吳桐

（清華大學附屬中學，北京 100028）

1 二階微分方程

二階微分方程在時間上大致與微積分同時產(chǎn)生。對于初學者來說，y′=f（x）這樣的問題就是最簡單的微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程的形式為y″+py′+qy=f（x）。與二階常系數(shù)線性微分方程對應的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的形式為y″+py′+qy=0，其中p，q 是實常數(shù)。若函數(shù)y1和y2的比為一個常數(shù)，稱和是線性相關的；若函數(shù)y1和y2之比不為一個常數(shù)，稱y1和y2是線性無關的。二階方程的幾個例子（都可降階求解）：單擺、懸鏈線、二體問題（都與引力有關）[1]。

考慮微分方程如下：

彈簧振動，單擺，行星在引力下運動都是這種形式的方程或方程組。令，以v 為新的變量，t 當作參數(shù)，則：。

式中：C1——任意常數(shù)。

方程（2）對于固定的C1是一階微分方程：。它也是變量分離的。因此，又可以求出它的積分：

式中：C2——第二個任意常數(shù)。

方程（3）為方程（1）的通積分；通常由它可得到通解x=u（t，C1，C2）。在實際求解方程（3）時，求原函數(shù)G以及從方程（3）中反解得到x 都可能遇到很多困難。

但其實對于某些實際的問題，有時并不完全需要求出通解。假如只對運動的位移（x）和速度（v）之間的關系感興趣，即運動的相（x，v）感興趣，那么方程（2）就已經(jīng)滿足這種關系。實際上，對于一個固定的常數(shù)C1，方程式（2）在（x，v）相平面上確定幾條名為軌線的曲線[2]。例如，當f（x）=-kx，k>0（簡諧振動）時，利用方程（2），就得到方程：v2+kx2=-C1=C2。軌線是一個以原點為中心的橢圓。

所以，微分方程的求解在于引入新變量，從而方程（1）等價于：，。即。

這里可以降階求解依賴于f 的特殊性，即它不顯含t。如果微分方程不顯含自變量，則稱之為駐定（或自治）微分方程?？梢詫ζ溥M行降階[3]。例如，考慮n 階自治微分方程（當方程有x 平移不變性時會如此）。

然后，把方程（5）至方程（8）代入方程（4），就得到一個n-1 階的微分方程（其中z 是未知函數(shù)，而y 是自變量）。

2 二階常微分方程解法的應用

為了更好地體現(xiàn)特征方程法和常數(shù)變易法的區(qū)別，本文選取了一個比較簡單的動力學方程來進行求解。通常，在對物理問題求解時，分為3 個步驟：第一步是對該問題進行徹底分析從而能做到對方程的初步建立并且對定解條件進行明確；第二步是對其解的性質(zhì)進行探究或者求出方程來滿足初始條件的特解；最后一步是定性分析對解，對原來的問題反過來進行解釋，其中最為關鍵的步驟就是要將方程列出，而能列出方程的方法主要有兩種，分別為微元分析法和瞬時變換法。但是在研究阻尼運動的過程中，求解運動方程一直是令人頭疼的問題。接下來分別使用特征方程法和常數(shù)變易法來求解這個動力學方程[4]。

2.1 特征方程法

在要研究的彈簧振子系統(tǒng)中，測定物體的阻尼系數(shù)δ=10.0s-1，物體的質(zhì)量為m=1.0kg，該彈簧所具備的勁度系數(shù)為k=75N·m-1，根據(jù)上述條件，假設質(zhì)點由靜止狀態(tài)逐步開始運動，對彈簧振子的位移方程進行求解。

解：根據(jù)牛頓的第二運動定律可以得出：

或：

由于相對來說振動系統(tǒng)是在之前給定的，其中包含的常量為m，k，c，如果能夠確定，c/m=2δ，方程（10）和方程（11）就可以轉變?yōu)榉匠蹋?2）。

那么將所得到的數(shù)據(jù)代入方程（12），可以得到：

通過對方程（10）至方程（12）的仔細觀察和深入研究則可以得到對方程（13）進行求解能夠使用特征值法，得出其特征方程可以表述為：λ2+20λ+75=0，并且在該特征方程當中包含有不同的兩個根λ1=-15，λ2=-5，這樣相對應的方程（13）的兩個根分別為ξ1=e-5t，ξ2=e-15t。

通過方程（14），可以看出振子所保持的狀態(tài)屬于一個非振動狀態(tài)，在這樣的背景下，所要求的質(zhì)點也只是在原先的不平衡位置逐漸恢復到平衡狀態(tài)當中，該質(zhì)點并不具有周期振動的特征。由于在δ<ω0情況下，質(zhì)點會呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動。然而由于會受到阻尼作用的影響，不能保持自由振動系統(tǒng)的長久運作，振動會逐漸衰減直至振動停止，如果要保持振動持續(xù)不停的狀態(tài)的話，該質(zhì)子就需要從外界獲得運動必要的能量，在學術界，將受到外部持續(xù)的作用，產(chǎn)生振動的情況稱之為強迫振動[5]。

假如在以上的振動系統(tǒng)當中振子由于受到某個外力F=100cos（30t）N 的作用，在該方程之中FA=100 表示的是該驅動力的幅度值，ω=30 表示的是該驅動力所具有的圓頻率，f 即是該驅動力所保持的頻率。

解：由于在質(zhì)點振動系統(tǒng)當中會受到驅動力的作用，那么就可以得到關于系統(tǒng)振動的方程：

方程（15）還可以表示為方程（16）。

在這里可以假設方程（17）有著x1=Asin30t+Bcos30t這樣的特解，將這個特解代入方程（17）并且將其簡化最終得到：

-（33A+24B）sin30t+（24A-33B）cos30t=4cos30t。（18）

綜上所述，題目中的條件決定A，B 的數(shù)值，之前的兩項為該方程的瞬態(tài)解，瞬態(tài)項對這整個系統(tǒng)所進行的自由衰減振動能夠進行有效的描述，然而只能在運動的開始階段起作用，在經(jīng)過長時間的運動之后，它起到的影響會隨時間消逝并且在運動最后完全消失。而之后兩項所代表的穩(wěn)態(tài)解，描述的是強迫運動的狀態(tài)，由于幅值條件的固定，所以稱這樣的狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)方程（19），外力作用在質(zhì)點上的時候，整個系統(tǒng)的振動狀態(tài)十分復雜，這時候的振動既包括了瞬態(tài)振動，也包括了穩(wěn)定振動，而這樣的振動狀態(tài)對于在強迫振動之中逐步建立起穩(wěn)態(tài)振動的過程進行有效的描述。在長時間的振動之后，瞬態(tài)振動終將消逝，這整個系統(tǒng)就會保持穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。

2.2 常數(shù)變易法

從上文的分析之中，可以了解到x=e-5t即是屬于特征方程λ2+20λ+75=0 的實根，于是可以得到x=e-5t為λ2+20λ+75=0 當中的一個根，之后通過運用常數(shù)變易法設置x*=c（t）e-5t，在這一過程中也可以得到λ2+20λ+75=0 其中一個解為x*，將數(shù)值代入λ2+20λ+75=0 當中并且對其進行簡化可以得到：

方程（20）屬于c（t）的一階線性微分方程，該方程當中一個特解為：c（t）=。

根據(jù)方程（20）可以得出的一個特解為（取c1=c2=0）：。

于是可得方程（20）的通解為：x（t）=Ae-5t+Be-15t+。

由上文的結論可知：

將2.1 中相關數(shù)據(jù)代入方程（21）中可以得到：

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進行該類求解的過程中要使用常數(shù)變易法，首先就是要求出公式，而在前文的探索當中已經(jīng)可以得到公式的特征方程為μ2+20μ+400=0。于是可以進一步的假設該特征方程的根為μ=-10±，那么即為公式的一個解。運用常數(shù)變易法可設為：x（*t）=c（t）e-10tsin。

這里套用2.1 中的解法，將x*（t）代入方程（22）并進行化簡得：

由于x*是特解，所以積分常量可以為零。

3 結語

用特征方程法和常數(shù)變易法求解了彈簧振子的運動方程，以此來比較這兩種方法的相同點與不同點。并且通過這個方程的解答，體現(xiàn)出了二階常微分方程與生活息息相關的特性。由于篇幅及本人專業(yè)知識的限制，無法進行更深層次的探究，例如，求解二階常微分方程還有一種冪級數(shù)解法，但是它的解題過程非常煩瑣，對計算的要求很高，計算量比較大，還要考慮該函數(shù)是否解析以及冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等問題，所以在此不做討論。二階常微分方程研究的道路遠不止此，在這個時代，二階常微分方程被廣泛應用于網(wǎng)絡、軍事、醫(yī)學等各種高科技領域，對二階常微分方程進行研究，有利于推進目前社會的發(fā)展。