楊 穎,李 芳

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)

1 預(yù)備知識

本文將文獻(xiàn)[1]中關(guān)于等溫自催化反應(yīng)連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器(CSTR)模型加入隨機(jī)擾動(dòng),構(gòu)建合適的隨機(jī)模型并研究其性質(zhì).在給出隨機(jī)模型之前,回顧一下CSTR模型豐富的動(dòng)力學(xué)行為,其反應(yīng)機(jī)制可以分為以下2步反應(yīng):

A+2B→3B(K1)(三分子),

B→C(K2).

這里:A,B是反應(yīng)物;C是某種惰性產(chǎn)物.

原型三分子自催化反應(yīng)A+2B→3B構(gòu)成了表現(xiàn)出“奇異”行為的最簡單齊次系統(tǒng).由于A和B的濃度不是相互獨(dú)立的,所以該反應(yīng)是單變量系統(tǒng).但在化學(xué)反應(yīng)計(jì)量學(xué)中,A→B的反應(yīng)只與進(jìn)口流的成分有關(guān).如果B的流入量b0不是很大的話,系統(tǒng)會呈現(xiàn)多樣性.

在自催化劑B不是無限穩(wěn)定的情況下,B→C的這種行為在經(jīng)歷一級衰變(或中毒)的情況下更加豐富.盡管催化劑B是無限穩(wěn)定的,但它們卻表現(xiàn)出停留時(shí)間范圍,在該范圍內(nèi)存在不同的穩(wěn)定態(tài)和唯一解的范圍,即使在充分?jǐn)嚢?、等溫、開放的條件下,也可以發(fā)現(xiàn)多重穩(wěn)定、熄滅、滯后、點(diǎn)火等性質(zhì)和來回弛豫時(shí)間.

將化學(xué)反應(yīng)速率和流入、流出率聯(lián)系起來的質(zhì)量平衡方程為

(1)

這里a0和b0分別是反應(yīng)物A和B在進(jìn)口流的濃度.本文利用與文獻(xiàn)[1]類似的方法作無量綱化變換.令α=a/a0,β=b/a0,τres=1/kf為平均停留時(shí)間,這樣方程(1)變?yōu)槿缦碌臒o量綱形式:

(2)

(3)

通過(3)式,系統(tǒng)降為1維,αss是下面三次方程的根:

(4)

文獻(xiàn)[1]利用分歧理論的方法指出:系統(tǒng)(2)在任何給定的停留時(shí)間可能有3種平衡狀態(tài)α1≥α2≥α3,并且可能有9種不同性質(zhì)的結(jié)構(gòu).由3種平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性可以產(chǎn)生很多不同的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu):最小解α1,中間解α2和最大解α3.

對于進(jìn)水中無催化劑流入的特殊情況,即b0=0時(shí),最小解α1始終是穩(wěn)定的;中間解α2始終是不穩(wěn)定的;最大解α3的穩(wěn)定性則隨催化劑的穩(wěn)定性和停留時(shí)間而變化.

當(dāng)流入的催化劑濃度不為零,即b0>0時(shí),最小解α1可能是結(jié)點(diǎn)或者焦點(diǎn),并且可能變得不穩(wěn)定;中間解α2總是一個(gè)鞍點(diǎn);穩(wěn)定狀態(tài)α3的最上面的那支可能被一個(gè)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的極限環(huán)包圍,表現(xiàn)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn).

最近,文獻(xiàn)[2-5]討論了一些帶有隨機(jī)擾動(dòng)的化學(xué)反應(yīng)模型,并且得到了很好的結(jié)果.本文在系統(tǒng)(1)中加入白噪聲,得到如下的隨機(jī)CSTR系統(tǒng):

(5)

在本文中,令(Ω,F ,{Ft}t≥0,P)是帶有域流{Ft}t≥0的完備概率空間,滿足通常的條件,即它是右連續(xù)的、F0包含所有的P-零集.記

(6)

已有工作中隨機(jī)系統(tǒng)(5)還未曾被研究過.本文將證明隨機(jī)CSTR模型正解的存在唯一性,并進(jìn)一步證明隨機(jī)系統(tǒng)(5)具有遍歷性和平穩(wěn)分布,并通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證本文的理論結(jié)果.

2 正解的存在唯一性

隨機(jī)CSTR模型(5)的解是正的和全局的,這對于研究模型(5)的遍歷性是很必要的.

定理2.1 如果σ1,σ2滿足

(7)

或

max{a(t),b(t)}≥m}.

換句話說,為了完成證明,需要說明τ∞=∞.用反證法.如果假設(shè)這個(gè)斷言是錯(cuò)誤的,則存在常數(shù)T≥0和ε∈(0,1),使得

P{τ∞≤T}>ε,

從而存在一個(gè)整數(shù)m1≥m0使得對于所有的m≥m1,有

P{τm≤T}≥ε.

(8)

LVdt+σ1(a-1)dB1(t)+σ2(b-1)dB2(t)+C(a+b)(σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)).

(9)

這里L(fēng)是系統(tǒng)(5)的生成算子,并且

(10)

根據(jù)條件(7),以下兩個(gè)不等式同時(shí)成立:

令

進(jìn)一步可得

其中K是一個(gè)正常數(shù).因此

對上式取期望得

(11)

由(8)和(11)式得

V(a(0),b(0))+KT≥E[IΩm(ω)V(a(τm),b(τm))]≥εf(m),

這里IΩm(ω)是Ωm的示性函數(shù).

當(dāng)m→∞時(shí),

∞>V(a(0),b(0))+KT=∞,

矛盾.因此τ∞=∞,a.s..

3 遍歷性

設(shè)X(t)是由隨機(jī)方程描述的El(El表示歐幾里得l-空間)中的齊次馬爾可夫過程,X(t)的擴(kuò)散矩陣為

隨機(jī)微分方程描述為

(12)

結(jié)合方程(12)定義一個(gè)微分算子L,

引理3.1[7-8]假設(shè)存在具有如下性質(zhì)的帶正則邊界Γ的有界域U?El,滿足:

(B1) 在U和它的一些鄰域,擴(kuò)散矩陣Λ(x)的最小特征值λ(x)非0;

則馬爾可夫過程X(t)存在平穩(wěn)分布kf(·).令f(·)是關(guān)于測度kf可積的函數(shù),則對所有的x∈El,有下面的公式成立:

注1 引理3.1的證明由文獻(xiàn)[7]給出.文獻(xiàn)[7]定理4.1和引理9.4給出了具有密度平穩(wěn)分布的存在性;定理5.1和定理7.1得到了弱收斂性和遍歷性.為了驗(yàn)證條件(B1),只需要證明F在任何有界域U上一致橢圓即可,其中

即存在一個(gè)正數(shù)M,使得下式成立:

由文獻(xiàn)[9]和瑞利原理[10]即可知上式成立.為了驗(yàn)證條件(B2),只需證明存在某個(gè)鄰域U和一個(gè)非負(fù)的C2-函數(shù),使得對于任意的ElU,LV<0[11].

引理3.2 設(shè)X(t)為El中的正則自治馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個(gè)有界域U是常返的,那么它相對于El中的任一非空區(qū)域也是常返的.

證明為了證明該結(jié)論,只需證明條件(B1)和(B2)滿足即可.隨機(jī)系統(tǒng)(5)的擴(kuò)散矩陣為

從而系統(tǒng)(5)可改寫成如下形式:

從而引理3.1中的條件(B1)滿足.

定義C2-函數(shù)V：

令

則有

(13)

記

其中ε是使得下面不等式同時(shí)成立的充分小的正數(shù):

(14)

(15)

(16)

(17)

令

從而由(14)式有LV≤-1.

因此由(13)和(15)式可得LV≤-1.

因此由(13)和(16)式可得LV≤-1.

由(13)和(17)式可得在這個(gè)區(qū)域上有LV≤-1.

對上述4種情況的討論表明,引理3.1中的條件(B2)滿足.定理3.1證畢.

4 數(shù)值模擬

使用離散化的方法,選取Δt=0.002.在文獻(xiàn)[1]中,τres=1/kf是一個(gè)非常重要的參數(shù),因?yàn)槠渲档淖兓瘯?dǎo)致確定系統(tǒng)(1)穩(wěn)態(tài)的多樣性.

在模型(5)中選取以下3組參數(shù):

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.005 263 16(τres=190),a0=1.5,b0=0.1;

(18)

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.004(τres=225),a0=1.5,b0=0.1;

(19)

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.003 174 6(τres=315),a0=1.5,b0=0.1.

(20)

總是選取σ1=0.5,σ2=0.5.

例4.1 選取參數(shù)為(18)式所示,系統(tǒng)(1)的相平面呈現(xiàn)出盤旋至穩(wěn)定焦點(diǎn)的軌道.系統(tǒng)最開始時(shí)遠(yuǎn)離奇點(diǎn),但是經(jīng)歷了一系列的阻尼振蕩后逐漸向其趨近,模擬結(jié)果如圖1—2所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機(jī)模型(5)圖1 選取參數(shù)為(18)式所示時(shí)系統(tǒng)的散點(diǎn)分布比較圖

圖2 參數(shù)選取為(18)式所示時(shí),隨機(jī)系統(tǒng)的解及其柱狀圖

例4.2 選取參數(shù)值為(19)式所示,系統(tǒng)(1)的相平面對應(yīng)于一個(gè)圍繞著不穩(wěn)定焦點(diǎn)的穩(wěn)定極限環(huán),并且x和y呈現(xiàn)持續(xù)的無阻尼振蕩,在經(jīng)歷了初始時(shí)刻的“沉降”之后,變成了具有恒定頻率和振幅的脈沖.在x-y的相平面中,系統(tǒng)退繞到包圍不穩(wěn)定焦點(diǎn)的閉合曲線.模擬結(jié)果如圖3—4所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機(jī)模型(5)圖3 選取參數(shù)為(19)式所示時(shí)系統(tǒng)的散點(diǎn)分布比較圖

圖4 參數(shù)選取為(19)式所示時(shí)隨機(jī)系統(tǒng)的解及其柱狀圖

例4.3 選取參數(shù)為(20)式所示時(shí),振蕩是發(fā)散的.系統(tǒng)越過鞍點(diǎn)邊界,在低反應(yīng)性的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)上穩(wěn)定下來.在x-y相平面上,這個(gè)分支由鞍點(diǎn)和穩(wěn)定極限環(huán)的組合來表示.模擬結(jié)果如圖5—6所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機(jī)模型(5)圖5 選取參數(shù)為(20)式所示時(shí)系統(tǒng)的散點(diǎn)分布圖

圖6 參數(shù)選取如(20)式所示時(shí)隨機(jī)系統(tǒng)的解及其柱狀圖

讓人覺得很有趣的是,確定性模型(1)的3個(gè)平衡點(diǎn)9種性態(tài),無論其表現(xiàn)出什么樣的動(dòng)力學(xué)行為,相應(yīng)的隨機(jī)模型(5)只需要滿足條件(7)中對白噪聲強(qiáng)度的限制條件,就總是具有平穩(wěn)分布和遍歷性.