王文川，楊 斐

(華北水利水電大學水資源學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

暴雨洪水頻繁發(fā)生給人們的生命財產(chǎn)造成了嚴重的損失[1]。因此，提高河道洪水演進精度是“四預”研究中“降雨-產(chǎn)流-匯流-演進”規(guī)律研究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對減少洪水對人民生命財產(chǎn)的損失至關(guān)重要。馬斯京根模型是河道洪水演進模型中一個常用的數(shù)學模型，由于使用方便，在生產(chǎn)實踐中得到了廣泛的應用。然而，在實際應用中，傳統(tǒng)的線性馬斯京根模型無法描述其非線性特征[2]。為此，研究者開始探索如何改進馬斯京根模型[3]，以適應復雜的現(xiàn)實環(huán)境。2015年Easa等[4]提出了變指數(shù)非線性馬斯京根模型(Variable exponent parameters nonlinear Muskingum model，VEP-NMM)，它通過引入無量綱入流變量ut，將模型中的指數(shù)m賦予了時變性的物理意義。此外，Easa等人[4]還采用廣義梯度進化算法(GRG)對模型進行參數(shù)率定，取得了較為理想的效果。然而，隨著模型參數(shù)的增加，其參數(shù)優(yōu)選一直是模型應用中的一個研究熱點問題[5-6]。從最初的試錯法和最小二乘法發(fā)展到后來的智能優(yōu)化算法，越來越多學者應用各種優(yōu)化算法來優(yōu)化馬斯京根模型的參數(shù)[7]，例如遺傳算法[8]、差分進化算法[9]以及隨機分形搜索算法[10]等。雖然智能優(yōu)化算法在處理復雜非線性問題上的優(yōu)越性已經(jīng)被證明[7，11]，但仍然存在著演算精度不高、易陷入局部最優(yōu)解等問題。因此，仍需要探索更為高效的算法來求解VEP-NMM的參數(shù)優(yōu)化問題。

基于此，本文提出了基于Tent混沌映射策略及黃金分割系數(shù)改進的哈里斯鷹優(yōu)化算法(TGHHO)，并將其應用于VEP-NMM的參數(shù)優(yōu)化，構(gòu)建TGHHO-VEP-NMM河道洪水演進模型。哈里斯鷹優(yōu)化算法[12](Harris Hawks Optimizer，HHO)在處理非線性優(yōu)化問題時表現(xiàn)出了良好的性能，但存在容易陷入局部最優(yōu)解，且收斂速度慢的問題[13-15]。為了進一步提高HHO的優(yōu)化效率，本文引入了Tent混沌映射策略及黃金分割系數(shù)，以增加算法的種群多樣性和搜索效率，從而提高算法的全局搜索能力。將提出的TGHHO算法與蝴蝶優(yōu)化算法[16](Butterfly Optimization Algorithm，BOA)、灰狼優(yōu)化算法[17](Grey Wolf Optimizer，GWO)及哈里斯鷹[12](Harris Hawks Optimizer，HHO)優(yōu)化算法在4個標準的測試函數(shù)上進行對比測試，然后在兩個典型河道洪水驗算問題：Wilson[18]數(shù)據(jù)以及Viessman和Lewis[19]數(shù)據(jù)上測試了其性能。結(jié)果表明，本文所提出的TGHHO算法能有效提高變指數(shù)非線性馬斯京根模型演算精度，為變指數(shù)非線馬斯京根模型參數(shù)優(yōu)化問題提供了一種新的求解方法。

1 變指數(shù)非線性馬斯京根模型

變指數(shù)非線性馬斯京根模型[4]的建模過程如下：

(1)

St=K[xIt+(1-x)Qt]β(ut)

(2)

式中，St、It、Qt-河段時間t內(nèi)的總槽蓄量、入流量、出流量；k-槽蓄系數(shù)；x-流量比重因子。

該模型與非線性馬斯京根模型[3]的區(qū)別在于本模型的指數(shù)β(ut)是一個連續(xù)型指數(shù)方程，在計算時段內(nèi)均與流量It有關(guān)，具體公式為：

β(ut)=a+be-ecut

(3)

(4)

式中，a、b、c-待優(yōu)化求解的參數(shù)；Imax-河道最大入流量。

初始化參數(shù)后，可得到各時段的β(ut)，假設(shè)初始演算出流量等于入流量，即Q0=I0，初始河道槽蓄量的計算公式為：

S0=K[xI0+(1-x)Q0]β(u0)

(5)

β(u0)=a+be-ecu0

(6)

河道槽蓄量第i時段變化率ki的計算公式為：

(7)

下一個時段的槽蓄量、出流量的計算公式分別為：

St+1=St+Δtki

(8)

(9)

為使演算流量過程盡可能準確，一般選取實測出流量和演算出流量的誤差平方和最小作為模型參數(shù)優(yōu)化目標，其目標函數(shù)為：

(10)

2 哈里斯鷹優(yōu)化算法

哈里斯鷹優(yōu)化算法(HHO)是由Heidari et al等人[12]在2019年提出的，模仿哈里斯鷹捕食獵物的真實情況，用數(shù)學公式來模擬哈里斯鷹在不同機制下捕捉獵物的策略。在HHO中，哈里斯鷹是候選解，獵物(兔子)隨迭代逼近最優(yōu)解?？煞譃閮蓚€階段：勘探階段和開發(fā)階段。由能量E的大小控制轉(zhuǎn)換，當|E|≥1時，表示HHO算法處于探索階段，相反，當逃逸能量|E|<1時，算法處于開采階段。

2.1 勘探階段

在探索階段，有兩種更新哈里斯鷹位置的方法：一種是根據(jù)鷹群其他成員和獵物的位置描述哈里斯鷹的棲點，另一種是選擇描述哈里斯鷹隨機棲息的樹木。對于這兩種方法，都是由一個從(0，1)均勻分布的隨機數(shù)字中選擇q，因此鷹的位置更新如下式所示[12]：

(11)

式中，X(t+1)-第t+1次迭代時哈里斯鷹的位置；Xrabbit(t)-第t次迭代時的獵物；r1、r2、r3、r4和q-(0-1)之間的隨機數(shù)；在每次迭代中更新中，LB和UB表示變量的上下界；Xrand(t)-從當前種群中隨機選擇的一只鷹；Xm(t)-當前鷹種群的平均位置。鷹的平均位置如下：

(12)

式中，Xi(t)-第t次迭代時第i個鷹的位置；N-哈里斯鷹的總數(shù)。

2.2 開采階段

在這個階段，哈里斯鷹根據(jù)全局探索階段的觀察逮捕預期獵物，獵物則試圖逃離危險。根據(jù)哈里斯鷹的追逐策略和獵物的逃跑行為，鷹有4種不同的誘捕策略[15，20]。這些策略的選擇取決于獵物的逃跑能量，以及獵物是否成功逃脫的概率。假設(shè)概率為參數(shù)u，其為從0到1的均勻分布隨機變量中抽取的樣本。當u<0.5時，獵物逃跑成功。當u≥0.5時，獵物逃跑失敗。另外，引入?yún)?shù)E模擬哈里斯鷹的圍攻策略。所有的策略都將在接下來的論文中描述。

Step 1：軟圍攻階段。當|E|≥0.5時，執(zhí)行軟圍攻。在這個階段，兔子有足夠的能量，逃跑的概率很高，哈里斯鷹選擇逐漸消耗獵物的能量，然后在最佳的位置逮捕兔子。其位置更新公式為：

X(t+1)=Xrabbit(t)-X(t)-E|JXrabbit(t)-X(t)|

(13)

式中，ΔX(t)-迭代時哈里斯鷹與獵物的位置之差；J=2(1-r5)-獵物逃脫圍捕過程中的隨機跳躍力量；r5-區(qū)間(0，1)的隨機數(shù)。

Step 2：硬圍攻階段。當|E|≥0.5且u≥0.5時，進行硬圍攻階段。在這個階段，兔子已筋疲力盡，逃跑的能量很低。然而兔子仍可以成功逃跑，鷹的位置更新公式為：

Xt+1=Xrabbit，t-E|Xrabbit(t)-X(t)|

(14)

Step 3：加速俯沖式軟圍攻。當|E|≥0.5，u<0.5時，發(fā)生遞進式的快速俯沖的軟包圍。在這種情況下，兔子有足夠的能量逃脫攻擊，而鷹仍然構(gòu)建了一個軟圍攻。鷹的位置更新公式為：

Y=Xrabbit(t)-E|JXrabbit-X(t)|

(15)

隨即，鷹將比較這一行為的結(jié)果與之前的俯沖結(jié)果。如果結(jié)果不好，哈里斯鷹就會開始進行不規(guī)則的、突然的和快速的跳水。鷹的位置更新函數(shù)為：

Z=Y+S×LF(D)

(16)

式中，D-待優(yōu)化問題的維度；S-大小為1×D的隨機向量；LF-萊維飛行函數(shù)；u，v-(0，1)內(nèi)的隨機值；β-設(shè)置為1.5的默認常量，其計算公式為：

(17)

在這種情況下，鷹的更新公式為：

(18)

式中，Y和Z由式(15)和式(16)計算；F-適應度函數(shù)。

Step 4：加速俯沖式硬圍攻。當|E|<0.5，u<0.5時，發(fā)生遞進式的快速俯沖的硬圍攻。在這種情況下，兔子的能量太低而無法逃脫攻擊，同時鷹進行猛烈的圍攻，鷹的更新如公式為：

(19)

式中，Y=Xrabbit(t)-E|JXrabbit(t)-Xm(t)|；Z=Y+S×LF(D)；Xm(t)-鷹的平均位置，通過式(12)可得。

3 改進哈里斯鷹優(yōu)化算法(TGHHO)

在HHO算法中，采用隨機初始化種群的方法導致哈里斯鷹鷹群樣本過少，多樣性不足，影響算法的參數(shù)尋優(yōu)能力和全局尋優(yōu)能力。針對此問題，本文引入了Tent混沌映射[21]機制來增加種群的不確定性、不可重復性及不可預測性。Tent混沌映射是一個具有均勻分布函數(shù)和良好相關(guān)性的混沌映射，且在其參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)。該映射公式為：

(20)

將哈里斯鷹種群使用混沌映射機制初始化后，再生成混沌種群的反向解。然后，將哈里斯鷹種群及其反向解按適應度從大到小排序。最終，選擇前1/2的哈里斯鷹個體作為種群的新一代個體，從而提高了HHO算法的全局尋優(yōu)能力。反向種群的計算公式為：

Xf=(ub+lb)-X

(21)

混沌映射策略為全局優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。再利用黃金正弦算法改進HHO算法的Step 1和Step 2，使哈里斯鷹以黃金正弦方式移動逮捕獵物，在每次的迭代過程中，普通的個體會與最優(yōu)個體交換信息，充分吸收與最佳個體位置差距的信息。另外，黃金分割系數(shù)減小鷹群捕捉兔子的搜索范圍，引導個體在縮小后的范圍內(nèi)盡快接近最終值。此過程優(yōu)化了HHO算法的尋優(yōu)方式，從而提高算法的開發(fā)能力和尋優(yōu)性能。其位置更新公式為：

Xt+1=Xt×|sin(R1)|+R2×sin(R1)×
|x1×Xrabbit，t-x2×Xt|

(22)

4 實驗設(shè)計與分析

4.1 測試函數(shù)對比實驗

為了驗證TGHHO算法的性能。選取4個標準測試函數(shù)，與近年來比較新穎的蝴蝶優(yōu)化算法[16](BOA)、灰狼優(yōu)化算法[17](GWO)以及哈里斯鷹優(yōu)化算法[12](HHO)進行仿真對比實驗。4個測試函數(shù)的理論最優(yōu)值都為0。算法的參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：種群規(guī)模N=30，問題維數(shù)D=30，最大迭代次數(shù)T=500。4組測試函數(shù)的基本信息見表1，其中F1、F2為單峰函數(shù)，F(xiàn)3、F4為多峰函數(shù)，分別測試算法的局部開采性能和全局探索性能等。

表1 測試函數(shù)詳細信息

仿真測試結(jié)果見表2所列，從表可以看出改進后的算法在4個測試函數(shù)中的尋優(yōu)能力最強，明顯優(yōu)于其他3種算法。函數(shù)F1、F2為單模態(tài)函數(shù)，改進后的算法可以直接搜索到函數(shù)的最優(yōu)值；F3、F4屬于多模態(tài)函數(shù)，改進的算法在F3函數(shù)中也可以直接尋找到其最優(yōu)值0，對于函數(shù)F4，其尋優(yōu)效果雖未達到最優(yōu)值0，但相比其他智能優(yōu)化算法其收斂精度也達到最佳。且在測試函數(shù)中，HHO算法其標準差值分別為2.02×10-75、5.61×10-50、1.26×10-49、8.01×10-5，而TGHHO算法標準差值分別為0、0、0、6.19×10-7。說明TGHHO算法不僅尋優(yōu)效果高于其他算法且其穩(wěn)定性也有所提高，TGHHO算法在一定程度上提高了HHO算法的尋優(yōu)能力和收斂精度。為了直觀展示TGHHO算法的尋優(yōu)速度和性能，如圖1所示給出測試函數(shù)的收斂曲線。

圖1 函數(shù)圖像及算法收斂曲線圖

表2 優(yōu)化算法測試結(jié)果對比

從圖1可以直觀地看出，TGHHO算法的收斂精度和速度完全優(yōu)于其他3種算法，并且其收斂速度也相對較快。由其收斂曲線得知，改進后的算法在函數(shù)F1、F2、F3中，收斂精度直接達到最優(yōu)且收斂速度也大幅提高。在函數(shù)F4中改進后的算法較原始算法其收斂精度和收斂速度也有所提升，并且TGHHO算法收斂曲線出現(xiàn)多個拐點，說明改進后的算法更易跳出局部尋優(yōu)從而達到理想的全局尋優(yōu)能力。

4.2 在變指數(shù)非線性馬斯京根模型參數(shù)優(yōu)選中的應用

選取兩個著名的河道洪水演進計算實例：一是1974年Wilson給出的單峰河道洪水數(shù)據(jù)[18]；二是2003年Viessman和Lewis給出的雙峰河道洪水數(shù)據(jù)[19]。以最小化實測流量與演算流量的誤差平方和(SSQ)最小作為目標函數(shù)，采用提出的TGHHO算法對變指數(shù)非線性馬斯京根模型進行優(yōu)化求解，計算結(jié)果見表3。在表3中也給出了幾個代表性文獻對三參數(shù)非線性馬斯京根模型的研究結(jié)果。從表3中可以得出，對于實例1，相對于GRG和HHO算法，提出的TGHHO算法其目標函數(shù)值分別降低了27.01%和33.28%。相對于三參數(shù)馬斯京根模型的MHBMO[24]優(yōu)化方法，其目標函數(shù)值降低了66.97%。對于實例2，使用提出的TGHHO算法比使用HHO算法，其目標函數(shù)值降低了5.05%；比MHBMO[22]算法，其SSQ值降低了13.9%。

表3 各方法參數(shù)率定結(jié)果對比

應用TGHHO與HHO算法計算實例1和2的收斂曲線和洪水演算過程對比如圖2-3。從圖2-3中可以看出，提出的TGHHO方法的收斂速度和精度優(yōu)于HHO算法。說明本文所提出的TGHHO優(yōu)化算法在馬斯京根河道洪水演進模型參數(shù)尋優(yōu)中具有較高的適用性。

圖2 單峰實例收斂曲線和洪水演算過程比較圖

圖3 雙峰實例收斂曲線和洪水演算過程比較圖

5 結(jié)論與展望

本文提出了一種基于Tent混沌映射策略及黃金分割系數(shù)改進的哈里斯鷹優(yōu)化算法(TGHHO)，通過引入Tent混沌映射策略和黃金正弦分割系數(shù)，混沌映射策略擴大了哈里斯鷹種群數(shù)量從而提升了鷹群的多樣性，在圍捕過程中，加入黃金正弦算法中的黃金分割系數(shù)，從而減小鷹群捕捉兔子的搜索范圍，提高算法的尋優(yōu)能力。通過兩個單峰兩個多峰測試函數(shù)結(jié)果表明，TGHHO較HHO在收斂精度和收斂速度上都有明顯提高。針對復雜非線性馬斯京根模型參數(shù)優(yōu)選困難的問題，使用TGHHO算法進行參數(shù)優(yōu)選，從而構(gòu)建了一種TGHHO-VEP-NMM河道洪水演進新模型。通過兩個河道洪水演算實例，對不同算法優(yōu)選的結(jié)果進行比較，驗證了本文提出的TGHHO算法優(yōu)于其他算法，說明提出的TGHHO在優(yōu)化復雜非線性馬斯京根模型參數(shù)時具有很好的推廣應用價值。未來，可以進一步探究TGHHO算法在其他優(yōu)化問題中的應用，并進一步改進TGHHO算法的性能；同時，可以進一步研究TGHHO-VEP-NMM河道洪水演進模型在不同地區(qū)的適用性。