張明亮, 段佳琪 , 楊新夢(mèng) , 劉鵬飛 , 張連朋

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學(xué) 河北省工程機(jī)械動(dòng)力與傳動(dòng)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 石家莊 050043;3.西南交通大學(xué) 軌道交通運(yùn)載系統(tǒng)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610031)

0 引言

磁懸浮制式通常分為永磁磁懸浮制式、常導(dǎo)磁懸浮制式和超導(dǎo)磁懸浮制式。永磁磁懸浮制式導(dǎo)向不穩(wěn)定,常導(dǎo)磁懸浮制式不能精細(xì)反饋控制,而超導(dǎo)磁懸浮制式具有被動(dòng)穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。超導(dǎo)磁懸浮制式一般又分為低溫超導(dǎo)電動(dòng)磁懸浮制式和高溫超導(dǎo)釘扎磁懸浮制式。與低溫超導(dǎo)電動(dòng)磁懸浮制式相比,高溫超導(dǎo)釘扎磁懸浮制式利用高溫超導(dǎo)體的磁通釘扎作用,在產(chǎn)生懸浮力的同時(shí),又能實(shí)現(xiàn)橫向穩(wěn)定的導(dǎo)向力,且具有超導(dǎo)態(tài)低成本實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),成為一種新型的、懸浮導(dǎo)向一體化的軌道交通工具[1]。研究結(jié)果表明,其懸浮系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)[2],且磁軌耦合易發(fā)生共振,影響列車的安全性和舒適性[3]。因此,近年來,對(duì)高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮列車非線性振動(dòng)行為的研究成為該領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[4]。

LEI et al[5]對(duì)垂直振動(dòng)下的高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮列車如何長期保持懸浮穩(wěn)定進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)采用預(yù)緊力法并選取合適的預(yù)緊高度可以有效改善懸浮力的衰減。同時(shí)LI et al[6]發(fā)現(xiàn),增加二系懸掛系統(tǒng)也能提高減振性能。為了增強(qiáng)高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮系統(tǒng)的阻尼特性, ZHANG et al[7]引入了渦流阻尼器。MOON[8]從研究系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)角度出發(fā),利用實(shí)驗(yàn)以及數(shù)值仿真證明了高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮系統(tǒng)在某些外部激勵(lì)下就會(huì)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。ZHUO et al[9]通過研究改進(jìn)的懸浮力數(shù)學(xué)模型,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)通過倍周期分岔和陣發(fā)性2條路徑可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。盡管上述研究可以分析高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮系統(tǒng)的部分非線性振動(dòng)行為,但針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和運(yùn)行參數(shù)對(duì)混沌的綜合影響研究相對(duì)較少。

現(xiàn)基于Melnikov方法為高溫超導(dǎo)釘扎懸浮列車改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)通往混沌運(yùn)動(dòng)的研究提供了一種新的思路:利用等效處理方法得到改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的懸浮力數(shù)據(jù),建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,使用Melnikov方法推導(dǎo)得出系統(tǒng)的混沌閾值,分析系統(tǒng)參數(shù)與運(yùn)行參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響,給出系統(tǒng)避免發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的可行域。

1 改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的提出

高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮列車通常采用上方高溫超導(dǎo)體和下方永磁軌道的布置方式,這種傳統(tǒng)的上下單層布置方式在列車運(yùn)行時(shí)存在著一定的脫軌風(fēng)險(xiǎn)。為了提升列車運(yùn)行的安全性和增大懸浮特性,將傳統(tǒng)的高溫超導(dǎo)體與永磁軌道單層面面相對(duì)式的懸浮架系統(tǒng)改為雙層抱軌式。包含改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的高溫超導(dǎo)磁通釘扎磁懸浮列車主要組成部分如圖1所示,高溫超導(dǎo)塊組合與永磁軌道之間存在著上下2個(gè)懸浮間隙,其值各自可變但和為定值,在后續(xù)的研究中,懸浮間隙是指上懸浮間隙。

圖1 包含改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的高溫超導(dǎo)磁通釘扎磁懸浮列車主要組成示意圖

2 懸浮力理論分析及討論

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)試原理

利用實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)試高溫超導(dǎo)塊組合與永磁軌道之間的懸浮力數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物如圖2所示,其測(cè)試原理如圖3所示。

圖2 懸浮力實(shí)驗(yàn)裝置

圖3 懸浮力實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)試原理示意圖

實(shí)驗(yàn)測(cè)試的基本步驟:利用電機(jī)旋轉(zhuǎn)絲桿螺母機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的直線運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)低溫容器上下運(yùn)動(dòng)(見虛線雙向箭頭),使高溫超導(dǎo)塊組合接近永磁軌道,保持兩者之間的距離不變(設(shè)定場(chǎng)冷高度);將液氮倒入低溫容器中,使高溫超導(dǎo)塊組合在永磁軌道的磁場(chǎng)下冷卻進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)(即場(chǎng)冷);高溫超導(dǎo)塊組合在直線電機(jī)的帶動(dòng)下上下移動(dòng),位移傳感器測(cè)量上下移動(dòng)的懸浮間隙,壓力傳感器測(cè)量得到懸浮力。

2.2 等效處理方法提出和驗(yàn)證

圖4 懸浮力和懸浮間隙的關(guān)系

針對(duì)高溫超導(dǎo)塊組合處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)(浸泡在液氮中)的混合特性,基于凍結(jié)鏡像模型[10]提出了等效處理高溫超導(dǎo)體的方法:基于凍結(jié)鏡像將高溫超導(dǎo)塊組合等效處理成磁化的磁體,模擬捕獲磁場(chǎng)的特性;基于移動(dòng)鏡像將其等效處理成具有較小的相對(duì)導(dǎo)磁率模擬抗磁性,進(jìn)行矢量求和得到高溫超導(dǎo)塊組合與永磁軌道之間宏觀的懸浮力,該懸浮力類似于非線性特征的彈簧?；诘刃幚矸椒ǖ玫皆趫?chǎng)冷高度為0.022 m時(shí),不同懸浮間隙下的懸浮力理論數(shù)據(jù),將其與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì),如圖4所示。

由圖4可觀察到無論是實(shí)驗(yàn)測(cè)量還是理論計(jì)算的懸浮力,均隨著懸浮間隙的增大先快速上升至最大值后緩慢下降,最終趨向于0,且在場(chǎng)冷高度處懸浮力為0,表明該位置為不受重力影響下的平衡點(diǎn)zeq,且理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好,驗(yàn)證了等效處理方法的正確性。

3 改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

圖5 改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的垂向力學(xué)模型

文獻(xiàn)[11]研究表明高溫超導(dǎo)塊組合和永磁軌道之間存在著阻尼。當(dāng)懸浮架本體振動(dòng)時(shí),高溫超導(dǎo)塊下方導(dǎo)電材料(如銅)產(chǎn)生渦流阻尼力,阻尼力大小和系數(shù)可通過銅的結(jié)構(gòu)和尺寸改變。為分析軌道不平順對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響,考慮懸浮力、重力和阻尼力建立改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的垂向力學(xué)模型如圖5所示。

基于達(dá)朗貝爾原理,得到改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的垂向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

(1)

引入z=z1-z0,并令Fsum=F(z,t)-mg。得到變形后的改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)垂向動(dòng)力學(xué)微分方程

(2)

場(chǎng)冷高度設(shè)定為0.022 m。利用坐標(biāo)變換原理將平衡點(diǎn)zeq移至原點(diǎn),平移距離u可表示為u=z-zeq。采用三次多項(xiàng)式函數(shù)擬合Fsum與u的關(guān)系,表達(dá)式形式如下

圖6 改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的懸浮力與懸浮間隙關(guān)系

Fsum=k3u3+k2u2+k1u

(3)

擬合結(jié)果與離散數(shù)據(jù)對(duì)比圖如圖6所示。

由圖6可以觀察到,三次項(xiàng)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式與離散數(shù)據(jù)吻合良好。相比于k1(1.325×105)和k3(2.542×108),k2(-0.141)的值很小,可忽略不計(jì)。基于以上變換,得到改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的垂向動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

軌道不平順通常包括較多頻譜,而在實(shí)際效果中往往1、2個(gè)激勵(lì)占據(jù)主要作用,故假定軌道不平順的激勵(lì)為z0=F1cos(ω1t)+F2cos(ω2t),將z0的表達(dá)式代入式(4),得到雙頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(5)

4 改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的混沌特性分析

4.1 混沌閾值的求解和驗(yàn)證

為了后續(xù)推導(dǎo),引入如下變換

(6)

并將式(5)改寫成向量函數(shù)的形式

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]介紹的Melnikov理論,求解式(7)后將式(6)代入整理,得到發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件為

(8)

為了驗(yàn)證混沌閾值曲面的正確性,選取表1中的參數(shù),得到的混沌閾值曲面如圖7所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)與運(yùn)行參數(shù)基本取值

圖7 混沌閾值曲面驗(yàn)證

在圖7中的混沌曲面上下方各選取一點(diǎn)A、B,代入式(8)進(jìn)行計(jì)算,選擇穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的后10%進(jìn)行分析。計(jì)算每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)處響應(yīng)的時(shí)間歷程圖、相圖、Poincare截面和頻譜圖,如圖8、圖9所示。

圖8 點(diǎn)A處系統(tǒng)的響應(yīng)

圖9 點(diǎn)B處系統(tǒng)的響應(yīng)

點(diǎn)A(10,100,0.000 05)位于曲面下方,理論上系統(tǒng)響應(yīng)為周期或擬周期運(yùn)動(dòng);點(diǎn)B(57,55.2,0.002)位于曲面上方,其響應(yīng)狀態(tài)應(yīng)為混沌運(yùn)動(dòng)或其他。由圖8可以觀察到A點(diǎn)為擬周期運(yùn)動(dòng),圖9點(diǎn)B時(shí)程圖曲線走勢(shì)隨機(jī)但上下有界,相圖規(guī)律但有一定范圍,Poincare截面為有限個(gè)離散點(diǎn)的組合,頻譜圖有多個(gè)連續(xù)頻率成分,故此時(shí)是混沌運(yùn)動(dòng)。由此驗(yàn)證了得到混沌閾值的正確性,故可利用式(8)進(jìn)行下一步研究。

4.2 系統(tǒng)參數(shù)和運(yùn)行參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響

當(dāng)軌道激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),根據(jù)周期性,利用軌道不平順的波長λ以及運(yùn)行速度v表示外部激勵(lì)頻率ω。即ω=2πv/λ,得到改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件表達(dá)式

(9)

取表1中數(shù)據(jù),令v=600 km/h,觀察值見表2,以λ1、λ2為變量,F為混沌閾值,由式(9)得到不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響規(guī)律如圖10所示。圖10中箭頭方向表示隨參數(shù)增大混沌閾值曲面的移動(dòng)方向。

表2 系統(tǒng)參數(shù)變化取值

圖10 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響

圖11 激勵(lì)幅值與運(yùn)行速度的混沌閾值曲線

由圖10可以觀察到,隨著質(zhì)量和非線性剛度的增大,曲面向下移,表明系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的概率增加;而隨著阻尼和線性剛度的增加,系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的概率減小。因此,設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量減小系統(tǒng)質(zhì)量和非線性剛度,增大阻尼和線性剛度。

為了研究動(dòng)態(tài)運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)的混沌閾值,計(jì)算得到最高設(shè)計(jì)運(yùn)行速度為600 km/h時(shí)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)波長:λ1=20.34 m,為了避免主共振,根據(jù)上海磁懸浮軌道數(shù)據(jù),假定λ1=40 m和λ2=45 m,則根據(jù)式(9)得到軌道不平順激勵(lì)幅值和運(yùn)行速度的混沌閾值曲線,如圖11所示。

圖12 混沌閾值隨阻尼變化情況曲線

由圖11觀察到運(yùn)行速度越高對(duì)應(yīng)的安全激勵(lì)幅值就越低,要求軌道越平順,基于圖10(b)及表1可知,系統(tǒng)阻尼的選取略小,因此,其余數(shù)據(jù)不變,分別提取阻尼依次增大時(shí)的混沌閾值,如圖12所示。

從圖12可以得到,混沌閾值隨著阻尼的變化呈線性關(guān)系,擬合關(guān)系式為

F=1.087 5×10-5c

(10)

因此,為了降低建造永磁軌道的難度,當(dāng)要求激勵(lì)幅值不小于1 mm時(shí),根據(jù)式(10),改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的阻尼應(yīng)該不小于92.0 N·s/m。

圖13 關(guān)于λ2混沌閾值曲線

研究的是雙頻激勵(lì)下高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮列車改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的振動(dòng)行為,而雙頻激勵(lì)下除了主共振也會(huì)產(chǎn)生聯(lián)合共振的情況,如主-超諧聯(lián)合共振和主-亞諧聯(lián)合共振。根據(jù)主共振時(shí)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)波長,λ2取值在6.78～60.96 m范圍內(nèi)。通過式(9)分析波長λ2對(duì)混沌閾值F的影響,如圖13所示。

由圖13可以觀察到在Ap點(diǎn)(λ2=13.58 m)處的混沌閾值較低,此時(shí)波長約為主共振波長的0.67倍。因此在設(shè)計(jì)永磁軌道時(shí),若其中一個(gè)外部激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率接近,另一個(gè)外部激勵(lì)頻率取值應(yīng)該避免取固有頻率的0.67倍附近,以降低列車出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的可能。

5 結(jié)論

研究了雙頻率激勵(lì)下高溫超導(dǎo)磁通釘扎懸浮列車改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng),分析了系統(tǒng)參數(shù)和運(yùn)行參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響,主要結(jié)論如下:

(1)混沌閾值隨著質(zhì)量和非線性剛度的增大而減小,隨著阻尼和線性剛度的增大而增大,故為了避免系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng),應(yīng)減小系統(tǒng)的質(zhì)量和非線性剛度,增大系統(tǒng)的阻尼和線性剛度。

(2)在最高運(yùn)行速度600 km/h時(shí),激勵(lì)幅值混沌閾值隨著阻尼的增大近似線性增大,為了降低建造永磁軌道的難度,激勵(lì)幅值不小于1 mm,改進(jìn)型懸浮架系統(tǒng)的阻尼應(yīng)該不小于92.0 N·s/m。

(3)當(dāng)一個(gè)激勵(lì)頻率接近固有頻率時(shí),另一個(gè)激勵(lì)頻率應(yīng)避免取固有頻率的0.67倍。