測試圖形如圖10 所示，性能對(duì)比如圖11 所示，激光切割效果對(duì)比如圖12 所示。

圖10 測試圖形-字母S

圖11 字母S 性能對(duì)比

圖12 激光切割效果對(duì)比

由圖11 可知，所提算法相比單段回溯前推算法，加工時(shí)間減少了25%。由圖12 可知，得益于更平順的速度規(guī)劃曲線，相比單段回溯前推算法，由于激光能量過于集中而造成切割軌跡碳化的跡象也大為減少，激光切割質(zhì)量更高。

5 結(jié)論

本文采用基于動(dòng)力學(xué)的自適應(yīng)多段回溯前推實(shí)時(shí)速度規(guī)劃算法，該算法同時(shí)考慮了弓高誤差約束、向心加速度約束、速度平穩(wěn)性以及實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)約束。在龍門雙驅(qū)XY激光切割平臺(tái)上，所提算法與自適應(yīng)速率算法以及單段回溯前推算法進(jìn)行了對(duì)比。與自適應(yīng)速率算法的比較結(jié)果表明，本算法能夠獲得更好的加工精度。對(duì)于R=1 mm 圓，最大輪廓誤差減少58%；對(duì)于R=2 mm 圓，最大輪廓誤差減少61%。與單段回溯前推算法的兩個(gè)對(duì)比測試結(jié)果則表明，所提算法的加工效率分別提高17%和25%，并且獲得更優(yōu)的激光切割質(zhì)量?？傮w而言，所提算法簡單有效，具有較大的應(yīng)用價(jià)值。