孫 鳳 琪

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

廣義控制理論的提出,有效地改善了由魯棒性引起的系統(tǒng)性能衰竭與不穩(wěn)定等現(xiàn)象,使系統(tǒng)具有了更好的動態(tài)穩(wěn)態(tài)性能和穩(wěn)定奇異攝動區(qū)間.記憶控制在外部干擾輸入變化不大的情況下效果良好,但當(dāng)干擾信號復(fù)雜且頻繁變化時,就很難達到預(yù)期控制目的,此時無記憶控制就顯示出其控制方法的優(yōu)越性.

近年來,廣義H2控制問題已成為自動控制理論及工程應(yīng)用研究的熱門課題之一,在諸多學(xué)者的共同努力下,已形成了比較完善的理論體系.[1-3]

文獻[4]針對一類含有馬爾可夫跳變參數(shù)和時滯的廣義系統(tǒng)的L2-L∞控制問題,提出一種基于模態(tài)跳變的無記憶狀態(tài)反饋控制器的構(gòu)造方法.其通過反證法、線性變換技巧以及矩陣分塊技術(shù),將含有馬爾可夫跳變參數(shù)廣義系統(tǒng)的正則性轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)矩陣不等式的可解性問題,給出一個新的控制器的設(shè)計方法.但矩陣分塊技術(shù)的引入帶來了計算復(fù)雜度的增加.文獻[5]研究了時滯系統(tǒng)的非脆弱廣義H2控制問題.設(shè)計了無記憶的狀態(tài)反饋控制器,使得對于所允許的不確定性,對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,同時具有固定的廣義H2性能指標.利用線性矩陣不等式技術(shù),得出時滯系統(tǒng)存在非脆弱廣義H2控制器的充分性條件.然而,在奇異攝動不確定性時的條件并沒有提及,系統(tǒng)存在單一性.

本文在記憶狀態(tài)反饋廣義H2控制器存在的理論基礎(chǔ)上[6],以Lyapunov穩(wěn)定性定理、線性矩陣不等式方法以及交叉項界定方法為基礎(chǔ),討論了系統(tǒng)廣義H2鎮(zhèn)定方法.選取新的依賴于時滯和攝動參數(shù)的二次型李雅普諾夫泛函,同時借助新的引理及交叉項界定方法,推出了在時滯依賴和時滯獨立2種情形下的無記憶廣義H2控制充分性的判據(jù).

考慮如下系統(tǒng):

(1)

設(shè)計無記憶狀態(tài)反饋控制器為

u(t)=Kx(t),

(2)

其中K是待定的控制器增益矩陣,則閉環(huán)系統(tǒng)為

(3)

其中

1 判定定理

以下結(jié)論中的時滯和不確定性滿足文獻[6]中的條件(2)—(3),當(dāng)矩陣不等式條件(6)—(8)成立時,可得如下時滯依賴情形下的無記憶狀態(tài)反饋廣義H2控制定理:

其中:

類似文獻[6]中定理1,可構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii泛函:

其中Q,M為對稱正定矩陣,即Q>0,M>0,從而V(x(t))正定.

顯然,定理1的矩陣不等式條件對于變量Q,M,P,K和Z(ε)是非線性的,對定理1進行線性化,可得如下結(jié)果:

其中:

Φ12(0)=AdZ(0),

其中

2 推論

若去掉系統(tǒng)(1)中的不確定性矩陣F(t),則系統(tǒng)成為

(4)

其中系統(tǒng)矩陣等均與系統(tǒng)(1)相同,則閉環(huán)系統(tǒng)成為

(5)

其中:

由定理2得如下線性化推論.

其中:

若去掉系統(tǒng)(1)中的時變時滯可微函數(shù)d(t),則系統(tǒng)成為

(6)

其中系統(tǒng)矩陣等均與系統(tǒng)(1)相同,則閉環(huán)系統(tǒng)為

(7)

其中:

類似地,對于時滯獨立情形,若去掉系統(tǒng)(1)中的控制輸入u(t)和干擾輸入ω(t),則系統(tǒng)成為

其中系統(tǒng)矩陣等均與系統(tǒng)(1)相同,則可推出新的推論,此處略去.

3 算例

考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的時變時滯不確定控制系統(tǒng):

令

δ1=1.031 3,δ2=3.915 0,η1=1.439 0,η2=4.755 0,η3=2.884 0,

Z1=1.578 9,Z2=-7.015 0,Z3=6.380 1,Z4=3.708 6,Z5=3.252 2.

表1 廣義H2穩(wěn)定性能指標對比

由表1可見,定理2所設(shè)計的控制器有較大的奇異攝動參數(shù)上界值0.35,同時廣義H2控制區(qū)間在(0,0.35]內(nèi),大于文獻[7]的(0,0.3],擴大了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定范圍,最優(yōu)L2-L∞性能指標1.320 1也相對較小.通過將本文所得定理的廣義H2穩(wěn)定的性能指標與相關(guān)文獻對比,可見本文定理得到的控制器控制效果具有一定的優(yōu)越性,并且適用于標準和非標準情形.

4 結(jié)論

本文可為多時滯奇異攝動控制系統(tǒng)研究提供理論參考.如何將結(jié)論推廣到輸出反饋廣義H2控制問題中、將連續(xù)奇異攝動系統(tǒng)拓展到離散奇異攝動系統(tǒng)[8],是進一步需要研究的問題;如何引入新的交叉項界定,使得即使結(jié)果具有一定的保守性,也能換取實際控制系統(tǒng)的可行性等[9-11],有待進一步探討.