張鳳珊，陳 拓，陳曉燕，蔣 陽(yáng)，曾 浩

（1.北京衛(wèi)星信息工程研究所，北京 100086；2.重慶大學(xué) 微電子與通信工程學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

在雷達(dá)、通信、測(cè)控等領(lǐng)域中，采用基于相控陣天線的幅度和差單脈沖測(cè)角技術(shù)被廣泛用于目標(biāo)角度跟蹤，具體又分為查表法和公式法[1]。查表法需要建立每一個(gè)跟蹤軸角度下的差和比曲線，天線測(cè)量過(guò)程復(fù)雜，存儲(chǔ)資源消耗大，訪問(wèn)速度慢。而公式法只需要根據(jù)子波束接收信號(hào)幅度計(jì)算目標(biāo)角度，克服了查表法的不足，所以本文討論公式法。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，公式法誤差來(lái)源主要有兩個(gè)，一是子波束接收信號(hào)的幅度估計(jì)誤差，二是改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。

來(lái)波信號(hào)的幅度估計(jì)是公式法的重要步驟，幅度估計(jì)精度將直接影響到目標(biāo)測(cè)角精度，估計(jì)方法主要有最大似然估計(jì)[2-3]、能量公式估計(jì)[4]等方法。利用最大似然法檢測(cè)強(qiáng)背景噪聲中的信號(hào)已經(jīng)成為比較成熟的方法，并得到廣泛應(yīng)用，但該方法要求有用信號(hào)已知，并非真正意義上的盲估計(jì)算法[5]。利用能量公式法估計(jì)信號(hào)幅度的復(fù)雜度低，且在高信噪比（Signal-to-Noise Ratio,SNR）下幅度估計(jì)精度高，但在低SNR 下，易受到噪聲的影響。如果可以降低接收信號(hào)中的噪聲，提高信噪比，那么能量公式法將是一種復(fù)雜度低、但估計(jì)精度高的幅度估計(jì)方法。

另一方面，為了減小方向圖畸變對(duì)測(cè)角的影響，相關(guān)學(xué)者對(duì)此展開了廣泛的研究。文獻(xiàn)[6-9]通過(guò)引入線性約束條件，減小差和比曲線畸變的問(wèn)題，但約束條件繁瑣、復(fù)雜。文獻(xiàn)[10]建立一種誤差補(bǔ)償?shù)纳窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來(lái)對(duì)差和比曲線進(jìn)行補(bǔ)償，但學(xué)習(xí)復(fù)雜度高且樣本依賴性嚴(yán)重。文獻(xiàn)[11]提出了一種獨(dú)立于和波束的數(shù)字差波束形成方法，相比于傳統(tǒng)方法，測(cè)角精度提高了1.16 倍。文獻(xiàn)[12]提出一種基于虛擬子陣的目標(biāo)角度估計(jì)方法，它將陣列劃分為兩個(gè)虛擬子陣，并利用測(cè)量值的相位差來(lái)估計(jì)目標(biāo)角度，但涉及矩陣求逆和積分運(yùn)算，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[13]提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的單脈沖角度跟蹤方法，其算法魯棒性高，但很難建立運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的精確運(yùn)動(dòng)模型，且模型線性化過(guò)程復(fù)雜。文獻(xiàn)[14]針對(duì)二維測(cè)角方法存在角度估計(jì)耦合的問(wèn)題，提出了一種解耦測(cè)角方法。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文采用循環(huán)位移自相關(guān)方法來(lái)降低噪聲對(duì)信號(hào)的影響，并利用復(fù)雜度低的能量公式估計(jì)來(lái)波信號(hào)幅度。此外，本文利用同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，從而保持天線的波束形狀和增益基本不變[15-16]，最終減小改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。從這兩個(gè)方面減小誤差來(lái)源，提高目標(biāo)角度估計(jì)精度。

1 陣列接收信號(hào)模型

假設(shè)一個(gè)具有M層圓環(huán)的同心圓環(huán)陣，各個(gè)圓環(huán)半徑ρm沿徑向依次遞增，Nm表示第m層圓環(huán)的陣元個(gè)數(shù)。進(jìn)一步假設(shè)第m層圓環(huán)的第n個(gè)陣元的方位角為ψmn，其示意圖如圖1 所示。

圖1 同心圓環(huán)陣的陣元分布圖

由于均勻同心圓環(huán)陣需要滿足陣元在各個(gè)圓環(huán)上等間距分布且其相鄰圓環(huán)間距相等的要求，因此均勻同心圓環(huán)陣的陣元方位角位置ψmn、圓環(huán)半徑ρm和陣元數(shù)Nm的計(jì)算公式如下：

式中：Δρ表示相鄰圓環(huán)之間的間距，λ表示來(lái)波信號(hào)波長(zhǎng)。進(jìn)一步假設(shè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)平面波信號(hào)入射俯仰角θs和方位角φs，根據(jù)圓心處的陣元接收到的信號(hào)：

則第m層圓環(huán)的第n個(gè)陣元的接收信號(hào)可以表示為

式中：m(t) 表示信號(hào)復(fù)包絡(luò)，ω表示信號(hào)角頻率，τmn(θs,φs)表示第m層圓環(huán)的第n個(gè)陣元相對(duì)于圓心陣元接收信號(hào)的延時(shí)：

由于接收信號(hào)一般含有噪聲，因此可定義陣列接收信號(hào)矩陣為：

式中：V(θs,φs)表示信號(hào)方向矩陣，如式（6）所示；N(t)表示噪聲矩陣，各個(gè)單元噪聲獨(dú)立同分布。

根據(jù)和差波束設(shè)置，接收機(jī)采用數(shù)字加權(quán)方式同時(shí)形成4 個(gè)不同指向子波束。記子波束指向?yàn)?θ0,φ0)，則對(duì)應(yīng)的權(quán)值矩陣為：

此時(shí)波束指向(θ0,φ0)的同心圓環(huán)陣的波束輸出信號(hào)為：

式中：W*表示W(wǎng)的共軛，符號(hào)“?”表示兩個(gè)同階矩陣的Hadamard 積，sum[]表示求矩陣所有元素的和。d(t)表示不含噪聲的子波束輸出信號(hào)，n(t)表示輸出信號(hào)中的噪聲。

2 二次循環(huán)位移自相關(guān)幅度估計(jì)

幅度和差單脈沖測(cè)角技術(shù)需要估計(jì)子波束接收信號(hào)幅度，而帶內(nèi)噪聲和雜波是影響估計(jì)精度的主要因素。如果接收信號(hào)是周期信號(hào)，通過(guò)循環(huán)位移自相關(guān)序列進(jìn)行信號(hào)幅度估計(jì)，可以使非期望信號(hào)（包括帶內(nèi)噪聲和雜波）的影響大大減小。

假設(shè)子波束接收信號(hào)y(t)采樣后的離散序列y(k)，其自相關(guān)函數(shù)ry(m)為：

式中：K表示快拍數(shù)，m∈[1-K,K-1]。根據(jù)式(8)，ry(m)可以進(jìn)一步表示為：

式中：rd(m)、rn(m)分別表示期望信號(hào)d(k)、非期望信號(hào)n(k)的自相關(guān)函數(shù)，rdn(m)、rnd(m)表示兩者互相關(guān)函數(shù)。根據(jù)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性可知：如果噪聲和雜波均為非相關(guān)信號(hào)，那么rdn(m)、rnd(m)均為零，且rn(m)為Delta 函數(shù)。假設(shè)d(k)是周期信號(hào)，則rd(m)是一個(gè)與原信號(hào)同周期的函數(shù)，幅度大小恒定且由待估計(jì)量，即信號(hào)d(k)的幅度A決定。顯然，對(duì)于新的序列ry(m)，由于噪聲和雜波的影響僅僅在m=0 一個(gè)位置，那么用m≠0 的剩余ry(m)進(jìn)行幅度估計(jì)就可以克服非相關(guān)噪聲和雜波的影響。

實(shí)際上，子波束輸出信號(hào)y(k)的長(zhǎng)度K是有限的，此時(shí)ry(m)的幅度不再是定值，而是隨著m模值的增大而減小。為了保證ry(m)的幅度基本不變，從而能夠高效估計(jì)A，本文引入循環(huán)位移[4]的概念，即先把序列y(k)進(jìn)行周期延拓，得到周期為K的新序列：

符號(hào)mod(k,K)表示對(duì)序號(hào)k進(jìn)行模K運(yùn)算，再按照自相關(guān)定義式（9）計(jì)算得到新自相關(guān)序列：

不同于ry(m)，循環(huán)位移自相關(guān)rz(m)的幅度基本上是恒定的，并由A決定。需要注意的是，K的取值不是任意的，K值必須保證周期延拓后的序列在拼接點(diǎn)處相位是連續(xù)的。

rz(m)的噪聲是由于有限快拍導(dǎo)致的期望與噪聲、雜波的互相關(guān)rdn(m)和rnd(m)不為零。相同的原理，通過(guò)對(duì)rz(m)做二次循環(huán)位移自相關(guān)處理，可以進(jìn)一步消除噪聲和雜波對(duì)信號(hào)的影響，即取長(zhǎng)度為K的rz(m)進(jìn)行周期延拓，得到：

然后再計(jì)算自相關(guān)函數(shù)：

根據(jù)上述分析，如果期望信號(hào)d(k)是一個(gè)正弦波，對(duì)rr(k) 可采用復(fù)雜度低的能量公式來(lái)估計(jì)信號(hào)幅度A，即：

3 和差單脈沖測(cè)角方法

3.1 子波束建立方法

假設(shè)跟蹤軸的波束指向角度為(θ0,φ0)，四個(gè)子波束的波束指向角度與跟蹤軸的俯仰偏角均為θk，方位偏角均為φk。根據(jù)前文對(duì)陣列權(quán)值的表示，四個(gè)子波束權(quán)值分別為：

進(jìn)一步假設(shè)目標(biāo)角度為(θs,φs)，目標(biāo)偏離跟蹤軸的俯仰角為θt、方位角為φt，如圖2 所示。規(guī)定目標(biāo)在跟蹤軸的下側(cè)時(shí)θt為正，目標(biāo)在跟蹤軸的右側(cè)時(shí)φt為正，顯然有：

圖2 幅度和差單脈沖測(cè)角示意圖

如果波束指向跟蹤軸的相控陣天線幅度方向圖函數(shù)為：

根據(jù)圓環(huán)陣列幾何布局特點(diǎn)，幅度方向圖函數(shù)E(θ,φ)在四個(gè)子波束方向具有相同的值，即：

相比于均勻平面陣列，由于同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，使得式（19）中的四個(gè)表達(dá)式之間的誤差更小，最終導(dǎo)致基于同心圓環(huán)陣模型的測(cè)角誤差更小。

3.2 差和比計(jì)算

文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[14]介紹了差和比計(jì)算方法的兩種經(jīng)典方法，都可以采用本文提出的幅度估計(jì)方法和陣列結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]利用陣列法向方向矢量構(gòu)建方向圖函數(shù)，文獻(xiàn)[14]則直接利用跟蹤軸方向矢量，此處僅僅討論后者。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，和波束信號(hào)幅度、差波束信號(hào)幅度，作比得到俯仰維的差和比曲線Sθ(θs)和方位維的差和比曲線Sφ(φs)，即：

式中：

3.3 算法步驟

（1）對(duì)來(lái)波信號(hào)粗捕獲，估計(jì)得到的目標(biāo)大致角度(θ0,φ0)，并將該角度作為幅度和差單脈沖測(cè)角方法的跟蹤軸指向角度。

（2）根據(jù)θk、φk以及跟蹤軸指向角度(θ0,φ0)，確定四個(gè)子波束的波束指向角度，并同時(shí)產(chǎn)生四個(gè)相應(yīng)波束指向的子波束。

（3）根據(jù)四個(gè)子波束的接收信號(hào)，采用第2 節(jié)的二次循環(huán)位移自相關(guān)方法估計(jì)得到四個(gè)子波束的接收信號(hào)幅度。

（4）根據(jù)式（20）、式（21）計(jì)算得到俯仰維的差和比值和方位維的差和比值。

（5）根據(jù)式（20）、式（21）分別估計(jì)得到目標(biāo)信號(hào)角度。

4 算法復(fù)雜度分析

平面陣列模型和信號(hào)幅度估計(jì)的能量公式法是目前單脈沖相控陣角度跟蹤的基本方法，而采用圓環(huán)陣列和二次循環(huán)位移自相關(guān)是本文新方法。這些方法都可以同文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[14]兩種經(jīng)典差和比計(jì)算方法結(jié)合。為此，定義6 種單脈沖測(cè)角方法，并按照表1 關(guān)系命名，其對(duì)應(yīng)計(jì)算量如表2 所示。

表1 不同方法的解釋說(shuō)明

表2 不同方法計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

比較方法11 和方法21，兩種算法復(fù)雜度相當(dāng)，且都不高。但一旦采用二次循環(huán)位移自相關(guān)方法，則計(jì)算量明顯增加。此外，相比等面積平面陣，圓環(huán)陣的計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著單元數(shù)L增加而增加?？梢钥闯?，本文所提方法23 是以計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)提高角度跟蹤精度。

5 仿真校驗(yàn)

5.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

以中低軌道的機(jī)載衛(wèi)通角度跟蹤為背景，假設(shè)接收點(diǎn)頻信號(hào)的頻率為70 MHz，采樣頻率為300 MHz，SNR為-10 dB。采用1 024 個(gè)快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)角度估計(jì)，并做M=500 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。進(jìn)一步假設(shè)同心圓環(huán)陣的圓環(huán)層數(shù)為5 層，通過(guò)式（1）計(jì)算同心圓環(huán)陣的總單元數(shù)，然后開方取整得到均勻平面陣的天線單元行、列數(shù)。假設(shè)跟蹤軸指向角度為(30°,150°)，跟蹤軸與四個(gè)子波束指向的俯仰偏角θk、方位偏角φk均為3 dB 帶寬的一半，目標(biāo)偏離跟蹤軸的俯仰角為2°、方位角為1°。

為了對(duì)各算法進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用角度估計(jì)值的均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）來(lái)評(píng)價(jià)算法的測(cè)角精度：

式中：θ、φ分別表示目標(biāo)真實(shí)俯仰角、方位角；分別表示第m次目標(biāo)角度估計(jì)值；θRMSE、φRMSE分別表示目標(biāo)俯仰角估計(jì)值、方位角估計(jì)值的RMSE。

5.2 循環(huán)位移自相關(guān)去噪

仿真參數(shù)如5.1 節(jié)的實(shí)驗(yàn)設(shè)置所示。對(duì)含有噪聲的子波束輸出信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)和二次循環(huán)位移自相關(guān)，其結(jié)果如圖3 所示。

圖3 自相關(guān)和循環(huán)位移自相關(guān)去噪結(jié)果

圖3 中，橫坐標(biāo)表示采樣序號(hào)，縱坐標(biāo)表示信號(hào)幅度。從圖3（c）可以看出，輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的幅度隨采樣序號(hào)的增大而減小，而其二次循環(huán)位移自相關(guān)函數(shù)是幅度基本不變的周期函數(shù)，且與原信號(hào)具有相同的周期，如圖3（d）所示。這說(shuō)明循環(huán)位移自相關(guān)方法能夠降低信號(hào)中的噪聲。

5.3 測(cè)角精度影響因素分析

現(xiàn)在對(duì)來(lái)波信號(hào)進(jìn)行角度估計(jì)，并分析信噪比SNR、陣列層數(shù)M、跟蹤軸的方位指向角度φ0和目標(biāo)偏離跟蹤軸的方位角φt這四個(gè)因素對(duì)測(cè)角精度的影響。

5.3.1 SNR 對(duì)測(cè)角精度的影響

設(shè)定SNR 從-25 dB 到10 dB 均勻變化，步長(zhǎng)為1 dB，其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計(jì)RMSE 曲線如圖4 所示。

圖4 SNR 對(duì)測(cè)角精度的影響

在中低軌道的機(jī)載衛(wèi)通角度跟蹤背景下，接收機(jī)的SNR 水平一般在-25 dB 到0 dB。從圖4 可以看出，當(dāng)SNR 為-25 dB 時(shí)，本文所提出的方法23 的測(cè)角精度是最高的，其空間角度誤差不到1°。進(jìn)一步觀察可知，隨著SNR 的增大，所有方法的測(cè)角RMSE 均會(huì)減小，當(dāng)SNR 足夠大時(shí)，測(cè)角誤差收斂。但對(duì)于任意SNR，方法23 的測(cè)角精度都是最高的。

進(jìn)一步分析圖中曲線，還可以得到如下結(jié)論：其他條件一樣時(shí)，文獻(xiàn)[14]差和比計(jì)算方法優(yōu)于文獻(xiàn)[11]方法，采用二次循環(huán)位移自相關(guān)估計(jì)幅度方法優(yōu)于傳統(tǒng)能量公式法，采用圓環(huán)陣列方法優(yōu)于平面陣列。這也是本文方法誤差最小的原因。

5.3.2 陣列層數(shù)對(duì)測(cè)角精度的影響

設(shè)定同心圓環(huán)陣的陣列層數(shù)M從2 到10 均勻變化，步長(zhǎng)為1。由于θt、φt不能超過(guò)方向圖的3 dB 帶寬的一半，因此設(shè)定θt、φt均為1°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計(jì)RMSE 曲線如圖5 所示。

圖5 陣列層數(shù)對(duì)測(cè)角精度的影響

從圖5 可以看出，隨著陣列層數(shù)的增加，即對(duì)應(yīng)天線單元數(shù)的增加，所有方法的測(cè)角RMSE 均會(huì)減小。這是因?yàn)殛囋獢?shù)越多，方向圖的3 dB 帶寬就越窄，從而差和比曲線的斜率就越大，測(cè)角靈敏度就越高，最終使得測(cè)角精度越高。對(duì)于任意陣列層數(shù)，方法23 即本文方法的測(cè)角精度都是最高的，而且可以得到與5.3.1 相同結(jié)論。

5.3.3 跟蹤軸角度對(duì)測(cè)角精度的影響

設(shè)定跟蹤軸的俯仰角θ0固定為30°，方位角φ0從0°到360°變化，步長(zhǎng)為10°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計(jì)RMSE 曲線如圖6 所示。

圖6 跟蹤軸角度對(duì)測(cè)角精度的影響

從圖6 可以看出，由于同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，使得當(dāng)跟蹤軸的波束指向角度發(fā)生改變時(shí)，其方向圖形狀基本保持不變，從而使得測(cè)角RMSE 基本不變。而基于均勻平面陣模型的測(cè)角方法由于改變波束指向?qū)е路较驁D畸變嚴(yán)重，最終使得測(cè)角RMSE 增大。但由于均勻平面陣也具有一定的對(duì)稱性，因此其測(cè)角誤差呈現(xiàn)出一定的周期性。進(jìn)一步觀察可知，方法23 即本文方法幾乎在整個(gè)角域的測(cè)角精度都是最高的，而且同樣可以得到與5.3.1 相同結(jié)論。

5.3.4 φt 對(duì)測(cè)角精度的影響

設(shè)定φt從0°到2°均勻變化，步長(zhǎng)為0.2°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計(jì)RMSE 曲線如圖7 所示。

圖7 φt 對(duì)測(cè)角精度的影響

從圖7 可以看出，隨著φt的增大，除了采用能量公式法估計(jì)信號(hào)幅度的方法11 和方法21 之外，其余方法的測(cè)角RMSE 均會(huì)增大。這是因?yàn)槿绻繕?biāo)偏離跟蹤軸越遠(yuǎn)，那么四個(gè)子波束接收信號(hào)的SNR 就越低，且受方向圖畸變的影響就越大，最終導(dǎo)致測(cè)角RMSE 增大。進(jìn)一步觀察可知，對(duì)于任意目標(biāo)偏離跟蹤軸的方位角角度，方法23 即本文方法的測(cè)角精度都是最高的，這時(shí)5.3.1 相同結(jié)論還是成立。

6 結(jié)論

本文基于相控陣天線基本理論，利用同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，減小改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。進(jìn)一步利用循環(huán)位移自相關(guān)方法降低信號(hào)中的噪聲，并采用復(fù)雜度低的能量公式估計(jì)信號(hào)幅度。從這兩個(gè)方面減小誤差來(lái)源，提高目標(biāo)角度估計(jì)精度。本文方法算法簡(jiǎn)單，存儲(chǔ)空間小，實(shí)時(shí)性高，可以應(yīng)用于對(duì)目標(biāo)角度測(cè)量有需求的領(lǐng)域。