竇汝桐 ，于慎波 ，孫 鳳 ，夏鵬澎 ，橫井浩史 ，姜銀來

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；2.電氣通信大學(xué)機械與智能系統(tǒng)工程學(xué)院，東京 182-8585）

隨著老齡化社會的加劇，仿人機械臂的發(fā)展可以彌補年輕勞動力的短缺，解決老齡化社會帶來的家庭服務(wù)和醫(yī)療陪護等社會問題[1-2].

工作空間作為機械臂運動學(xué)分析中必不可少的環(huán)節(jié)，其大小代表了機械臂的工作范圍，是衡量機械臂工作性能的重要指標(biāo)[3].Yin 等[4]采用工作空間描述的方式，篩選出液壓挖掘機反鏟臂的最優(yōu)設(shè)計方案.東輝等[5]利用提出的工作空間密度函數(shù)，通過迭代的方式求解平面冗余機器人的逆運動學(xué)解.Xu等[6]提出一種5 自由度（DOF）機械臂，并依據(jù)工作空間為機械臂設(shè)置軌跡規(guī)劃任務(wù).趙智遠等[7]基于工作空間分析，為9-DOF 超冗余機械臂確定出36 種構(gòu)型方案.因此，機械臂工作空間的研究對機械臂設(shè)計與任務(wù)規(guī)劃具有重要意義.

目前，工作空間的求解分為幾何法、解析法和數(shù)值法：幾何法可以獲得工作空間的剖截面或剖截線，具有簡單、直觀的特點，適用于平面機械臂工作空間的求解，但對多自由度機械臂工作空間的描述不夠準(zhǔn)確[8]；解析法是基于雅克比矩陣奇異性與工作空間邊界之間的關(guān)系，獲得工作空間邊界曲面的方法，可以準(zhǔn)確地計算出工作空間的邊界及其表達式，但求解過程十分復(fù)雜，一般適用于關(guān)節(jié)數(shù)少于3 的機械臂[9]；數(shù)值法則是基于概率統(tǒng)計學(xué)，采用隨機抽取盡可能多的關(guān)節(jié)變量組合，獲得機械臂末端位置的點集，進而近似代替機械臂的工作空間[10].

蒙特卡洛法作為工作空間求解的一種數(shù)值方法，具有算法簡單和通用性強等優(yōu)點[11-12].蒙特卡洛法在計算機械臂工作空間時存在隨機點分布不均的缺點[13-14]，尤其是機械臂工作空間的邊界位置，使得機械臂工作空間的邊界位置模糊，造成機械臂工作空間的缺失.為提高機械臂工作空間的精度，需要大量新增隨機點云去充實機械臂工作空間的邊界，但新增的隨機點多數(shù)落入了工作空間的內(nèi)部，造成了新增隨機點云的大量浪費[15]，并對機械臂工作空間的精度提升并不明顯.針對蒙特卡洛法的不足，一種改進蒙特卡洛法被提出[16-17]，該方法利用蒙特卡洛法生成一個種子空間，在工作空間內(nèi)點云數(shù)量較少的區(qū)域內(nèi)部隨機選取一個參考點，結(jié)合正態(tài)分布方法擴展并加密該參考點處隨機點云的數(shù)量，提高工作空間的精度.該方法在工作空間求解中，由于參考點為隨機選取，不一定位于區(qū)域中心位置，并且擴展了該點處加密點云的范圍，使得該區(qū)域內(nèi)存在點云數(shù)量得不到充分加密和外溢點云的浪費問題.

針對蒙特卡洛法在求解機械臂工作空間時存在的不足，提出一種降密蒙特卡洛法，并研究該方法中各參數(shù)設(shè)置對工作空間精度的影響.降密蒙特卡洛法通過準(zhǔn)確加密每個區(qū)域內(nèi)點云數(shù)量，均勻提高工作空間內(nèi)部點云密度，使工作空間內(nèi)部與邊界分明；并針對邊界點云數(shù)量少和邊界模糊的缺點，采用擴展各關(guān)節(jié)角度范圍的方式，通過多次迭代提高工作空間邊界點云的密度和擴展工作空間邊界范圍，最終達到在保證工作空間精度的同時，減少新增點云浪費的目的，從而提高求解工作空間的效率.

1 仿人機械臂運動學(xué)分析

1.1 仿人機械臂結(jié)構(gòu)

仿人機械臂作為機器人的執(zhí)行機構(gòu)，具有工作空間范圍大、靈活性高、較好的避障性和擬人化的執(zhí)行動作等優(yōu)點，被學(xué)者們廣泛關(guān)注.為了提高人機交互的舒適性和親和力[18-19]，本課題組提出了一種具有人體手臂構(gòu)型的7-DOF 仿人機械臂，如圖1 所示，該機械臂由肩、肘和腕關(guān)節(jié)模塊組成，θi為對應(yīng)關(guān)節(jié)的角度值，i=1,2,···,D，D為機械臂關(guān)節(jié)數(shù).肩關(guān)節(jié)模塊由3 個電機并聯(lián)驅(qū)動3 個關(guān)節(jié)，肘和腕關(guān)節(jié)模塊分別由2 個電機并聯(lián)驅(qū)動2 個關(guān)節(jié).各模塊之間采用并行通訊，相互獨立工作，共同完成機械臂的規(guī)劃任務(wù).由于仿人機械臂各關(guān)節(jié)模塊采用電機加鋼絲繩的繩索驅(qū)動方式以及多電機并聯(lián)驅(qū)動多關(guān)節(jié)的布局方式，使得該機械臂具有重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、輸出比高和擬人化運動程度高等優(yōu)點.該機械臂擁有7 個電機和7 個自由度，全長690 mm，自重2.2 kg，可夾持重量1.5 kg，其自重與承載比高達22∶15.

仿人機械臂各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)限位如表1 所示，其各關(guān)節(jié)的正方向如圖1 中標(biāo)注所示.

表1 仿人機械臂關(guān)節(jié)限位Tab.1 Joint limit of humanoid robot arm

1.2 運動學(xué)分析

仿人機械臂的運動學(xué)分析是機械臂工作空間求解和運動學(xué)控制的基礎(chǔ).正運動學(xué)是已知機械臂的各關(guān)節(jié)角度去推算機械臂末端執(zhí)行器在笛卡爾坐標(biāo)系下的位置與姿態(tài).根據(jù)7-DOF 仿人機械臂構(gòu)型和標(biāo)準(zhǔn)D-H（Denavit-Hartenberg）建模方法，建立仿人機械臂運動學(xué)坐標(biāo)系如圖2 所示.圖2 中：dbs為肩關(guān)節(jié)到基座的距離，dse為肘關(guān)節(jié)到肩關(guān)節(jié)的距離，dew為腕關(guān)節(jié)到肘關(guān)節(jié)的距離，awt為機械臂末端到腕關(guān)節(jié)的距離.

圖2 仿人機械臂運動學(xué)坐標(biāo)系Fig.2 Kinematics coordinate system of humanoid robot arm

根據(jù)仿人機械臂各連桿之間的坐標(biāo)系關(guān)系，推出機械臂各連桿D-H 參數(shù)如表2 所示.其中：di為相鄰2 個關(guān)節(jié)之間的連桿偏移量，ai為相鄰2 個關(guān)節(jié)之間的連桿長度，αi為相鄰2 個連桿坐標(biāo)系之間的扭轉(zhuǎn)角度.

表2 仿人機械臂D-H 參數(shù)Tab.2 D-H parameters for humanoid robot arm

仿人機械臂相鄰兩連桿之間的位姿變換矩陣為

式 中：cθi=cos θi，sθi=sin θi，cαi=cos αi，sαi=sin αi.

仿人機械臂的正運動學(xué)模型為

式中：[nxnynz]T為機械臂末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的x7軸相對于基坐標(biāo)系中的方向矢量，[oxoyoz]T為機械臂末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的y7軸相對于基坐標(biāo)系中的方向矢量，[axayaz]T為機械臂末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的z7軸相對于基坐標(biāo)系中的方向矢量，Px、Py和Pz分別為機械臂末端執(zhí)行器在笛卡爾坐標(biāo)系中的空間位置點，該位置點的集合即為機械臂工作空間.

2 蒙特卡洛法

蒙特卡洛法是一種基于概率統(tǒng)計的非確定性數(shù)值計算方法，因其誤差與計算維數(shù)無關(guān)，常被學(xué)者們用來求解多關(guān)節(jié)機械臂的工作空間.蒙特卡洛法求解步驟如下：

步驟1建立機械臂正運動學(xué)數(shù)學(xué)模型T，并確定機械臂各關(guān)節(jié)限位[θimin,θimax].

步驟2基于隨機函數(shù)rand（·）生成N個[0,1]間的隨機變量，并計算出各關(guān)節(jié)的隨機關(guān)節(jié)角度為

步驟3將各關(guān)節(jié)隨機值自由匹配為N組，代入正運動學(xué)方程，獲得機械臂末端執(zhí)行器參考點的位置坐標(biāo)P（x,y,z）.

步驟4基于機械臂基座標(biāo)，繪制每個參考點的位置坐標(biāo)，獲得機械臂工作空間的點云圖.

3 降密蒙特卡洛法

3.1 體素網(wǎng)格法的實現(xiàn)

根據(jù)蒙特卡洛法生成的機械臂工作空間初始隨機點云Pinit以及體素網(wǎng)格法[20]，將初始點云分割為若干矩形區(qū)域，每個矩形區(qū)域被稱為體素.體素網(wǎng)格法的具體步驟如下：

步驟1建立隨機點云的包圍盒.根據(jù)隨機點云Pinit的位置坐標(biāo)獲得Pinit在各軸向的極值xmax、ymax、zmax、xmin、ymin和zmin，并計算出點云各軸向長度l=|xmax-xmin|、w=|ymax-ymin| 和h=|zmax-zmin| .為了避免初始隨機點云沒有覆蓋到工作空間的邊界，造成工作空間的缺失，本文引入擴展因子 φ 擴大隨機點云的邊界范圍，如圖3（a）所示，并通過式（3）確定隨機點云的擴展范圍長度d.

圖3 隨機點云的劃分和索引標(biāo)注Fig.3 Division of random point clouds and voxel labeling

式中：φ ∈[0,1]，當(dāng)φ=0 時，d=0，此時包圍盒不擴展，當(dāng)φ=1 時，d為包圍盒最小邊長的1/4.

擴展因子 φ 的選擇與初始隨機點云的范圍相關(guān)，當(dāng)初始隨機點云數(shù)量少，覆蓋工作空間范圍小時，φ 值應(yīng)取較大值，有利于更全面地覆蓋工作空間的實際邊界；反之亦然.

通過擴展范圍長度d確定包圍盒的實際邊界值，如式（4）所示，并建立包圍盒，如圖3（b）所示.

步驟2分割包圍盒為若干體素.根據(jù)包圍盒各軸向極值范圍，將包圍盒分別沿x、y和z軸分割為nx、ny和nz等份，如圖3（c）所示，計算出各軸向體素的邊長為lb、wb和hb，如式（5）所示，并推算出每個體素的邊界極值坐標(biāo)，為后續(xù)初始隨機點云的劃分奠定基礎(chǔ).

步驟3標(biāo)記體素索引n.為了更好地識別每個體素的位置，提出了體素索引n的標(biāo)記規(guī)則，其中n∈{1,2,3,···}.體素標(biāo)記采用統(tǒng)一編號規(guī)則：首先，沿x軸正方向，從1 開始標(biāo)記直到最后一個體素nx；其次，沿y軸正方向移動一個體素，繼續(xù)沿x軸順序標(biāo)注，直到標(biāo)記整個底層的最后一個體素nxny；然后，沿z軸正方向移動一個體素，繼續(xù)前2 步操作，并順序標(biāo)注索引；依此類推直至標(biāo)記最后一個體素nxnynz，如圖3（d）所示.

3.2 均勻加密工作空間內(nèi)部點云的密度

在工作空間加密過程中，通過設(shè)置體素最低精度閾值Nε以及準(zhǔn)確加密體素內(nèi)點云數(shù)量的方法，使加密后機械臂工作空間內(nèi)部點云密度均衡的同時，減少新增點云數(shù)量的浪費，算法1 步驟如下：

步驟1依照體素索引n，搜索體素內(nèi)初始隨機點云數(shù)量低于精度閾值Nε的體素，并記錄該體素內(nèi)的點云數(shù)量Nn.將體素索引值n的點云坐標(biāo)和點云數(shù)量Nn保存在數(shù)據(jù)庫Database_1 中；同時，將體素n內(nèi)點云坐標(biāo)所對應(yīng)的機械臂各關(guān)節(jié)的角度值θ1、θ2、···、θi保存到數(shù)據(jù)庫Database_2 中（第1～10 行）.

步驟2針對數(shù)據(jù)庫Database_1 中保留的體素索引n及該體素內(nèi)包含的點云數(shù)量Nn，確定出體素n所需加密點云數(shù)量為Nneed=Nε-Nn（第17 行）.為了準(zhǔn)確加密體素內(nèi)點云數(shù)量，減少新增點云的浪費，提取數(shù)據(jù)庫Database_2 中體素n對應(yīng)所有點云的關(guān)節(jié)角度，并按照關(guān)節(jié)順序依次探索出體素n內(nèi)各關(guān)節(jié)的極值（第18 行）.通過體素n所需加密點云數(shù)量Nneed和各關(guān)節(jié)的極值θimin和θimax獲得機械臂關(guān)節(jié)i的Nneed個新增關(guān)節(jié)角度值（第19 行）為

根據(jù)自由匹配原則，將式（6）隨機生成的關(guān)節(jié)角 度匹配成Nneed組，并將Nneed組關(guān)節(jié)角度值代入式（2）中，獲得機械臂正運動學(xué)解（第20 行）.

步驟3判斷新增點云的坐標(biāo)是否包含在體素n內(nèi)，如果包括在內(nèi)，則按照索引n保存在數(shù)據(jù)Database_3 中，并將點云所對應(yīng)各關(guān)節(jié)角度按照索引n并入數(shù)據(jù)庫Database_2（第22～25 行）；如果不包括，則重復(fù)之前操作.為了避免工作空間邊界處的體素始終無法達到所需點數(shù)而造成的資源浪費，設(shè)置重復(fù)加密次數(shù)為2 次后停止加密運算（第27～29 行）.

算法1：均勻加密工作空間內(nèi)部點云密度

3.3 加密工作空間邊界隨機點云的密度

由于機械臂關(guān)節(jié)極值范圍的約束，機械臂工作空間邊界體素的實際有效加密范圍小于體素實際范圍，因此，邊界體素在平均加密點云過程中實際增加點數(shù)較少，造成機械臂工作空間的精度不夠準(zhǔn)確.為了提高機械臂工作空間邊界的點云密度和擴展初始點云中沒有涉及到的機械臂工作空間邊界，提出了擴展關(guān)節(jié)角度Je參數(shù)和最大循環(huán)次數(shù)Cm參數(shù).該加密工作空間邊界點云密度算法（算法2）步驟如下：

步驟1針對加密后體素內(nèi)點云數(shù)量仍然少于Nε的體素視為工作空間的邊界體素.依據(jù)數(shù)據(jù)庫Database_1 和Database_3 中邊界體素n所包含的點云數(shù)量，確定邊界體素n所需加密點云數(shù)量Nnneed（第3 行）.如果體素n內(nèi)點云數(shù)量為1 時，提取出體素n在數(shù)據(jù)庫Database_2 中的各關(guān)節(jié)值θi作為被擴展關(guān)節(jié)；否則，探索出該體素在Database_2 中各關(guān)節(jié)的極值θimin和θimax，并作為被擴展關(guān)節(jié)的最大值和最小值（第9、13 行）.通過擴展關(guān)節(jié)角度Je獲得各關(guān)節(jié)擴展后的極值θi_newmin和θi_newmax（第10、11、14、15 行）為

將各關(guān)節(jié)擴展后的極值θi_newmin和θi_newmax代入式（6），獲得Nnneed組機械臂新增關(guān)節(jié)角度（第17 行）.

步驟2由于新增關(guān)節(jié)角度是通過擴展關(guān)節(jié)獲得，所以Nnneed組內(nèi)各關(guān)節(jié)角度不一定都符合機械臂的各關(guān)節(jié)極值范圍（如表1 所示）.對于符合關(guān)節(jié)極值范圍的關(guān)節(jié)組，運用式（2）求解機械臂正運動學(xué)解，并將運動學(xué)解的坐標(biāo)和解的數(shù)量按照索引n并入數(shù)據(jù)Database_3 中；對于不符合關(guān)節(jié)極值范圍的關(guān)節(jié)組，則放棄求解正運動學(xué)解（第18～24 行）.

步驟3由于邊界體素n受到機械臂關(guān)節(jié)極值的約束以及實際有效加密范圍小于體素極值范圍的影響，導(dǎo)致邊界體素的有效新增點云數(shù)量較少.因此，通過設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)Cm，并結(jié)合實際增加點云數(shù)量與所需點數(shù)量Nnneed的差值，通過多次迭代增加邊界體素內(nèi)的點云密度及實際有效范圍，并將新增點云并入數(shù)據(jù)庫Database_3 中，直到實際增加點數(shù)等于所需點數(shù)，或者達到最大循環(huán)次數(shù)Cm停止（第5～24 行）.最大循環(huán)次數(shù)Cm還可以有效避免因擴展關(guān)節(jié)范圍導(dǎo)致新增關(guān)節(jié)角度始終不符合機械臂關(guān)節(jié)極值范圍，而造成的算法無效循環(huán).

算法2：加密工作空間邊界點云密度

通過降密蒙特卡洛法可以解決工作空間內(nèi)隨機點云的分布不均勻和工作空間邊界模糊問題，最終達到在保證工作空間精度的同時，減少新增點云浪費的目的，從而提高求解工作空間的效率.

4 降密蒙特卡洛法的參數(shù)研究

以本課題組提出的7-DOF 仿人機械臂為例，研究了降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對機械臂工作空間精度的影響.為了獲得仿人機械臂在各軸向的實際邊界極值作為降密蒙特卡洛法的求解參照，利用蒙特卡洛法經(jīng)過多次采樣計算去趨近機械臂工作空間的邊界極限，如圖4 所示.當(dāng)隨機點云數(shù)量低于5 ×107個時，工作空間各軸向極值點不具備一定的規(guī)律性，這也符合蒙特卡洛法的隨機特性；當(dāng)隨機點云數(shù)量大于5 × 107個時，各軸向極值點趨于一條直線，基本可以達到真實的機械臂邊界值，但在小范圍內(nèi)仍然有隨機性波動.即使采樣隨機點數(shù)量達到1 ×108個時，采樣工作空間的各軸向極值點也均未達到機械臂工作空間的實際極值點.

圖4 蒙特卡洛法趨近工作空間邊界Fig.4 Workspace boundary approaching by Monte Carlo method

為了獲得準(zhǔn)確的工作空間邊界范圍，將圖4 中所有采樣測試點云在各軸向極值點的極值作為仿人機械臂工作空間的實際極值點，如表3 所示.

表3 機械臂實際工作空間范圍Tab.3 Actual workspace range of robot arm m

降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對機械臂工作空間精度影響的研究方法為通過固定其他參數(shù)數(shù)值，逐步遞增單一參數(shù)數(shù)值，獲得降密蒙特卡洛法中機械臂工作空間的各軸向極值范圍，并與表3 中實際極值范圍對比，獲得平均誤差率 εa，如式（8）.

式中：xMax、xMin、yMax、yMin、zMax、zMin為機械臂工作空間各軸向?qū)嶋H極值點.

通過平均誤差率 εa的變化規(guī)律來判斷該參數(shù)對機械臂工作空間范圍的影響程度.由于包圍盒的擴展因子φ與機械臂的工作空間范圍相關(guān)，所以選取包圍盒擴展因子φ為固定值0.3.

首先，研究初始隨機點云Pinit參數(shù)對工作空間精度的影響.根據(jù)工作空間的初始范圍，初步將空間延各軸向劃分為10 個體素，即各軸向分割體素nx、ny和nz均為10；根據(jù)分割體素空間的大小，保證每個體素內(nèi)的隨機點云數(shù)量不少于600 個，即精度閾值Nε為600；設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)Cm為5 次，保證邊界體素內(nèi)隨機點云數(shù)量能更好地滿足精度閾值Nε的要求；擴展關(guān)節(jié)角度Je為0°；并分別設(shè)置初始隨機點云Pinit為5×103、1×104、5 ×104、1× 105個.通過降密蒙特卡洛法獲得機械臂工作空間各軸向的極值點，如表4所示，其中，初始隨機點云Pinit為5×103、1 × 104、5×104、1×105個，對應(yīng)總隨機點云數(shù)量分別為228 000、230 300、240 006、255 988 個.根據(jù)表4中數(shù)據(jù)可知，隨初始隨機點云Pinit數(shù)量的逐步增加，其平均誤差率 εa并不具備一定的規(guī)律性，且總隨機點云數(shù)量增幅最小.因此，初始隨機點云Pinit對機械臂工作空間精度的影響不大.

表4 初始點云數(shù)量對工作空間精度的影響Tab.4 Influence of initial point cloud quantity on workspace precision

其次，研究包圍盒各軸向分割體素nx、ny和nz參數(shù)對工作空間精度的影響.根據(jù)Pinit對工作空間的影響不大，綜合考慮計算效率與初始工作空間點云覆蓋率，確定參數(shù)Pinit為5 × 104個；參數(shù)Nε、Cm和Je保持原有設(shè)置，依次為600、5 次、0°；并設(shè)置參數(shù)nx、ny和nz同時依次均為6、10、14 和18.通過降密蒙特卡洛法獲得機械臂工作空間各軸向的極值點，如表5 所示，其中各軸向分割體素6、10、14、18 對應(yīng)總隨機點云數(shù)量分別為1.5 × 105、2.4 × 105、7.9 × 105、1.5 × 106個.根據(jù)表5 中隨各軸向分割體素數(shù)量的逐步增加，其平均誤差率則表現(xiàn)出大幅減小的趨勢，且總隨機點云數(shù)量增加幅度較小.因此，增加各軸向分割體素nx、ny和nz數(shù)量顯著提高機械臂工作空間精度.

表5 體素數(shù)量對工作空間精度的影響Tab.5 Influence of voxel quantity on workspace precision

再次，研究精度閾值Nε參數(shù)對工作空間精度的影響.參數(shù)Pinit仍為5 ×104；根據(jù)參數(shù)nx、ny和nz對工作空間精度的影響較大，選取nx、ny和nz均為18；Cm和Je分別保持為5次和0°；分別設(shè)置Nε為300、600 和900.獲得機械臂工作空間的各軸向極值點如表6 所示，其中，精度閾值為300、600、900 對應(yīng)總隨機點云數(shù)量分別為7.6 × 105、1.5 × 106、2.3 × 106個.由表6 可知，隨精度閾值的逐步增加，其平均誤差率表現(xiàn)出逐漸減小的趨勢，但總隨機點云數(shù)量增幅較大.因此，精度閾值Nε參數(shù)對機械臂工作空間精度有一定提高.

表6 精度閾值對工作空間精度的影響Tab.6 Influence of precision threshold on workspace precision

然后，研究最大循環(huán)次數(shù)Cm對工作空間精度的 影響.Pinit仍 為5 × 104，根據(jù)Nε對工作空間精度有一定的提高，選取Nε為600；nx、ny、nz和Je保持為18 和0°，分別設(shè)置Cm為5、8、16 次.獲得機械臂工作空間的各軸向極值點，如表7 所示，其中最大 循環(huán)次數(shù)5、8、16 次對應(yīng)總隨機點云數(shù)量分別為1 539 000、1 544 400、1 555 800 個.根據(jù)表7，隨最大循環(huán)次數(shù)的逐步增加，其平均誤差率逐漸減小，且總隨機點云數(shù)量的增加并不明顯.因此，最大循環(huán)次數(shù)Cm對機械臂工作空間精度有較小的提高.

表7 最大循環(huán)次數(shù)對工作空間精度的影響Tab.7 Influence of maximum cycle number on workspace precision

最后，研究擴展關(guān)節(jié)角度Je對工作空間精度的影響.固定Pinit=5 × 104，nx、ny和nz均為18，Nε為600；考慮到參數(shù)Cm對工作空間的影響較小，選取Cm為5 次，分別設(shè)置Je為0°、2.5°、5.0°、7.5°、10.0°和12.5°.通過3 次樣條曲線插值方法，獲得相應(yīng)參數(shù)機械臂工作空間的平均誤差率曲線和總隨機點云數(shù)量Nall曲線如圖5 所示，根據(jù)總隨機點云數(shù)量曲線可知，隨著擴展角度的增大，總隨機點云數(shù)量不斷減少，這是因為隨著擴展角度的不斷增大，新增的關(guān)節(jié)角度組中不符合關(guān)節(jié)極限范圍的關(guān)節(jié)組就越多（如算法2），導(dǎo)致總體數(shù)量減少；根據(jù)平均誤差率曲線可知，隨著擴展角度的增大，在0°～4° 內(nèi)平均誤差率變小，可以提高機械臂工作空間精度，但超過4° 后誤差率逐步增大，對工作空間精度提升起到反向作用.因此，擴展關(guān)節(jié)角度Je在0°～4° 內(nèi)對機械臂工作空間精度提高較大.

圖5 擴展關(guān)節(jié)角度對工作空間精度的影響Fig.5 Influence of extended joint angle on workspace precision

通過降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對工作空間精度影響的研究可知：各軸向分割體素nx、ny和nz與擴展關(guān)節(jié)角度Je對工作空間精度影響較大，其次是精度閾值Nε，最后是最大循環(huán)次數(shù)Cm和初始隨機點云Pinit，并不是擴展角度Je參數(shù)越大對工作空間精度提升越明顯.因此，在使用該方法求解工作空間時，需要優(yōu)先確定各軸向分割體素nx、ny、nz與擴展關(guān)節(jié)角度Je，通過提高分割體素nx、ny、nz與設(shè)置較小的擴展關(guān)節(jié)角度Je，使工作空間的解快速接近于精確值；其次，通過提高精度閾值Nε，增加工作空間整體密度，使工作空間的解更加接近于精確值；最后確定最大循環(huán)次數(shù)Cm和初始隨機點云Pinit，通過小幅調(diào)節(jié)這2 個參數(shù)，使工作空間的解趨近于精確值.該方法中參數(shù)優(yōu)先級的確定和調(diào)節(jié)方式為降密蒙特卡洛法快速、準(zhǔn)確求解工作空間提供了優(yōu)選策略.

5 仿真驗證

根據(jù)降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對工作空間精度的影響程度，設(shè)置參數(shù)Pinit為1 × 105，nx、ny和nz均為23，Nε為1 200，Cm為16 次，Je為2.5°，驗證降密蒙特卡洛法的有效性.降密蒙特卡洛法中仿人機械臂工作空間的極值范圍如表8 所示，其總隨機點云為6.11 × 106個.相比于蒙特卡洛法中工作空間各軸向極值的極值點，降密蒙特卡洛法的平均誤差率εa=0.022 42%，其各軸向極值點的誤差保持在10-4左右，精度可達0.1 mm 級，在ymin和zmin2 處極值點已經(jīng)超過了表3 中的參照極值點，但總隨機點數(shù)卻少于1 × 108個，降幅為93.89%.根據(jù)降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對機械臂工作空間精度影響的研究可知，隨著機械臂工作空間平均誤差率的升高，該算法所需的總隨機點云將會大幅減少，其優(yōu)勢更加明顯.因此，降密蒙特卡洛法與蒙特卡洛方法相比，在保證工作空間精度的同時，可以大幅減少點云數(shù)量，提高工作空間的求解效率，且通過平均誤差率驗證了降密蒙特卡洛法的有效性.

表8 降密蒙特卡洛法中工作空間范圍及其誤差率Tab.8 Workspace range and error rate by density-reducing Monte Carlo method

根據(jù)降密蒙特卡洛法求得仿人機械臂工作空間示意如圖6 所示，從圖6 可知：7-DOF 仿人機械臂工作空間接近于球體，具有較大的工作范圍，各平面投影無空洞與空腔，工作空間邊界線平滑連續(xù).

圖6 仿人機械臂工作空間示意Fig.6 Humanoid robot arm workspace

相比于改進蒙特卡洛法，通過設(shè)置相同的求解工作空間參數(shù)，對比降密蒙特卡洛法與改進蒙特卡洛法的差異.2 種方法中Pinit為5 × 104，nx、ny和nz均為10，Nε為600；降密蒙特卡洛法中Je為2.5°，改進蒙特卡洛法采用體元內(nèi)的隨機點作為正態(tài)分布中心點，方差為2.5°；最大循環(huán)次數(shù)Cm分別為2 次和4 次，工作空間的求解結(jié)果如表9 所示.根據(jù)表9 可知：降密蒙特卡洛法相比于改進蒙特卡洛法在循環(huán)次數(shù)為2 次和4 次時，工作空間的平均誤差率分別降低0.138 53%和0.113 29%，總隨機點云數(shù)量降幅分別為44.83%和64.52%，其求解耗時也大幅下降.因此，降密蒙特卡洛法相比于改進蒙特卡洛法在保證工作空間精度的同時，有效減少隨機點云數(shù)量的浪費，提高了求解機械臂工作空間的工作效率.

表9 降密蒙特卡洛法與改進蒙特卡洛法對比Tab.9 Comparison between density-reducing Monte Carlo method and improved Monte Carlo method

6 結(jié)論

1）分析了蒙特卡洛法和改進蒙特卡洛法在求解機械臂工作空間時存在的不足，提出了一種降密蒙特卡洛法，該方法在保證機械臂工作空間精度的同時，可以減少工作空間隨機點云的數(shù)量，提高求解工作空間的效率.

2）研究了降密蒙特卡洛法中各參數(shù)對機械臂工作空間的影響程度，解釋說明了各軸向分割體素nx、ny和nz與擴展關(guān)節(jié)角度Je對工作空間精度的影響較大，需要優(yōu)先確定其參數(shù)值；精度閾值Nε參數(shù)對工作空間精度有一定的提高；最后設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)Cm和初始隨機點云Pinit參數(shù).所提出方法中參數(shù)的確定優(yōu)先級，為降密蒙特卡洛法快速、準(zhǔn)確求解工作空間提供了優(yōu)選策略.

3）以7-DOF 仿人機械臂例，驗證了降密蒙特卡洛法的有效性，為后續(xù)仿人機械臂任務(wù)規(guī)劃奠定了理論基礎(chǔ).