高貫斌， 謝 佩， 劉 飛， 那 靖

（昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500）

1 引 言

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機（Articulated Arm Coordinate Measuring Machines,AACMM）是一種采用旋轉(zhuǎn)角度為測量基準的便攜式三坐標測量設(shè)備，與測量軟件結(jié)合可以進行長度、角度、平面度、同軸度、圓度等幾何特征的測量［1］。關(guān)節(jié)臂式坐標測量機具有通用性強、測量范圍大以及方便現(xiàn)場測量等優(yōu)點，在汽車制造、模具設(shè)計、零件檢測、設(shè)備維護等領(lǐng)域得到應用［2］。與傳統(tǒng)三坐標測量機相比，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的精度較低，限制了其在高精度領(lǐng)域的應用。因此，如何進一步提高關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量精度一直是本領(lǐng)域的研究熱點。

引起關(guān)節(jié)臂式坐標測量機誤差的因素可分為靜態(tài)因素和動態(tài)因素。靜態(tài)因素主要是由運動學參數(shù)誤差引起的，可采用運動學標定的方法解決［3-5］。因為工業(yè)機器人與關(guān)節(jié)臂式坐標測量機結(jié)構(gòu)類似，所以二者的運動學標定方法相似且主要集中于建模、測量、參數(shù)辨識和誤差補償方面。

運動學參數(shù)辨識的研究主要集中于引入智能搜索算法、構(gòu)建適當?shù)谋孀R策略以快速準確地求解運動學誤差方程。Cholmin 等［6］提出了一種小生境混沌優(yōu)化算法（Niche Chaotic Optimization Algorithm）并運用到關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學標定中，有效地降低了均方根偏差。Chen等［7］將改進甲蟲算法應用到KR500L340-2 型工業(yè)機器人進行運動學參數(shù)辨識中，在完成參數(shù)誤差補償后KR500L340-2 的位置誤差平均值從2.95 mm 減小到0.20 mm。另外，內(nèi)點法［8］、L-M算法［9］和改進教學-模擬退火算法［10］等也被應用于關(guān)節(jié)式機器人的參數(shù)辨識之中。然而，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學參數(shù)數(shù)量多，構(gòu)成的參數(shù)辨識矩陣維度高，使得智能優(yōu)化算法的求解效率低且易陷入局部最優(yōu)［11］。

運動學建模方面主要致力于使得關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學模型變得完整、非冗余且連續(xù)。Benciolini 等［12］提出了基于四元數(shù)的關(guān)節(jié)臂坐標測量機運動學新模型用以避免D-H 模型平行關(guān)節(jié)不連續(xù)的問題。馮旭剛等［13］將廣義幾何誤差模型運用到關(guān)節(jié)臂式坐標測量機運動學建模當中，克服了D-H 模型不連續(xù)和無法包含靜態(tài)柔性誤差的問題，有效地提升了關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量精度。此外，MCPC 模型［14］、POE 模型［15］和多傳感器坐標測量機參數(shù)模型［16］等也被應用于關(guān)節(jié)式機器人的運動學建模之中。其中POE 只需要兩個參考坐標系（工具坐標系和基礎(chǔ)坐標系）就可表達出機械臂末端執(zhí)行器工具坐標系相對于其基礎(chǔ)坐標系的位姿，但是，POE 仍然無法擺脫參數(shù)冗余和計算量大的問題［17］。

為了求解關(guān)節(jié)臂式坐標測量機或機器人的運動學參數(shù)誤差方程，通常需要準確測量末端位姿信息或進行有效物理約束?？捎糜陉P(guān)節(jié)臂式坐標測量機末端位置測量的儀器主要有激光跟蹤儀、光學動捕系統(tǒng)、相機［18］等。但是，激光跟蹤儀價格高昂且需要特定的夾持裝置對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機進行固定，在實際應用中不現(xiàn)實且操作繁瑣，動捕系統(tǒng)布置周期長且所需空間大，相機的測量精度通常是達不到0.1 mm 從而無法滿足測量精度要求。目前，工業(yè)現(xiàn)場主要采用錐孔約束測頭進行關(guān)節(jié)臂式坐標測量機自標定的方法，無需外部測量儀器，便于在現(xiàn)場應用。但是傳統(tǒng)自標定采用的是單點重復標定方法，單點重復標定只能將角度參數(shù)準確辨識出來，長度參數(shù)存在等比例縮放的問題，需要借助精密測量設(shè)備對部分長度參數(shù)進行測量并在辨識中進行固定。為此提出一種基于單點和空間距離的復合自標定方法完成運動學標定，用以彌補傳統(tǒng)自標定方法的不足。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機受重力、軸系晃動、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)不均勻等動態(tài)因素影響而產(chǎn)生的誤差稱為殘余誤差，殘余誤差無法通過運動學標定消除。目前，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機殘差補償方法可分為兩大類，第一類是研究殘差特性，建立殘差與測量構(gòu)型等變量的關(guān)聯(lián)模型，進行殘差預測和補償；第二類不尋求建立模型，而是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)測頭位置或關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角進行殘差預測和補償。

Hamana 等［19］分析了局部關(guān)節(jié)撓度帶來的誤差，基于測量姿態(tài)進行了殘差補償建模補償。許鈾等［20］分析了多關(guān)節(jié)測量系統(tǒng)關(guān)節(jié)角度與末端執(zhí)行器殘差之間的關(guān)系，并建立了殘差數(shù)據(jù)庫以修正系統(tǒng)誤差。高群等［21］提出一種基于多項式模型的單點測量殘差校正方法，研究了圓柱坐標系中關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度與殘差之間的關(guān)系，建立的多項式誤差補償模型，并補償了關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的殘差。

Zhao 等［22］提出了一種使用LM 算法進行運動學誤差標定，然后使用由思維進化算法優(yōu)化的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行非運動學誤差補償?shù)姆椒?。類似地，工業(yè)機器人的殘差補償方法對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機也存在借鑒意義。Zhao 等［23］使用激光跟蹤儀大規(guī)模測量不同構(gòu)型下末端位姿信息，以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為輸入、實際位姿誤差為輸出，建立了一種基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差補償模型，以KUKA 工業(yè)機器人為實驗對象完成了殘余誤差補償實驗，使得機器人的最大誤差由1.96 mm 減小到0.22 mm。Nguyen 等［24］在運動學標定的基礎(chǔ)上設(shè)計了一個三層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于擬合1到3 關(guān)節(jié)與機器人殘余誤差之間的非線性關(guān)系，完成PUMA560 型工業(yè)機器人非幾何誤差補償模型的建立，補償后機器人的誤差從4.065 4 mm下降到0.336 8 mm。

綜上所述，殘差建模的方法為了構(gòu)建補償模型方便，通常在第5 關(guān)節(jié)坐標系中建立殘差補償模型，需通過變換才能得到基坐標系下的殘差補償值，在轉(zhuǎn)換的過程中難免會引入轉(zhuǎn)換誤差，從而影響補償效果。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“黑箱”式殘差補償方法，需要工作空間采集大量數(shù)據(jù)用于訓練網(wǎng)絡(luò)，才能保證殘差補償泛化性，但是，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機通常具有6 個或者7 個關(guān)節(jié)，這么高的維度下需要的數(shù)據(jù)是海量的，而且測頭的三維空間位置坐標的準確值測量也非常困難。

針對上述問題，本文通過構(gòu)建測量構(gòu)型與殘差的關(guān)系，提出一種在測頭坐標系的基于復合標定和極限學習機的關(guān)節(jié)臂式坐標測量機殘差補償方法，其數(shù)據(jù)量需求少、效率和精度高，本文的主要貢獻和創(chuàng)新點總結(jié)如下：

（1）針對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機標定中長度參數(shù)具有等比例縮放現(xiàn)象，辨識出來的長度參數(shù)不準確的問題，提出一種依次進行角度參數(shù)辨識、長度參數(shù)辨識和長度參數(shù)等比例縮放的復合辨識方法，完成了七自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學標定。

（2）通過對標定后關(guān)節(jié)臂式坐標測量機殘余誤差分布圖譜分析，發(fā)現(xiàn)殘余誤差與測量構(gòu)型參數(shù)之間存在密切關(guān)系，通過基坐標系原點、第四關(guān)節(jié)坐標系原點和第六關(guān)節(jié)坐標系原點構(gòu)建了以測量擺角、仰角、距離和轉(zhuǎn)角為變量的測量構(gòu)型，由于測量構(gòu)型與殘余誤差存在高階非線性關(guān)系，本文采用極限學習機（Extreme Learning Machine， ELM）建立殘余誤差補償模型，對殘余誤差進行補償。

（3）利用本文提出的復合參數(shù)辨識和殘余誤差補償方法對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機進行了標定和補償實驗，結(jié)果證明了本文所提模型及方法可有效提高關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的精度。

2 運動學建模及標定

2.1 運動學正解及運動學誤差建模

本文以某通用型7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機作為測試對象，如圖1 所示，其由基座、2 個連桿、7 個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和測頭組成。

圖1 某通用型7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機Fig.1 7-DoF articulated arm coordinate measuring machine

2.1.1 運動學正解

本文采用D-H 方法對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機進行運動學建模，D-H 法中定義了四個參數(shù)，分別是關(guān)節(jié)長度、桿件長度，桿件扭轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。其中四個參數(shù)的定義如下［25］：

關(guān)節(jié)長度ai-1：沿xi軸上zi-1與zi之間的距離；

桿件長度di：沿zi-1軸上xi-1與xi之間的距離；

桿件扭轉(zhuǎn)角αi-1：從zi-1到zi繞xi軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，繞xi逆時針轉(zhuǎn)向為正；

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi：從xi-1到xi繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，繞zi-1逆時針轉(zhuǎn)向為正。

根據(jù)D-H 法建立得到關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的坐標系統(tǒng)，如圖2 所示。

圖2 關(guān)節(jié)臂式坐標測量機坐標系統(tǒng)Fig.2 Coordinate systems of the AACMM

每個關(guān)節(jié)坐標系有4 個運動學參數(shù)，測頭有3個參數(shù)，則七自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機共有31個運動學參數(shù)。對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的結(jié)構(gòu)進行初始測量可得這些參數(shù)的初始值，如表1所示。

表1 運動學參數(shù)初始測量值Tab.1 Nominal value of kinematic parameter

完成關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學建模后，通過平移和旋轉(zhuǎn)可以得到坐標系｛xi-1，yi-1，zi-1｝到｛xi，yi，zi｝的齊次變換矩陣Ti-1，i：

通過依次右乘相鄰關(guān)節(jié)坐標系變換矩陣，可得到第7 關(guān)節(jié)坐標系在基坐標系下的位姿矩陣：

將T0，7右乘齊次化測頭偏置向量（lx，ly，lz，1）T，可得到測頭在基座坐標系下的齊次坐標（x，y，z，1）：

2.1.2 運動學誤差建模

通?？梢詫㈥P(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測頭固定于一錐孔中，以保持測頭球心位置不變，通過改變各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，獲得一系列的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)通過式（3）計算出的測頭坐標值理論上應該是相同的［26］，但由于運動學參數(shù)存在誤差的原因，實際上計算得到的測頭坐標值并不相同，測頭坐標的重復性誤差反映了運動學參數(shù)的誤差。因此，可以將測頭在某一錐孔點的重復誤差作為目標函數(shù)，通過最優(yōu)化方法對運動學參數(shù)進行辨識。

測頭的單點重復誤差ΔP主要由運動學參數(shù)誤差（Δdi，Δαi-1，Δai-1，Δθi0，Δlx，Δly，Δlz）所決定，其中Δdi為桿件長度誤差、Δai-1為關(guān)節(jié)長度誤差、Δαi-1為桿件扭轉(zhuǎn)角誤差、Δθi0為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差、（Δlx，Δly，Δlz）為測頭偏置誤差。這些偏差通常足夠小，因此可以用微分運動原理建立運動學誤差模型，即：

進一步寫成矩陣形式：

其中，PN表示測頭的名義坐標值，Δk是參數(shù)誤差矢量，，i=1，2，3，…，7，表示單點測量時測頭的平均坐標值，即：

Jk是雅克比矩陣：

2.2 運動學參數(shù)辨識

基于剛體微分法建立的誤差模型是一個線性方程組，若有N組末端測頭坐標值和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，則由式（5）可得：

為求得運動學參數(shù)誤差向量Δk，可將式（8）轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，即：

由于采用單點標定的方法缺少距離信息，僅能夠辨識出運動學參數(shù)中的角度參數(shù)（Δαi-1，Δθi0），而長度參數(shù)（Δdi，Δai-1，Δlx，Δly，Δlz）難以被準確辨識出來。針對上述問題，Cheng 等［27］提出了一種對長度參數(shù)進行等比例放縮的方法對長度參數(shù)進行標定。此方法對長度參數(shù)進行等比例放縮，只會影響長度測量結(jié)果，并不會影響關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的單點精度。如果利用兩個錐孔距離提供的長度信息，則可以辨識長度參數(shù)。若只考慮長度參數(shù)誤差，根據(jù)式（5）可知位置1 處和位置2 處的誤差分別為：

兩個位置的距離誤差為：

令JL=Jk1-Jk2，則有：

為求得長度參數(shù)誤差向量ΔkL，將式（12）轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，即：

上述方法能夠?qū)\動學參數(shù)中的長度參數(shù)進行辨識。完成長度參數(shù)辨識、提升單點測量精度后，再采用等比例放縮法可以進一步提升長度測量精度。因此，本文采用角度參數(shù)辨識、長度參數(shù)辨識和長度參數(shù)放縮三種方法分步進行的策略對運動學參數(shù)進行辨識，流程如圖3 所示。

圖3 復合標定法流程Fig.3 Flow chart of compound calibration method

3 殘余誤差補償建模

運動學標定能消除靜態(tài)因素引起的誤差，然而想要進一步提高關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量精度及穩(wěn)定性則需要進行非運動學標定，消除動態(tài)因素引起的殘差。影響關(guān)節(jié)臂式坐標測量機測量精度的動態(tài)因素主要集中在第2 關(guān)節(jié)到第6關(guān)節(jié)之間［28］，因此，本文著重分析了2 到6 關(guān)節(jié)之間的動態(tài)因素對測量精度的影響。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的連桿和關(guān)節(jié)部分的質(zhì)量并不是均勻分布，且測量構(gòu)型的變動會導致關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的重心發(fā)生變化，所以無法對重心位置進行準確地數(shù)學建模。同樣地，也沒有確定的數(shù)學模型能對回轉(zhuǎn)不均勻和軸系晃動誤差等動態(tài)因素進行嚴格描述。但與這些動態(tài)因素密切相關(guān)的關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量構(gòu)型卻是可以用數(shù)學建模的方法得到。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機受動態(tài)因素的影響的問題可以轉(zhuǎn)化為殘差與其測量構(gòu)型之間的關(guān)系問題。

3.1 測量構(gòu)型與殘差的關(guān)系建模

在使用關(guān)節(jié)臂式坐標測量機進行測量時，一旦第1 關(guān)節(jié)、第2 關(guān)節(jié)和6 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角確定，則第4 關(guān)節(jié)在空間的位置也就確定了下來，即測量構(gòu)型確定了。反之，每次測量，只要基坐標系原點和測頭位置確定，最后只需要確定第4 關(guān)節(jié)的位置就能使得關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量構(gòu)型確定。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量構(gòu)型可以由基坐標原點位置、第4 關(guān)節(jié)坐標系原點位置和測頭位置決定。

對于任意測量任務(wù)來說，只要基坐標系和第六關(guān)節(jié)坐標系位置固定，進行擺臂測量時第4 關(guān)節(jié)在測量空間中構(gòu)成近似于圓形的軌跡（如圖4），本文將其稱之為構(gòu)型圓。

圖4 第4 關(guān)節(jié)在空間中的軌跡Fig.4 Track of the 4th joint in the measurement space

圖4 表明，無論采用哪種測量構(gòu)型進行測量，第4 關(guān)節(jié)一定落在對應的構(gòu)型圓上，只是在構(gòu)型圓上的位置和構(gòu)型圓的半徑有所不同。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量構(gòu)型可由第4 關(guān)節(jié)所在的構(gòu)型圓及其在構(gòu)型圓上的位置決定。

首先分析第4 關(guān)節(jié)在任意構(gòu)型圓上位置有相關(guān)聯(lián)的因素。定義基坐標系原點、第4 關(guān)節(jié)坐標系原點和第6 關(guān)節(jié)坐標系原點組成的平面為D1，令基平面為D0，則如圖5 所示，第4 關(guān)節(jié)在構(gòu)型圓上的位置與D1和D0的夾角ω有關(guān)。

圖5 測量擺角ω 示意圖Fig.5 Diagram of measuring swing angle ω

擺角ω可以由D1與D0對應的法向量之間的夾角表示。D0的法向量V0可表示為V0=［0，0，z］。其中z表示測頭在Z軸方向的坐標值。D1的法向量V1可以表示為：

其中：P4i表示第4 關(guān)節(jié)在基坐標系下的坐標值，是齊次變換矩陣T0，4的第4 列的1～3 行；P6i表示第6 關(guān)節(jié)在基坐標系下的坐標值，是齊次變換矩陣T0，6的第4 列的1～3 行：

完成法向量V0和V1的求取后即可根據(jù)空間向量夾角公式求得擺角ω：

上述擺角ω表示了第4 關(guān)節(jié)在任意構(gòu)型圓上的位置，接下來需要進一步分析第4 關(guān)節(jié)具體位于哪一構(gòu)型圓上。第4 關(guān)節(jié)具體在哪一構(gòu)型圓上的問題實際就是分析構(gòu)型圓的半徑和哪些因素有關(guān)。如圖6 所示，基坐標系到第6 關(guān)節(jié)的連線與基平面之間的夾角和第6 關(guān)節(jié)坐標原點與基坐標原點之間的連線長度決定了第4 關(guān)節(jié)到基座的距離。第4 關(guān)節(jié)到基座的距離一旦固定，那么構(gòu)型圓的半徑也就隨之確定。令第6 關(guān)節(jié)坐標原點到基坐標原點的連線與基平面之間的夾角為仰角vmc，定義第6 關(guān)節(jié)坐標原點與基坐標原點之間的連線長度為長度Lmc，而構(gòu)型半徑的大小可由仰角vmc和長度Lmc所決定。

圖6 構(gòu)型圓位置和半徑示意圖Fig.6 Diagram of the position and radius of the configuration circle

vmc實際是P6i與基平面法向量V0之間的夾角，同樣根據(jù)空間向量夾角公式，得到仰角vmc的表達式：

Lmc實際就是第6 關(guān)節(jié)坐標原點到基坐標系原點的歐氏距離：

雖然測頭部分（第6 關(guān)節(jié)到測頭）和第1 關(guān)節(jié)的動態(tài)因素可以忽略，但是它們轉(zhuǎn)動會對殘差值造成一定的影響。為了得到較為精確的殘差補償模型，下面依次分析第1 關(guān)節(jié)和測頭部分對殘余誤差值的影響。如圖7 所示，當測量構(gòu)型固定時，將測頭與基坐標系原點的連線投影到XY平面中，連線會隨著第1 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動與X軸成不同大小的夾角θr（本文稱之為轉(zhuǎn)角）。轉(zhuǎn)角θr的改變則會使得同一測量構(gòu)型下X和Y方向的殘差值發(fā)生改變，但本質(zhì)上是構(gòu)型圓在空間中的位置發(fā)生了變化，從而使得第4 關(guān)節(jié)的位置發(fā)生改變。因此，在構(gòu)建測量構(gòu)型參數(shù)時應當將θr考慮進去，θr可以用以下公式求得：

圖7 第一關(guān)節(jié)對殘差的影響Fig.7 Effect of first joint on residual value

下面分析測頭部分旋轉(zhuǎn)會對殘差值的影響，如圖8 所示，當關(guān)節(jié)臂式測量機的測量構(gòu)型確定后，測頭部分可以繞第6 關(guān)節(jié)進行旋轉(zhuǎn)形成圓形軌跡，本文稱之為測頭圓。由于測頭部分的動態(tài)因素忽略不計，所以真實的測頭圓和名義上的測頭圓半徑相同，且測頭在測頭圓上的位置相同。

圖8 測頭部分在空間中形成的軌跡Fig.8 Circular track formed by probe in moving space

為了分析測頭部分旋轉(zhuǎn)會對殘差值的影響，下面將測頭圓投影到XZ平面進行分析。如圖9所示當測頭部分繞6 軸旋轉(zhuǎn)時，測頭圓的圓心與測頭的連線與X軸形成夾角θp。θp的大小不同可能會對殘差值產(chǎn)生影響，故需要分析θp與殘差值之間的數(shù)學關(guān)系。為了便于分析，令Lp為測頭圓的半徑、Lrz為兩個測頭圓之間Z方向的圓心距、Lrx為兩個測頭圓之間X方向的圓心距。根據(jù)幾何關(guān)系可以求得X，Z方向上殘差值的表達式為：

圖9 測頭圓對殘差值的影響Fig.9 Impacts of probe circle on residual value

從式（20）可知，Z和X方向上的殘差值實際上只與兩測頭圓之間的圓心距有關(guān)（Y方向同理）、與θp無關(guān)，而圓心距只與測量構(gòu)型有關(guān)。因此可知測頭部分繞第6 關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)不會對殘差值產(chǎn)生影響。

基于上述分析，本文最終以ω，vmc，Lmc和θr四個參數(shù)來描述關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量構(gòu)型。測量構(gòu)型參數(shù)（ω，vmc，Lmc，θr）與關(guān)節(jié)臂式坐標測量機殘余誤差之間的關(guān)系如圖10 所示。

圖10 測量構(gòu)型參數(shù)與殘差Fig.10 Relationship between configuration parameters and residuals

下面通過殘差分布圖譜來分析測量構(gòu)型參數(shù)與殘差之間的關(guān)系。利用錐孔采集多擺角單點數(shù)據(jù)，可以計算得到相應的測量構(gòu)型參數(shù)和殘差，繪制殘差分布圖譜如圖11～圖13 所示?？梢钥闯? 個測量構(gòu)型參數(shù)和殘差之間存在明顯的規(guī)律，其形成了一個二維曲面，但其與現(xiàn)有的可用函數(shù)描述的曲面均不相同，因此，很難通過數(shù)學建模的方法對其進行描述，需要找到一種合適的方式將測量構(gòu)型參數(shù)和殘差的非線性關(guān)系擬合出來，才能通過測量構(gòu)型參數(shù)對殘差值進行預測并補償?shù)綔y頭坐標上，完成殘差補償。

圖11 仰角和擺角與殘差的關(guān)系Fig.11 Relationship of the elevation angle， swing angle and residual

圖12 長度和擺角與殘差的關(guān)系Fig.12 Relationship of the length， swing angle and residual

3.2 基于ELM 的殘差修正模型

3.1 節(jié)的分析表明測量構(gòu)型與殘差（Δx，Δy，Δz）之間存在著非線性映射關(guān)系，所以尋找測量構(gòu)型參數(shù)與殘差組成的非線性關(guān)系是殘差補償?shù)年P(guān)鍵。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建?？梢圆恍枰私鈨?nèi)部具體結(jié)構(gòu)，只需要具體的輸入量和輸出量經(jīng)過一定的訓練，便可準確地擬合出輸入量和輸出量之間的關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本思想是隱藏層對輸入矢量進行變換，將低維的輸入數(shù)據(jù)變換到高維空間內(nèi)，使得在低維空間內(nèi)的線性不可分問題在高維空間內(nèi)線性可分。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用于非線性函數(shù)的擬合。但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的學習速度通常較慢，特別是當訓練數(shù)據(jù)龐大時所消耗的時間成本高昂。極限學習機（Extreme Learning Machine，ELM）對前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其反向傳播算法進行了改進，隱含層節(jié)點的權(quán)重為隨機或人為給定的，且不需要更新，學習過程僅計算輸出權(quán)重，只需要一次迭代即可完成，極大縮短了訓練所需時間，具有較好的自適應性［29］。本文采用ELM 建立殘余誤差補償模型。

將測量構(gòu)型（ω，vmc，Lmc，θr）作為ELM 的輸入?yún)?shù)，殘差（Δx，Δy，Δz）作為輸出量，建立ELM網(wǎng)絡(luò)如圖14 所示。

本文通過計算機編程實現(xiàn)ELM 算法，用于訓練和保存ELM 網(wǎng)絡(luò)，ELM 網(wǎng)絡(luò)的具體計算步驟如下：

步驟1：確定ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）和輸出量（Δx，Δy，Δz），設(shè)置ELM 網(wǎng)絡(luò)隱藏層節(jié)點數(shù)為300。

步驟2：隨機生成ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸入連接權(quán)重W，權(quán)值矩陣W的元素?。?1，1］之間的隨機數(shù)。

步驟3：隨機生成ELM 網(wǎng)絡(luò)的隱藏層偏置矩陣b，偏置矩陣b的元素?。?，1］之間的隨機數(shù)。

步驟4：Sigmoidal 函數(shù)具有平滑易于求導的優(yōu)點，可以將低維特征映射到高維非線性空間中，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的激活函數(shù)，本文確定以Sigmoidal 函數(shù)為激活函數(shù)。

步驟5：將實驗采集計算得到的ELM 網(wǎng)絡(luò)輸出量和輸入量帶入到模型中，可求解ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)重β。

步驟6：將連接權(quán)重W、和偏置矩陣b和輸出權(quán)重β保存下來，即可完成ELM 網(wǎng)絡(luò)訓練。

步驟7：在進行測量工作時將實時計算的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）代入到訓練好的ELM 網(wǎng)絡(luò)中計算輸出量（Δx，Δy，Δz），并將其補償?shù)阶鴺酥导纯赏瓿蓺埐钛a償：

其中（xnew1，ynew1，znew1）表示殘差補償后的測量坐標值。ELM 的訓練流程和補償過程如圖15 所示。

4 實 驗

單點重復精度是關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的重復性的主要衡量指標。為了定義單點重復精度，首先定義以下幾個參數(shù)。

坐標誤差值：

坐標誤差平均值：

坐標誤差標準差σ：

其中：E代表所測數(shù)據(jù)的平均誤差大小，σ代表誤差的波動幅度，可以用E和σ組合來定義關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的單點重復精度（Repeat Precision，RP）：

4.1 運動學標定實驗

根據(jù)上述推導的數(shù)學模型，編寫了關(guān)節(jié)臂式坐標測量機參數(shù)辨識和補償軟件。該軟件基于C++和QT5.12 開發(fā)平臺，具有數(shù)據(jù)采集、運動學標定和殘差補償?shù)墓δ?，圖16 為軟件界面截圖。利用該軟件采集了500 組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，將采集的數(shù)據(jù)導入事先寫好的標定程序中，即可辨識得出標定后的運動學參數(shù)，如表2 所示。

表2 D-H 參數(shù)標定后的值Tab.2 D-H parameter of the AACMM after identification

圖16 標定補償軟件Fig.16 Calibration compensation software

為了驗證運動學參數(shù)標定是否有效，需要采集數(shù)據(jù)進行驗證。在工作臺上采集了300 組數(shù)據(jù)進行驗證，標定前關(guān)節(jié)臂式坐標測量機分量上的誤差分布如圖17 所示；標定后關(guān)節(jié)臂式坐標測分量上的誤差分布如圖18 所示。

圖17 運動學標定前的誤差分布圖Fig.17 Error distribution before calibration

圖18 運動學標定后的誤差分布圖Fig.18 Error distribution after calibration

具體數(shù)據(jù)如表3 所示，單點坐標誤差的最大值、平均值、標準差由標定前的49.386 mm，26.498 mm，12.348 mm 下降到標定后的0.054 mm，0.021 mm，0.009 mm，表明所提復合標定法有效。

表3 復合運動學標定結(jié)果Tab.3 Compound kinematic calibration results （mm）

為了進一步驗證復合標定法在測量空間中的泛化性。在空間隨機采集了20 個點位的數(shù)據(jù)，每個點位采集300 組關(guān)節(jié)角，共計6 000 組數(shù)據(jù)。分別采用單點標定法和復合標定法標定后的模型計算重復誤差，對比結(jié)果如圖19 所示。關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的單點坐標誤差最大值和RP 由單點標定后的0.098 mm，0.084 mm 下降到復合標定后的0.061 mm，0.055 mm，實驗結(jié)果表明復合標定法優(yōu)于單點標定法，具體數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 運動學標定效果對比Tab.4 Comparison of kinematic calibration effects（mm）

圖19 運動學標定效果對比Fig.19 Comparison of kinematic calibration effects

4.2 殘余誤差補償實驗

在800 mm 長度范圍內(nèi)以40 mm 間隔，每個點位采集300 組不同測量構(gòu)型下的關(guān)節(jié)角。完成數(shù)據(jù)采集后，計算相應的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）和輸出量（Δx，Δy，Δz）并導入ELM 模型中進行訓練。當模型訓練好后，將驗證數(shù)據(jù)集計算出的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）代入到訓練好的ELM 模型中計算輸出量，并補償至坐標值中即可完成殘差補償。殘差補償效果如圖20 所示，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的單點殘差最大值和RP 由補償前0.057 mm，0.057 mm 下降到補償后的0.028 mm，0.032 mm，表明本文所提方法是有效的，具體數(shù)據(jù)如表5 所示。

表5 殘差補償結(jié)果Tab.5 Residual compensation results （mm）

圖20 殘差補償結(jié)果Fig.20 Residual compensation results

為了進一步驗證所提方法在測量空間中的泛化性。在空間采集了20 個點位的數(shù)據(jù)，每個點位300 組關(guān)節(jié)角共計6 000 組數(shù)據(jù)。

首先完成了基于ELM 測量構(gòu)型修正模型（MCCM-ELM）和基于BP 測量構(gòu)型修正模型（MCCM-BP）的殘差補償對比實驗。實驗結(jié)果如圖21 所示，MCCM-ELM 補償后，殘差的最大值和RP 由0.061 mm，0.055 mm 下降到0.044 mm，0.035 mm；MCCM-BP 補償后，殘差的最大值和RP 由0.061 mm，0.055 mm 下降到0.051 mm，0.043 mm，具體數(shù)據(jù)如表6 所示。實驗結(jié)果表明，在補償效果上MCCM-ELM 優(yōu)于MCCMBP，并且ELM 訓練時間為0.375 s、BPNN 的訓練時間是17.874 s，所以MCCM-ELM 與MCCM-BP 相比而言具有補償效果更好、訓練效率更高的優(yōu)點。

表6 不同擬合算法的殘差補償效果對比Tab.6 Comparison of residual compensation effects of different fitting algorithms（mm）

圖21 不同擬合算法的殘差補償效果Fig.21 Residual compensation effect of different fitting algorithms

完成不同擬合算法的對比實驗后，進一步完成了MCCM-ELM 和基于ELM 第五關(guān)節(jié)修正模型（FJCM-ELM）的殘差補償對比實驗。

實驗結(jié)果如圖22 所示，F(xiàn)JCM-ELM 在進行泛化性驗證實驗時出現(xiàn)了一些補償無效的點位，故MCCM-ELM 的泛化性優(yōu)于FJCM-ELM，具體數(shù)據(jù)如表7 所示。綜合上面兩個對比實驗可知，MCCM-ELM 具有泛化性更好、訓練效率更高的優(yōu)點。故本文最終選擇MCCM-ELM 作為殘差預測補償?shù)哪Ｐ汀?/p>

表7 不同殘差補償模型的補償效果對比Tab.7 Comparison of compensation effects of different residual compensation models（mm）

圖22 不同殘差補償模型的補償效果Fig.22 Compensation effect of different residual compensation models

由于殘差補償是針對單點進行補償?shù)?，單點精度的提高只能表明重復精度的提高，下面對長度測量精度進行檢驗。使用300 mm 標準量塊作為測量對象，分別使用殘差補償前后的坐標值對其進行120 次測量，其中100 組數(shù)據(jù)用來放縮長度參數(shù)、20 組數(shù)據(jù)作為驗證集，驗證結(jié)果如圖23 所示。具體數(shù)據(jù)如表8 所示，長度測量誤差的最大值、平均值、標準差由補償前的0.137 mm，0.033 mm，0.037 mm 下降到補償后的0.074 mm，0.021 mm，0.019 mm。上述實驗結(jié)果表明本文所提方法不僅可以提高關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的重復精度還可以提高其長度測量精度。

表8 標準量塊測量結(jié)果Tab.8 Measurement results of standard gaug e （mm）

圖23 標準量塊測量結(jié)果Fig.23 Measurement results of standard gauge

5 結(jié) 論

本文以7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機為對象，分析了其測量構(gòu)型對殘余誤差影響的特性。構(gòu)建了以測量擺角、仰角、距離和轉(zhuǎn)角為變量的測量構(gòu)型，在此基礎(chǔ)上提出了基于ELM 的殘差修正模型。單點精度對比測試實驗結(jié)果表明：與只進行運動學標定相比，進行殘差修正后關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的坐標誤差最大值下降27.9%、均值下降39.1%、標準差下降36.4%。同樣地，長度測量實驗結(jié)果表明：進行殘差修正后關(guān)節(jié)臂式坐標測量機長度測量誤差的最大值下降46.0%、均值下降36.4%、標準差下降48.6%。

實驗中所用的7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標測量機結(jié)構(gòu)和坐標變換模型具有通用性，因此所使用方法能便捷、有效地提高類似結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的單點重復精度，對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機精度補償具有一定參考意義。