宿月文 郭彩霞 張博棟 李旭波 王參軍

(陜西省機(jī)器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評估省市共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寶雞文理學(xué)院 陜西寶雞 721016)

擺線針輪傳動具有高減速比、高精度、高負(fù)載能力、高傳動效率、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)，被廣泛用于如機(jī)器人手臂、精密電機(jī)等領(lǐng)域[1-2]。目前擺線針輪傳動性能的研究已在齒廓修形、傳動精度、傳動效率等領(lǐng)域取得了優(yōu)秀成果[3-5]。陳兵奎等[6]基于微分幾何和齒輪嚙合機(jī)制，構(gòu)建了擺線針輪傳動的嚙合理論及齒廓通用方程。何衛(wèi)東等[7]以RV減速器為對象，建立了整機(jī)有限元模型，并考慮擺線輪綜合修形的前提下分析了整機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度和變形。楊玉虎等[8]根據(jù)作用線增量原理，應(yīng)用傳遞矩陣法研究了RV減速器中各構(gòu)件的原始誤差對傳動精度的影響規(guī)律，并建立較完善的精度分析模型。宿月文和郭彩霞[9]提出了一種可實(shí)現(xiàn)擺線針輪多齒嚙合點(diǎn)精確定位、接觸載荷分布確定和傳動效率計(jì)算的理論分析方法，但未考慮軸承因素。隨著研究深入，軸承等非線性環(huán)節(jié)被納入傳動性能分析模型[10]。魏波等人[11]認(rèn)為RV減速器主支撐角接觸球軸承的潤滑情況對機(jī)構(gòu)的效率、精度等性能具有很大的影響。于東等人[12]基于達(dá)朗貝爾原理的擬靜力學(xué)模型，推導(dǎo)了RV減速器主軸承接觸橢圓內(nèi)純滾動線位置與摩擦力矩的求解方程，給出更準(zhǔn)確的摩擦力矩計(jì)算公式。HUANG和TSAI[13]認(rèn)為軸承柔性導(dǎo)致擺線輪增加3個自由度，使得嚙合齒對提前進(jìn)入接觸，并增大了各齒載荷分配的不均勻性。楊玉虎等[14]建立了考慮軸承剛度、輪齒嚙合剛度及各構(gòu)件彈性的有限元接觸模型，分析了軸承剛度對擺線減速器整機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度的影響。XU等[15]根據(jù)多體力學(xué)和接觸理論構(gòu)建了對擺線輪與針齒，以及轉(zhuǎn)臂軸承的多點(diǎn)接觸分析方法，研究了考慮配合間隙的擺線針輪傳動載荷傳遞規(guī)律和動態(tài)接觸響應(yīng)。上述研究較少涉及軸承對傳動效率的影響。ZHU等[16]通過試驗(yàn)研究表明，擺線針輪減速器的軸承環(huán)節(jié)摩擦功耗損失可達(dá)4%，但是并未形成分析理論。PHAM和AHN[17]粗略分析了擺線減速器軸承功耗，也未在其理論中詳細(xì)考慮軸承模型。

綜上，針對現(xiàn)有擺線針輪傳動效率分析方法中存在忽略軸承因素或未能合理嵌入軸承非線性參數(shù)的問題。因此，本文作者提出一種新的傳動效率分析方法，將偏心軸承表示為指數(shù)型非線性模型，進(jìn)而通過牛頓力學(xué)建立以軸承變形為變量的擺線輪動力學(xué)微分方程，并得到由結(jié)構(gòu)與軸承參數(shù)表達(dá)的傳動效率理論模型，最終通過試驗(yàn)與理論融合的方法確定軸承參數(shù)，構(gòu)建了簡明且精確的傳動效率評估方法。

1 理想約束情況下擺線輪動力學(xué)方程

擺線針輪減速器結(jié)構(gòu)如圖1所示，其核心部件主要有輸入軸、擺線輪、針齒和輸出軸。其運(yùn)行原理如圖2所示，點(diǎn)O為輸入軸旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)O1為擺線輪中心，OO1為偏心距，其值為ec。輸入軸為定軸轉(zhuǎn)動，帶動曲柄旋轉(zhuǎn)并驅(qū)動擺線輪運(yùn)動，擺線輪既繞點(diǎn)O1自轉(zhuǎn)，又繞點(diǎn)O公轉(zhuǎn)。因此，可定義XOY為固定坐標(biāo)系，X1O1Y1為擺線輪坐標(biāo)系。FNpx和FNpy分別是擺線輪和針齒嚙合力的合力FNp在X、Y軸的分量；FNsx和FNsy分別是擺線輪和輸出柱銷的接觸力的合力FNs在X、Y軸的分量；Fex和Fey(1-μe)是輸入軸與擺線輪之間的作用力，μe為摩擦因數(shù)；TNp是擺線輪和針齒銷作用力對點(diǎn)O1的合力矩；TNs是擺線輪和輸出銷軸的接觸力對點(diǎn)O1的合力矩；Izz是擺線輪轉(zhuǎn)動慣量，φ是輸入軸角位移，Np為針齒數(shù)，擺線輪齒數(shù)Nc=Np-1。

圖1 擺線針輪減速器主要部件

根據(jù)擺線針輪減速器原理，擺線輪與針齒以及輸出機(jī)構(gòu)均有作用力。如圖3所示，擺線輪與針齒的作用力可表述為

圖3 擺線輪與針齒接觸力學(xué)簡圖

(1)

式中：r1為針齒分布圓半徑；T1為單個擺線輪的輸出力矩；βi為第i個針齒的位置角，且有，

(2)

假定輸出力矩不變時，擺線輪和針齒之間的作用力還受到輸入力矩的影響，因此引入系數(shù)Acy，即輸入力矩的增加，Acy也增大。因此，考慮輸入力矩的影響后，所有處于接觸的針齒對擺線輪的合力FNp可表示為

(3)

擺線輪所受針齒接觸力的合力矩可表示為

(4)

同理，擺線輪與單個輸出柱銷的作用力表示為

(5)

式中：r2為輸出柱銷分布圓半徑；Ns為輸出柱銷個數(shù)；βj為第j個輸出機(jī)構(gòu)柱銷中心點(diǎn)與點(diǎn)O連線與Y軸的夾角。

同理引入系數(shù)Aos來體現(xiàn)輸入力矩對擺線輪和輸出柱銷作用力的影響。那么，所有接觸柱銷對擺線輪的合力可表示為

(6)

所有接觸柱銷對擺線輪的合力矩可表示為

(7)

根據(jù)圖2以及力平衡原理，得到擺線輪的受力平衡方程組為

(8)

式中：GXi、GYi分別為式(3)中Gi在X、Y軸上的投影；SXj、SYj分別為式(6)中Sj在X、Y軸上的投影；TL為負(fù)載力矩。

根據(jù)輸出機(jī)構(gòu)受力平衡原理可得輸出力矩為

(9)

根據(jù)式(8)并數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到輸入力矩為

Tin=Fey(1-μe)·ec=

(10)

則減速器傳動效率可表示為

(11)

基于上述方法，以表1參數(shù)對某擺線針輪傳動系統(tǒng)的傳動效率進(jìn)行分析，得到不同摩擦因數(shù)下傳動效率隨負(fù)載的變化情況，如圖4所示。可見，傳動效率受摩擦因數(shù)影響很大，與負(fù)載大小無關(guān)，這顯然不合理，因此下文將嘗試引入軸承因素構(gòu)建更為準(zhǔn)確的傳動效率分析模型。

表1 擺線傳動系統(tǒng)主要幾何機(jī)構(gòu)參數(shù)

圖4 不同摩擦因數(shù)時負(fù)載與傳動效率的關(guān)系

2 考慮軸承時擺線輪動力學(xué)方程

假定所有構(gòu)件均為剛體，將輸入軸與擺線輪之間的偏心軸承視為彈性環(huán)節(jié)，則認(rèn)為軸承沿Y1變形，如圖5所示，將其彈性位移用y1表示，那么軸承力Fbearing[18]可表示為

圖5 擺線輪與軸承作用力方向及參考坐標(biāo)系

(12)

其軸承作用力矩為

(13)

其中，kcy是軸承剛度系數(shù)；p是軸承非線性剛度指數(shù)。當(dāng)p=1，可得到胡克定律；如果p≠1，則力與變形之間的關(guān)系是非線性的。

此外，考慮偏心軸承后，擺線輪中心點(diǎn)O1的速度為

vO1=vO+vO1/O，dr+vO1/O，rel

(14)

其中，vO為點(diǎn)O速度，由于輸入軸是定軸轉(zhuǎn)動，因此vO=0；vO1/O，dr為動坐標(biāo)系X1O1Y1的牽連速度；vO1/O，rel為動坐標(biāo)系X1O1Y1的相對速度。那么

(15)

由于坐標(biāo)系X1O1Y1和坐標(biāo)系XOY存在如下關(guān)系：

(16)

那么擺線輪中心點(diǎn)O1的加速度為

(17)

設(shè)定擺線輪質(zhì)量為mcy，則擺線輪的慣性力為

(18)

根據(jù)圖6所示擺線輪的受力情況，考慮擺線輪所受慣性力以及針齒、輸出柱銷對其的作用力，建立動力學(xué)平衡方程如下：

圖6 考慮輸入軸的軸承時擺線輪受力

(19)

進(jìn)一步對式(19)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理得到：

(20)

式(20)屬于初值問題，其系數(shù)隨時間變化，為變系數(shù)微分方程，可由Runge-Kutta法來求解[19]?？芍灰玫饺我粫r刻擺線輪與針齒及輸出銷軸的接觸載荷分布，即可得到|y1|。

擺線輪的輸入力矩Tin則可表示為

Tin=ec·kcy|y1|p

(21)

那么減速器的瞬時效率可表示為

(22)

由式(22)可知，擺線傳動效率η受軸承剛度系數(shù)kcy和p的影響。

隨著偏心軸的旋轉(zhuǎn)，首先判斷哪些針齒和輸出柱銷處于接觸狀態(tài)，進(jìn)而得到每一時刻的擺線輪與針齒以及輸出柱銷的接觸力，然后代入微分方程(20)，求解得到軸承的彈性變形，最后根據(jù)式(22)計(jì)算得到減速器的傳動效率。具體計(jì)算流程如圖7所示。

圖7 考慮輸入軸的軸承時擺線針輪機(jī)構(gòu)效率計(jì)算流程

3 軸承非線性對傳動效率的影響分析

3.1 軸承力學(xué)參數(shù)

為了降低建模的復(fù)雜性，文中僅考慮輸入軸和擺線輪之間的軸承接觸因素對傳動效率的影響。接觸理論表明，軸承徑向變形與法向接觸力具有非線性函數(shù)關(guān)系[20]。實(shí)際上，經(jīng)典接觸條件下，軸承剛度系數(shù)kcy取決于接觸體的幾何形狀、材料特性和某些尺寸；而p僅取決于接觸體的幾何形狀，如對于球軸承，p=3/2；對圓柱滾子軸承，p=10/9[21]。

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，文中從理論上考慮擺線輪與輸入軸的連接軸承的非線性效應(yīng)，并引入軸承力學(xué)模型，但并非針對某一具體型號的軸承。因此，為了分析2個軸承力學(xué)參數(shù)kcy和p對擺線針輪傳動效率的影響，設(shè)定其參數(shù)取值范圍為kcy∈[1×107，1×1011]N/m，p∈[1，2.5]。

3.2 軸承參數(shù)對傳動效率的影響

3.2.1p=1時軸承參數(shù)的影響

為了對比分析軸承非線性效應(yīng)，首先考慮軸承力與位移屬線性情況，即p=1時，觀察不同系數(shù)kcy情況下，傳動效率與運(yùn)行工況的關(guān)系。圖8顯示了不同kcy時，減速器傳動效率與轉(zhuǎn)速、負(fù)載的關(guān)系?？梢钥吹絺鲃有驶静浑S著轉(zhuǎn)速以及負(fù)載的變化而變化。這一點(diǎn)與常識不符，說明了將軸承表達(dá)為線性剛度無法反映工程實(shí)際。

圖8 不同剛度系數(shù)時，傳動效率與轉(zhuǎn)速、負(fù)載的關(guān)系

3.2.2p>1時軸承參數(shù)的影響

針對p>1的情況，分別以2種情況，即p為1.1和2.5，以及kcy為1×107、1×1011N/m，考察傳動效率與運(yùn)行工況的關(guān)系。圖9和10所示為p=1.1時傳動效率與負(fù)載、轉(zhuǎn)速的關(guān)系。運(yùn)行速度和負(fù)載幾乎對傳動效率沒有影響，這一點(diǎn)與p=1時情況類似。此外，在p=1.1，kcy=1×1011N/m時，傳動效率相對較好，表明系統(tǒng)具有更高剛性。圖11與12顯示了p=2.5時傳動效率與負(fù)載、轉(zhuǎn)速的關(guān)系。與p=1.1不同，軸承的傳動效率出現(xiàn)明顯變化。隨著負(fù)載的增加，傳動效率顯著提高。但是運(yùn)行速度對傳動效率的影響不大，即隨著轉(zhuǎn)速增大，效率略有下降。其中高負(fù)載時傳動效率隨轉(zhuǎn)速上升基本不變，而在低負(fù)載時效率小幅下降。kcy較高時，系統(tǒng)剛性更強(qiáng)，傳動效率相應(yīng)提高。圖13所示為p=2.5，kcy=1×1011N/m時，2種轉(zhuǎn)速(1 000和1 500 r/min)，2種負(fù)載(200和300 N·m)時的軸承變形y1值。2種轉(zhuǎn)速下，軸承變形基本相同；但是高載荷時，軸承變形也相應(yīng)增大。式(13)表明傳動效率與負(fù)載正相關(guān)，與軸承變形負(fù)相關(guān)。顯然，此時負(fù)載增加對傳動效率的影響更為重要。

圖9 不同載荷和轉(zhuǎn)速時的傳動效率(p=1.1，kcy=1×107 N/m)

圖10 不同載荷和轉(zhuǎn)速的傳動效率(p=1.1，kcy=1×1011 N/m)

圖11 不同載荷和轉(zhuǎn)速的傳動效率(p=2.5，kcy=1×107 N/m)

圖13 不同運(yùn)行條件下的軸承變形

綜合圖8—11，軸承力學(xué)參數(shù)對傳動效率計(jì)算結(jié)果有顯著影響，故有必要通過試驗(yàn)來對軸承參數(shù)進(jìn)行量化研究。

4 軸承力學(xué)參數(shù)的擬定

4.1 軸承參數(shù)擬定方法

文中通過試驗(yàn)測試的方法獲得某單級擺線減速器的傳動效率ηs，并將其與同一運(yùn)行狀態(tài)下的理論值η進(jìn)行對比，依據(jù)|η-ηs|值來修正理論模型中的2個參數(shù)p、kcy，再進(jìn)行理論計(jì)算，反復(fù)迭代，直到傳動效率的測試值與理論值接近。其中，迭代計(jì)算以漸進(jìn)的、小步長的方式進(jìn)行，即p的步長為0.01；kcy的步長為103。具體流程如圖14所示。

圖14 軸承非線性參數(shù)擬定的計(jì)算流程

4.2 測試方法

擺線針輪減速器試驗(yàn)基于一體化設(shè)計(jì)的專業(yè)測試裝置(見圖15)進(jìn)行，該裝置滿足輸出功率≤1.8 kW、輸出轉(zhuǎn)矩≤1 000 N·m、額定轉(zhuǎn)速1 500 r/min、最高轉(zhuǎn)速≤3 000 r/min的減速機(jī)效率測試。測試裝置主要由動力部分、電力測功機(jī)加載閉環(huán)控制部分、測試臺架以及控制測量部分構(gòu)成。其中，為滿足不同類型減速器效率試驗(yàn)，減速器安裝采用固定底座+安裝盤方式，更換方便；測試臺架加載采用伺服加載電機(jī)作為負(fù)載，負(fù)載可以任意調(diào)節(jié)，測試方便。

在被測減速器的輸出軸上加載恒定扭矩進(jìn)行測試，輸入轉(zhuǎn)速從0增加到既定速度并保持恒定20 s，然后再次降低到0，并提取20 s內(nèi)傳動效率數(shù)據(jù)。

4.3 實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與理論值對比

通過軸承力學(xué)參數(shù)擬定方法，得到p=2.29，kcy=1.6×1010N/m。圖16、17分別顯示了不同轉(zhuǎn)速時，由理論分析和試驗(yàn)測試得到的傳動效率與負(fù)載的關(guān)系?？梢姡瑴y試所得傳動效率數(shù)據(jù)存在2個區(qū)域，即負(fù)載較小時(<150 N·m)，傳動效率變化幅度相當(dāng)大；而在負(fù)載較大時，隨負(fù)載的增加，傳動效率變化較為緩慢，此時效率值已逼近飽和值。相同工況下，對應(yīng)理論值也存在類似趨勢，但是理論值稍高于試驗(yàn)值，其原因在于試驗(yàn)系統(tǒng)存在理論模型中未能考慮的其他功耗環(huán)節(jié)，如針齒軸套和輸出柱銷軸套的摩擦?？梢酝ㄟ^高效潤滑脂且避免過熱來減小該部分的摩擦功耗。

圖16 試驗(yàn)與仿真所得傳動效率的對比(ωin=1 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

圖17 試驗(yàn)與仿真所得傳動效率的對比(ωin=2 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]得到，材料為鋼的圓柱滾子軸承，寬度為12 mm時，其軸承剛度為kn=3.29×108N/m，p=10/9?？梢娕c文中擬定的參數(shù)值，特別是指數(shù)p，存在很大差異。這是因?yàn)槲闹兴氲妮S承模型，融合了減速器其他接觸部位的彈性環(huán)節(jié)，相對于具體軸承具有更高的彈性，具有更高的p值。正因?yàn)樵撦S承模型為具有復(fù)合效應(yīng)的純理論模型，從而使得傳動效率理論評估模型更為簡化。

5 結(jié)論

(1)考慮輸入軸與擺線輪的連接軸承彈性，利用牛頓法建立擺線輪動力學(xué)方程，形成以軸承非線性力學(xué)參數(shù)描述的傳動效率分析模型，并將理論傳動效率與測試值進(jìn)行對比，揭示軸承非線性參數(shù)對傳動效率的影響。

(2)軸承線性剛度(p=1)情況下的理論結(jié)果表明傳動效率與運(yùn)行速度和負(fù)載無關(guān)，與測試值不符；考慮軸承非線性剛度時(p>1)，在p值較大時，即軸承剛性較低，其理論傳動效率與運(yùn)行速度無關(guān)，但隨著負(fù)載增大而提高，與測試值基本相符。

(3)通過理論與試驗(yàn)對比法擬定的軸承參數(shù)與具體型號的軸承參數(shù)差異顯著，表明該軸承模型為純理論模型。理論模型得到傳動效率預(yù)測結(jié)果接近測試值，證明輸入軸和擺線輪之間的軸承是影響傳動效率曲線的重要環(huán)節(jié)。

(4)為了降低軸承參數(shù)擬定的難度，研究中忽略了軸承阻尼參數(shù)，后續(xù)工作應(yīng)考慮這些因素，以建立更為準(zhǔn)確的傳動效率評估方法。