馬 森 趙啟林

（1 武警警官學(xué)院訓(xùn)練基地，廣州 510440）

（2 南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，南京 211816）

文 摘 為了對復(fù)合材料變截面壓桿的變形性能進(jìn)行理論預(yù)測，本文以航天器空間桁架結(jié)構(gòu)中的復(fù)合材料變截面壓桿作為研究對象，首先，基于經(jīng)典層合板理論，將復(fù)合材料變截面桿的壁板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性板，此時復(fù)合材料變截面桿可近似為正交異性桿；其次，基于彈性變形理論和小變形假設(shè)，推導(dǎo)了反映桿軸向變形能力的等效軸壓剛度理論公式；最后，利用有限元對等效軸壓剛度理論的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，不同中間半徑和變截面段長度條件下，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內(nèi)；不同鋪層角條件下，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在2%以內(nèi)。因此，本文的理論能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測復(fù)合材料變截面壓桿的變形。

0 引言

空間桁架結(jié)構(gòu)由一定數(shù)量的一維桿件在空間拼接而成，非常適用于大型或特大型航天器的構(gòu)建［1-2］。復(fù)合材料因具有諸多性能優(yōu)勢，在衛(wèi)星承力筒［3］、支架［4］、結(jié)構(gòu)板［5］、支撐桿［6］等場合得到了大量應(yīng)用。在空間桁架結(jié)構(gòu)中利用復(fù)合材料桿作為主承力桿可以充分發(fā)揮復(fù)合材料的材料優(yōu)勢和桁架的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢，在滿足結(jié)構(gòu)性能要求的前提下，使得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量更小。

航天器結(jié)構(gòu)上的桁架通常由接頭和復(fù)合材料桿套接而成，桿通常為變截面桿，變截面桿在實(shí)現(xiàn)構(gòu)件輕量化、提升構(gòu)件的連接性能等方面較均勻桿件均具有優(yōu)勢，2010 年NASA［6］首次將復(fù)合材料變截面桿應(yīng)用于登月器桁架結(jié)構(gòu)中。前期已有變截面桿結(jié)構(gòu)方面的研究，如王建華［7］推導(dǎo)了在多個橫、軸向力協(xié)同作用下錐形鋼管桿變形的解析計(jì)算方法；崔允亮等［8］基于光纖監(jiān)測技術(shù)對大直徑變截面鋼管復(fù)合樁承載性狀進(jìn)行了研究；N.K.GUPTA 等［9］對空心和泡沫填充的復(fù)合材料變截面殼進(jìn)行了軸向荷載作用下的實(shí)驗(yàn)研究；H.N.R.WAGNER 等［10］對軸壓荷載條件下的復(fù)合材料變截面錐形殼進(jìn)行的屈曲問題的研究；本文作者前期也對復(fù)合材料變截面桿進(jìn)行了研究［11］，取得了一定的成果。

基頻是在對航天器結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時需要考慮的重要因素，復(fù)合材料桁架結(jié)構(gòu)在滿足結(jié)構(gòu)的基頻要求方面很有優(yōu)勢［12］，在質(zhì)量確定的情況下，桁架桿的軸向變形性能（或軸壓剛度）成為影響桁架結(jié)構(gòu)基頻的主要因素。目前，對復(fù)合材料變截面桿軸向剛度性能的研究還比較少，本文以航天器桁架結(jié)構(gòu)中的復(fù)合材料變截面壓桿作為研究對象，從理論角度出發(fā)研究桿的軸向變形性能，為復(fù)合材料在航天領(lǐng)域的應(yīng)用提供支撐。

1 復(fù)合材料變截面壓桿軸向變形問題

復(fù)合材料變截面壓桿是指截面尺寸沿軸線方向變化的復(fù)合材料空心桿，該類桿具有易于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化、便于實(shí)現(xiàn)與節(jié)點(diǎn)的連接等優(yōu)點(diǎn)，是航天器桁架結(jié)構(gòu)中常用的主承力構(gòu)件，如美國Altair 號登月器［6］空間桁架結(jié)構(gòu)主承力構(gòu)件，如圖1所示。

圖1 美國Altair號登月器空間桁架結(jié)構(gòu)Fig.1 Aerospace truss structure of America Altair lunar lander

典型復(fù)合材料變截面桿的結(jié)構(gòu)和材料相關(guān)參數(shù)示意圖如圖2 所示，桿橫截面為圓形，沿軸線方向主要分為兩個部分：均勻段和變截面段。該類桿與傳統(tǒng)桿的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個方面：材料方面，桿身由復(fù)合材料纏繞而成，變形需要考慮復(fù)合材料的各向異性；結(jié)構(gòu)方面，桿的橫截面尺寸沿軸向是變化的，桿的變形不能再按照均勻桿來考慮。

圖2 典型復(fù)合材料變截面桿結(jié)構(gòu)及材料示意圖Fig.2 Diagram of structure and material of composite strut with varying cross-section

對于圖2中的復(fù)合材料變截面桿，截面變化可以通過截面半徑沿軸線方向的變化方程表示：

式中，半錐角α表示變截面段回轉(zhuǎn)體母線與桿軸線方向的夾角，小變形情況下可以認(rèn)為截面半徑的方程保持不變。

作為航天器空間桁架結(jié)構(gòu)的主承力構(gòu)件，復(fù)合材料變截面桿的軸向變形性能（軸向剛度）對結(jié)構(gòu)的基頻產(chǎn)生重要影響，因此對復(fù)合材料變截面桿的軸向變形性能進(jìn)行分析十分重要。

2 基本方法

本文采取的基本思路是：首先基于經(jīng)典層合板理論，將空心桿壁板的平衡-對稱復(fù)合材料層合板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性單層板（圖3），求得該正交異性單層板主方向的彈性參數(shù)；然后基于小變形假設(shè)，根據(jù)軸向荷載F和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求得沿軸線方向的變形ΔL，繼而根據(jù)式（2）求得桿的等效軸壓剛度［EA］。

圖3 平衡-對稱復(fù)合材料層合板的近似Fig.3 Approximation of balanced-symmetric composite laminates

［EA］反映了復(fù)合材料變截面桿在軸力作用下的軸向變形能力，［EA］越大，桿件的軸向變形能力越小，［EA］越小，桿件的軸向變形能力越大。

2.1 剛度等效參數(shù)

對于復(fù)合材料層合板，以單位尺寸的殼體微元作為研究對象，該微元體上的內(nèi)力分別為Nx、Ny、Nxy，根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)［13-14］，層合板內(nèi)力和應(yīng)變之間的關(guān)系可以寫為：

式中，aij（i，j=1，2，6）為六階柔量矩陣a中對應(yīng)位置的元素，稱為柔量系數(shù)，柔量系數(shù)是和材料參數(shù)、層數(shù)、鋪層厚度、鋪層角度有關(guān)的量。對于平衡-對稱鋪層，忽略平面內(nèi)、外的應(yīng)力耦合效應(yīng)，在單向荷載Nx（Ny=Nxy=0）的作用下

可得x方向的彈性模量

式中，h為層合板的厚度。同理可得y方向的彈性模量

2.2 軸向變形計(jì)算公式

變截面桿的母線可以看作在A 點(diǎn)出現(xiàn)折點(diǎn)的折線（圖4），其中區(qū)域①對應(yīng)桿的變截面段、區(qū)域②對應(yīng)桿的均勻段。

軸向荷載F的作用下，由于環(huán)向約束等作用（實(shí)際應(yīng)用中，在折點(diǎn)A 處一般也會做加強(qiáng)處理），可以假定桿件在折點(diǎn)A 處承受圖4所示的“滑輪約束”，即在外界荷載F的作用下，A 點(diǎn)兩側(cè)所承受力的大小是相等的，亦即

此時，A點(diǎn)兩側(cè)回轉(zhuǎn)體母線方向的面力均為：

式中，Rz為任意一點(diǎn)z處的截面半徑。

對圖4 中復(fù)合材料變截面桿軸向變形的分析可以針對變截面段和均勻段分別考慮。

2.2.1 變截面段軸向變形的分析

如圖5所示，取左側(cè)變截面段作為研究對象。

圖5 變截面段結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of the part with varying cross-section

母線為直線，由空間幾何關(guān)系可得母線的長度

截面上任意一點(diǎn)z處的半徑Rz可以根據(jù)公式（1）求得，則z處單位圓周上母線方向的面力為

式中，h為桿壁板的厚度。

平均應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，Ez為桿壁板沿母線方向的彈性模量，可以根據(jù)式（5）求得。

將平均應(yīng)變Δε沿母線方向積分可得母線方向的變形量：

根據(jù)空間幾何關(guān)系可得沿桿軸線方向的長度變化量為：

2.2.2 均勻段軸向變形的分析

均勻段長度L2=L-2L1，半徑為R2，軸力F作用下，均勻段軸向變形為：

荷載p作用下的軸向變形量為變截面段和均勻段變形之和：

根據(jù)桿的長度和變形可以求得桿的等效軸壓剛度［EA］：

從式（18）可以看出，影響復(fù)合材料變截面桿軸向變形性能的參數(shù)既有材料層面的參數(shù)Ez，也有結(jié)構(gòu)層面的參數(shù)L1、R1、R2等。

下面利用有限元對該公式的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

3 數(shù)值算例

本節(jié)利用有限元對推導(dǎo)的復(fù)合材料變截面桿等效軸壓剛度理論進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 算例描述

算例中用到的材料為IM7/5582 復(fù)合材料鋪層，材料屬性如下：E1=144.79 GPa，E2=E37.58 GPa，G12=G213.6 GPa，μ12=μ21=0.3，μ23=0.35。單個鋪層的厚度標(biāo)記為t。

利用有限元分析軟件ANSYS對復(fù)合材料變截面進(jìn)行參數(shù)化建模和變形計(jì)算，典型有限元模型如圖6所示。

圖6 復(fù)合材料變截面桿典型有限元模型Fig.6 Typical finite element model of composite strut with varying cross-section

ANSYS 中，在復(fù)合材料變截面壓桿一端施加軸向壓力F，并計(jì)算其軸向變形量ΔL，根據(jù)式（2）即可求得其等效軸壓剛度［EA］。

3.2 結(jié)果及分析

分別改變變截面桿中間半徑R2、變截面段長度L2和復(fù)合材料鋪層角θ的值，分析這些參數(shù)的改變對等效軸壓剛度［EA］理論準(zhǔn)確性的影響。

3.2.1 中間半徑R2的影響

控制IM7/5582 復(fù)合材料鋪層的厚度為t=0.1 mm、鋪層序列［75，-75，-65，65，65，-65，-75，75］（與環(huán)向的夾角）、桿長L=1 600 mm、變截面段的長度L1=400 mm、固定端半徑R1=20 mm、軸向荷載p=128 kN。取R2為區(qū)間［25，100］ mm中的一系列值。

圖7 給出了理論和有限元計(jì)算結(jié)果隨R2的變化趨勢；圖8給出了理論值和有限元值之間的偏差隨R2變化的趨勢。

圖7 R2對等效軸壓剛度的影響規(guī)律Fig.7 Influence of R2 on the equivalent axial compression stiffness

圖8 理論值和有限元值之間的偏差隨R2變化的趨勢Fig.8 Deviation between theoretical value and finite element value along with the change of R2

從圖7 可以看出，隨著R2的增大，等效軸壓剛度［EA］隨之增大，這是因?yàn)镽2增大后，桿的橫截面面積增大，在彈性模量保持不變的情況下，桿的等效軸壓剛度基本與橫截面面積成正比，此時桿的等效軸壓剛度肯定增大。

從圖8 可以看出，隨著R2的增大，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內(nèi)。

3.2.2 變截面段長度L1的影響

控制桿總長為L=1 600 mm、固定端半徑R1=20 mm、中間半徑R2=60 mm、鋪層序列［75，-75，-65，65，65，-65，-75，75］（與環(huán)向的夾角）、軸向荷載p=128 kN。取L1為區(qū)間［100，750］ mm 中的一系列值，得到的計(jì)算結(jié)果如圖9所示，理論值和有限元值之間的偏差如圖10所示。

圖9 L1對等效軸壓剛度的影響趨勢Fig.9 Influence of L1 on the equivalent axial compression stiffness

圖10 理論值和有限元值之間的偏差隨L1變化的趨勢Fig.10 Deviation between theoretical value and finite element value along with the change of L1

從圖9 可以看出，在其他參數(shù)固定的情況下，隨著L1的增加，等效軸壓剛度［EA］隨之減小，這是因?yàn)殡S著L1的增大，相同位置處，桿件的橫截面面積變小，軸向應(yīng)力增大，軸向變形增大，加大了桿件的軸向變形，等效軸壓剛度變小。

從圖10可以看出，隨著L1的增加，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內(nèi)。

3.2.3 鋪層角的影響

控制桿總長為L=1 600 mm、固定端半徑R1=20 mm、中間半徑R2=60 mm、變截面段長度L1=400 mm、軸向荷載p=128 kN。鋪層序列為［θ］bs形式，“［θ］bs”表示鋪層按照平衡-對稱方式排列，鋪層角θ取區(qū)間［0，90］中的一系列值，得到的計(jì)算結(jié)果如圖11所示，理論值和有限元值之間的偏差如圖12所示。

圖11 鋪層角對等效軸壓剛度的影響趨勢Fig.11 Influence of ply angle θ on the equivalent axial compression stiffness

圖12 理論值和有限元值之間的偏差隨鋪層角θ變化的趨勢Fig.12 Deviation between theoretical value and FE value along with the change of ply angle θ

從圖11可以看出，在其他參數(shù)固定的情況下，隨著鋪層角的增加，等效軸壓剛度隨之減小，這是因?yàn)殡S著鋪層角的增大，桿件壁板的鋪層在軸線方向的等效彈性模量Ez減小，相同荷載時桿的變形增大，等效軸壓剛度減小。

從圖12可以看出，隨著鋪層角的變化，理論計(jì)算值和有限元計(jì)算值之間的偏差基本保持在2%以內(nèi)。

3.3 討論

本節(jié)分析了復(fù)合材料變截面桿中間半徑、變截面段長度和鋪層角的變化對等效軸壓剛度的影響。結(jié)構(gòu)層面，考察了中間半徑和變截面段長度對等效軸壓剛度理論準(zhǔn)確性的影響，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內(nèi)。材料層面，考察了鋪層角對理論值準(zhǔn)確性的影響，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在2%以內(nèi)。

本節(jié)的工作表明，提出的理論能夠較好地預(yù)測復(fù)合材料變截面桿的軸向變形性能。

4 結(jié)論

本文的工作拓展了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)計(jì)算理論的研究，研究結(jié)果對實(shí)際工程中的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義，為進(jìn)一步工作奠定了基礎(chǔ)，具體研究過程中得到以下結(jié)論。

（1）分析復(fù)合材料變截面壓桿的軸向變形性能，在材料層面需要考慮復(fù)合材料鋪層力學(xué)性能的影響，在結(jié)構(gòu)層面需要考慮截面變化的影響。

（2）復(fù)合材料變截面桿的壁板由多個鋪層角度不同的復(fù)合材料纏繞而成，利用等效參數(shù)的思想將復(fù)合材料空心桿的壁板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性板，此時復(fù)合材料桿可以近似為正交異性桿，同時可以得到正交異形板主方向的材料彈性參數(shù)；

（3）針對得到的正交異性桿，基于小變形假設(shè)，推導(dǎo)了反映桿軸向變形能力的等效軸壓剛度計(jì)算公式，該公式可以同時考慮材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)；

（4）利用有限元對推導(dǎo)的等效軸壓剛度理論的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證和討論，結(jié)果表明，本文的理論能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測復(fù)合材料變截面桿的軸向變形性能。