基于有限時間擾動觀測器的水廠加礬系統(tǒng)二階滑?？刂?/h1>
2023-12-18 09:45:08王冬生孫錦昊郭若寒蔣國平
控制理論與應(yīng)用 2023年11期
王冬生,張 鵬,孫錦昊,郭若寒,蔣國平
(南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院人工智能學(xué)院,江蘇南京 210023)
1 引言
絮凝沉淀過程是水廠水質(zhì)凈化的重要環(huán)節(jié),與出廠水水質(zhì)安全密切相關(guān).絮凝沉淀過程通過向原水中投加礬等絮凝劑去除原水中的懸浮雜質(zhì)、膠體顆粒及附著于膠體顆粒上的細(xì)菌、病毒等有害物質(zhì).依據(jù)美國聯(lián)邦環(huán)保局飲用水病毒去除技術(shù)標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)濾后水濁度低于0.3 NTU時,病毒去除率高達(dá)99%[1].加強對水廠加礬系統(tǒng)的有效控制,嚴(yán)格限制沉淀池出水濁度,有利于出廠水水質(zhì)穩(wěn)定和實現(xiàn)高品質(zhì)飲用水目標(biāo).
專家學(xué)者們對加礬系統(tǒng)控制問題進行了大量的研究和實踐,提出了各種控制算法.流動電流法[2]和透光率脈動法[3]通過流動電流值和透光率檢測跟蹤絮凝沉淀過程狀態(tài),據(jù)此調(diào)整加礬量,但是由于流動電流值和透光率是間接反應(yīng)絮凝沉淀過程的相對值,而且對儀器的靈敏度和維護要求較高,影響了在實際應(yīng)用中的效果.直接將沉淀池出水濁度作為被控變量來控制加礬量是目前加礬系統(tǒng)控制的主流.由于歷史數(shù)據(jù)中包含了控制過程中的所有信息,數(shù)據(jù)驅(qū)動方法[4]可以通過對歷史數(shù)據(jù)的訓(xùn)練獲得控制器參數(shù),數(shù)據(jù)驅(qū)動方法避免了傳統(tǒng)控制方法對過程模型的依賴,但是歷史數(shù)據(jù)信息的獲取往往是不全面的,一定程度限制了數(shù)據(jù)驅(qū)動方法在實際應(yīng)用中的推廣.雖然絮凝沉淀過程難以精確建模,但仍然可以通過采用高級反饋控制和擾動估計等方法,對其過程模型不精確,以及水質(zhì)、水量突變等因素作用下的擾動進行抑制.
滑?？刂?sliding mode control,SMC)是強非線性控制問題中的一種有效方法,具有抗擾動性強、動態(tài)響應(yīng)快、控制實現(xiàn)簡單等優(yōu)勢.目前,已有許多相關(guān)理論和應(yīng)用研究[5–7].文獻(xiàn)[5]針對一類非線性積分系統(tǒng),利用有限時間控制技術(shù),提出了一種輸入飽和情況下的全局有限時間控制方案.文獻(xiàn)[6]提出了一種新穎的二階滑模(second-order sliding model,SOSM)控制方法來處理具有不匹配項的滑模動力學(xué),從而減少控制通道中的項.文獻(xiàn)[7]提出了一種帶有有限時間擾動觀測器(finite-time disturbance observer,FDOB)的連續(xù)動態(tài)滑?？刂破?在實際應(yīng)用中,SOSM控制使滑動變量的選擇更加靈活,而且也更容易消除振顫問題.FDOB能夠?qū)_動和過程不確定性進行估計,并通過前饋補償設(shè)計減少對控制系統(tǒng)的不利影響.將擾動觀測器與反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法是目前控制領(lǐng)域中抑制擾動和補償模型不精確等問題的研究熱點之一[8].
本文提出了一種基于FDOB和SOSM的水廠加礬系統(tǒng)復(fù)合控制方法,針對實際絮凝沉淀過程受原水水質(zhì)和水量突變的影響,以及強非線性、不確定性和參數(shù)時變等問題,采用前饋補償和反饋控制相結(jié)合的設(shè)計方法.仿真結(jié)果證明,在與實際絮凝沉淀過程相符合的模型不匹配和擾動情況下,本文提出的控制方法更好地實現(xiàn)了出水濁度的穩(wěn)定.
2 系統(tǒng)描述與控制器設(shè)計
2.1 問題描述
自來水廠常規(guī)處理工藝流程如圖1所示.其中,絮凝沉淀過程是在沉淀池入口處向原水中投加礬等絮凝劑,從而讓各種雜質(zhì)顆粒物等凝結(jié)成絮凝體,在重力作用下,絮凝體就能夠沉淀在沉淀池底部,達(dá)到去濁澄清的目的.
圖1 自來水廠常規(guī)處理工藝流程Fig.1 Conventional treatment process of waterworks
2.2 控制器設(shè)計
2.2.1 SOSM
針對上述問題,本文采用一種新的控制設(shè)計方法來處理具有不匹配不確定性的SOSM動力學(xué).構(gòu)造控制器包括3個步驟.首先,引入新的滑動變量,將傳統(tǒng)SOSM動力學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂胁黄ヅ洳淮_定項的新型SOSM動力學(xué).其次,通過定義失配不確定性的一些增長條件,以遞歸的方式構(gòu)建一系列虛擬控制器來穩(wěn)定新的滑動變量.最后,結(jié)合有限時間控制技術(shù),設(shè)計一種帶有非光滑項的SOSM控制器.
本文通過將出水濁度與設(shè)定值的偏差作為輸入,設(shè)計二階滑模控制器.其中G(s)為
由上式可得
其中:x∈Rn,代表出水濁度;u∈R,代表控制輸入.現(xiàn)在將滑動變量s(即出水濁度誤差)定義為s=xxref,其中xref表示濁度設(shè)定值.二階滑模動力學(xué)方程為
其中:a(t,x)=-a1-a0x,b(t,x)=b,d(t)=ξω1(t)+ω2(t),此處ω1(t)為模型不匹配不確定項,ω2(t)為模型匹配擾動項,ω1(t)與ω2(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是有界的,因此存在一個正常數(shù)D>0使得|d(t)|≤D.
其中:U=v是一個虛擬控制器,A(t,x)=a(t,x)+ξω1(t)+ω2(t).在實際應(yīng)用中,出水濁度x是有界的,這表示可以找到常數(shù)A0>0,使得|A(t,x)|≤A0.另外也存在正函數(shù)C(x)與正常數(shù)Km,使得|a(t,x)|≤C(x),b(t,x)≥Km.
為簡化表達(dá)式,定義?x」α=sgnx|x|α,?x∈R,?m>0.設(shè)計控制器[9]
2.2.2 FDOB
FDOB是根據(jù)被控變量和控制變量對擾動進行估計的過程,將擾動估計作為前饋可以有效補償擾動對被控過程的影響,從而達(dá)到抑制擾動的目的.給出的FDOB表示如下[10]:
其中:L1,L2和L3為正觀測器增益,需要合理設(shè)計.然后,可以得到如下定理:
定理1[11]如果FDOB構(gòu)造為式(6),則不確定項A(t,x)可以在有限時間內(nèi)通過Z2準(zhǔn)確估計,即可以找到一個時刻Tf>0使得z2≡A(t,x)對于?t>Tf.
2.2.3 FDOB-SOSM復(fù)合控制設(shè)計
在FDOB和SOSM基礎(chǔ)上設(shè)計復(fù)合控制方案,如圖2所示.其中,FDOB采取主動抗擾動的策略對控制系統(tǒng)受到的外部擾動和模型不匹配進行估計進而抑制和消除.相較于只采用反饋控制,FDOB能更加有效地抑制干擾,極大地提高系統(tǒng)的魯棒性.
圖2 復(fù)合控制方案框圖Fig.2 Diagram of composite control scheme
在滑?？刂破髟O(shè)計中,令s1=s,s2=,滑模動力學(xué)可以改寫為=s2,=A(t,x)+U,此刻需要注意的是不確定項A(t,x)通常是不可測量的,在實際應(yīng)用中關(guān)于A(t,x)的精確值是未知的,這表示控制器(5)不會直接運用于系統(tǒng)(4)中,為此,假設(shè)A(t,x)是可微,并且滿足|(t,x)|3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
假設(shè)1存在一個正常數(shù)Km,一個正函數(shù)C(x),使得|a(t,x)|≤C(x),|b(t,x)|>Km和r1=2,r2=r1-τ,r3=r2-τ且τ∈(0,1].
定理2在假設(shè)1下,有一個常數(shù)a≥r1和正函數(shù)β1(s1),β2(s1,s2),建立閉環(huán)系統(tǒng)(4)–(5)的有限時間穩(wěn)定性.
首先給出以下3個引理,然后給出定理2的證明.
引理1[12]如果0引理2[13]如果a>0,b>0和實數(shù)c>0,那么有以下不等式:
引理3對于實數(shù)0證分步驟證明定理2.
步驟1定義函數(shù)
且ρ≥a.然后鑒于假設(shè)1,V1(s1)沿SOSM動力學(xué)(4)的導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo)出為
步驟2定義函數(shù)
其中W2(s1,s2)可以設(shè)計為
V2(s1,s2)沿系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù)由下式給出:
使用引理2,可以從式(15)中計算出
同時,由引理1可以得知
通過式(9)可以得知
因為ξ0=0且使用引理3,還可以得出
通過將不等式(20)和系統(tǒng)(4)合并,使用引理2,可以得到兩個正函數(shù)(s1)和(s1)使得
將不等式(21)代入(17),并使用引理2,可以計算出正增益(s1)使得
結(jié)合系統(tǒng)(4)得出
將不等式(16)(23)代入式(14)得到
根據(jù)不等式(24),可以設(shè)計
將控制器(25)代入式(24),結(jié)合V1(s1),可以驗證出
然而,在實際應(yīng)用中,無法使用FDOB準(zhǔn)確估計系統(tǒng)不確定項,始終存在觀測誤差|(t,x)|=A(t,x)-z2.因此,可以找到一個時刻Tf和一個正常數(shù)ε,使得|(t,x)|≤ε,對于?t≥Tf.最后,結(jié)合SOSM算法和FDOB技術(shù)得到的最后一個結(jié)果由定理3給出.
定理3在假設(shè)1下,有一個常數(shù)a≥r1和正函數(shù)β1(s1),β2(s1,s2)使得下面的SOSM控制律成立:
其中z2是FDOB(6)給出的不確定項A(t,x)的估計,建立閉環(huán)系統(tǒng)(4)–(5)的有限時間穩(wěn)定性.
證根據(jù)U=v和v=b(t,x)u的定義,得到
將控制器(29)放入系統(tǒng)(4)中,可以得到
因為系統(tǒng)(30)與系統(tǒng)(4)結(jié)構(gòu)相似,則系統(tǒng)(30)在控制器Us下將有限時間收斂到原點.由此進一步驗證控制器不會在Tf之前發(fā)散到無窮大.
選擇一個有限時間有限函數(shù)
由于系統(tǒng)(30)中的不確定項A(t,x)總是有界的,因此可以很容易地得到(t,x)=A(t,x)-z2也是有界的.因此,可以找到一個正常數(shù)Υ使得
之后可以得出結(jié)論
這意味著系統(tǒng)(30)的狀態(tài)s1和s2在時間間隔(0,Tf]內(nèi)是有界的.此外,可以得出結(jié)論,系統(tǒng)(30)可以通過復(fù)合控制器(28)在有限域內(nèi)穩(wěn)定到原點.因此,滑動變量s可以在有限時間內(nèi)穩(wěn)定為零.證畢.
4 仿真驗證
加礬系統(tǒng)隨著實際工況的變化而不同,本文采用在線辨識方法對加礬系統(tǒng)進行建模,即
本文在MATLAB環(huán)境下進行控制仿真.模擬在0～60 min期間將出水濁度設(shè)定值保持在2 NTU,在60～120 min期間將出水濁度設(shè)定值保持在1 NTU.選擇超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間(?=0.02 min)和絕對誤差積分(integral absolute error,IAE)作為量化指標(biāo)來評估控制方案,即
其中:yr(t)是參考值,y(t)是實際過程輸出.
為了設(shè)計加礬系統(tǒng)的二階滑?？刂破?首先要選擇一個滑動變量.將滑動變量s(即濁度誤差)定義為
式中:y表示出水濁度,yref表示出水濁度設(shè)定值,得到滑動變量s的動力學(xué)方程
4.1 模型不匹配情況
在加礬系統(tǒng)中,由于天氣惡劣或水源受到污染,原水水質(zhì)有時會發(fā)生突變.這導(dǎo)致沉淀池的原水水質(zhì)超出正常范圍,并且建立的模型過程與實際過程不匹配.為了證實所提出的控制方案的魯棒性,在模型不匹配的情況下,K和T提高20%,從而得到了傳遞函數(shù)
因此,滑動變量s的動力學(xué)方程
為了更好展示FDOB-SOSM復(fù)合控制器的性能,仿真中將工業(yè)系統(tǒng)中廣泛運用的比例–積分–微分(proportional integral derivative,PID)控制器,SOSM控制器,FDOB-PID復(fù)合控制器加入對照實驗中,仿真結(jié)果如圖3和表1所示.由圖3可以看出在0～60 min和60～120 min,本文提出的FDOB-SOSM復(fù)合控制,能夠更好地跟蹤出水濁度設(shè)定值(reference,REF)的變化;由表1可知FDOB-SOSM復(fù)合控制下的系統(tǒng)穩(wěn)定時間最少,絕對誤差積分最小,整體性能要優(yōu)于其他控制器.
表1 模型不匹配情況控制性能指標(biāo)Table 1 Control performance index of model mismatch
圖3 模型不匹配情況仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of model mismatch
4.2 受擾動情況
在加礬系統(tǒng)中,由于原水水質(zhì)和水量變化、以及傳感器信號波動等原因會導(dǎo)致對加礬系統(tǒng)產(chǎn)生一定的擾動.因此考慮受擾動情況,由傳遞函數(shù)(36),得到滑動變量s的動力學(xué)方程
式中d(t)為擾動,仿真中取的是幅度0.05,頻率為0.1的正弦信號.控制器采用式(42).
仿真結(jié)果如圖4和表2所示.由圖4可以看出在0～60 min,只有FDOB-SOSM控制方案很好的跟蹤設(shè)定值.可以看出基于FDOB的擾動估計補償,使FDOBSOSM復(fù)合控制具有更好的抗擾動能力;同時,由表2可知FDOB-SOSM復(fù)合控制下的系統(tǒng)穩(wěn)定時間最少,絕對誤差積分也最小.
表2 受擾動情況控制性能指標(biāo)Table 2 Control performance index under disturbance
圖4 受擾動情況仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results under disturbance
4.3 模型不匹配受擾動情況
為了進一步對比FDOB-SOSM控制方案的性能,在模型不匹配且同時遭受擾動的情況下,由傳遞函數(shù)(40),得到滑動變量s的動力學(xué)方程
式中d(t)為擾動,仿真中取的是幅度0.05,頻率為0.1的正弦信號,控制器采用式(42).
仿真結(jié)果如圖5和表3所示.由圖5可以看出在0～60 min和60～120 min,只有FDOB-SOSM控制方案很好的跟蹤設(shè)定值.可以看出模型不匹配和外部擾動時,基于FDOB的擾動估計補償,使FDOB-SOSM復(fù)合控制具有更好的設(shè)定值跟蹤和抗擾動能力.由表3可知,FDOB-SOSM控制方案具有更好的魯棒性、更快的響應(yīng)和更小的超調(diào).
表3 模型不匹配受擾動情況控制性能指標(biāo)Table 3 Control performance index of model mismatch under disturbance
圖5 模型不匹配受擾動情況仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of model mismatch under disturbance
5 結(jié)論
本文提出了一種水廠加礬系統(tǒng)的FDOB-SOSM復(fù)合控制方案,采用了一種改進的帶有非光滑項的SOSM控制方法實現(xiàn)加礬反饋控制;FDOB用于估計模型不匹配和擾動,并應(yīng)用估計值作為前饋補償削弱模型不匹配和擾動帶來的不利影響.采用李亞普諾夫函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在實際工程中存在的水質(zhì)、水量突變等影響下造成的模型不匹配與擾動分別進行了仿真.仿真結(jié)果證明了控制方法的有效性.
猜你喜歡
一半模型童話王國·奇妙邏輯推理(2024年5期)2024-06-19 16:03:38 Smartflower POP 一體式光伏系統(tǒng)工業(yè)設(shè)計(2022年8期)2022-09-09 07:43:20 WJ-700無人機系統(tǒng)軍民兩用技術(shù)與產(chǎn)品(2021年10期)2021-03-16 06:05:30 ZC系列無人機遙感系統(tǒng)北京測繪(2020年12期)2020-12-29 01:33:58 重要模型『一線三等角』中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2020年10期)2020-11-26 08:24:50 重尾非線性自回歸模型自加權(quán)M-估計的漸近分布數(shù)學(xué)物理學(xué)報(2020年2期)2020-06-02 11:29:24 基于PowerPC+FPGA顯示系統(tǒng)裝備制造技術(shù)(2019年12期)2019-12-25 03:06:46 半沸制皂系統(tǒng)(下)中國洗滌用品工業(yè)(2019年4期)2019-05-11 09:27:34 連通與提升系統(tǒng)的最后一塊拼圖 Audiolab 傲立 M-DAC mini家庭影院技術(shù)(2017年9期)2017-09-26 03:41:45 3D打印中的模型分割與打包光學(xué)精密工程(2016年6期)2016-11-07 09:07:19
王冬生,張 鵬,孫錦昊,郭若寒,蔣國平
(南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院人工智能學(xué)院,江蘇南京 210023)
1 引言
絮凝沉淀過程是水廠水質(zhì)凈化的重要環(huán)節(jié),與出廠水水質(zhì)安全密切相關(guān).絮凝沉淀過程通過向原水中投加礬等絮凝劑去除原水中的懸浮雜質(zhì)、膠體顆粒及附著于膠體顆粒上的細(xì)菌、病毒等有害物質(zhì).依據(jù)美國聯(lián)邦環(huán)保局飲用水病毒去除技術(shù)標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)濾后水濁度低于0.3 NTU時,病毒去除率高達(dá)99%[1].加強對水廠加礬系統(tǒng)的有效控制,嚴(yán)格限制沉淀池出水濁度,有利于出廠水水質(zhì)穩(wěn)定和實現(xiàn)高品質(zhì)飲用水目標(biāo).
專家學(xué)者們對加礬系統(tǒng)控制問題進行了大量的研究和實踐,提出了各種控制算法.流動電流法[2]和透光率脈動法[3]通過流動電流值和透光率檢測跟蹤絮凝沉淀過程狀態(tài),據(jù)此調(diào)整加礬量,但是由于流動電流值和透光率是間接反應(yīng)絮凝沉淀過程的相對值,而且對儀器的靈敏度和維護要求較高,影響了在實際應(yīng)用中的效果.直接將沉淀池出水濁度作為被控變量來控制加礬量是目前加礬系統(tǒng)控制的主流.由于歷史數(shù)據(jù)中包含了控制過程中的所有信息,數(shù)據(jù)驅(qū)動方法[4]可以通過對歷史數(shù)據(jù)的訓(xùn)練獲得控制器參數(shù),數(shù)據(jù)驅(qū)動方法避免了傳統(tǒng)控制方法對過程模型的依賴,但是歷史數(shù)據(jù)信息的獲取往往是不全面的,一定程度限制了數(shù)據(jù)驅(qū)動方法在實際應(yīng)用中的推廣.雖然絮凝沉淀過程難以精確建模,但仍然可以通過采用高級反饋控制和擾動估計等方法,對其過程模型不精確,以及水質(zhì)、水量突變等因素作用下的擾動進行抑制.
滑?？刂?sliding mode control,SMC)是強非線性控制問題中的一種有效方法,具有抗擾動性強、動態(tài)響應(yīng)快、控制實現(xiàn)簡單等優(yōu)勢.目前,已有許多相關(guān)理論和應(yīng)用研究[5–7].文獻(xiàn)[5]針對一類非線性積分系統(tǒng),利用有限時間控制技術(shù),提出了一種輸入飽和情況下的全局有限時間控制方案.文獻(xiàn)[6]提出了一種新穎的二階滑模(second-order sliding model,SOSM)控制方法來處理具有不匹配項的滑模動力學(xué),從而減少控制通道中的項.文獻(xiàn)[7]提出了一種帶有有限時間擾動觀測器(finite-time disturbance observer,FDOB)的連續(xù)動態(tài)滑?？刂破?在實際應(yīng)用中,SOSM控制使滑動變量的選擇更加靈活,而且也更容易消除振顫問題.FDOB能夠?qū)_動和過程不確定性進行估計,并通過前饋補償設(shè)計減少對控制系統(tǒng)的不利影響.將擾動觀測器與反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法是目前控制領(lǐng)域中抑制擾動和補償模型不精確等問題的研究熱點之一[8].
本文提出了一種基于FDOB和SOSM的水廠加礬系統(tǒng)復(fù)合控制方法,針對實際絮凝沉淀過程受原水水質(zhì)和水量突變的影響,以及強非線性、不確定性和參數(shù)時變等問題,采用前饋補償和反饋控制相結(jié)合的設(shè)計方法.仿真結(jié)果證明,在與實際絮凝沉淀過程相符合的模型不匹配和擾動情況下,本文提出的控制方法更好地實現(xiàn)了出水濁度的穩(wěn)定.
2 系統(tǒng)描述與控制器設(shè)計
2.1 問題描述
自來水廠常規(guī)處理工藝流程如圖1所示.其中,絮凝沉淀過程是在沉淀池入口處向原水中投加礬等絮凝劑,從而讓各種雜質(zhì)顆粒物等凝結(jié)成絮凝體,在重力作用下,絮凝體就能夠沉淀在沉淀池底部,達(dá)到去濁澄清的目的.
圖1 自來水廠常規(guī)處理工藝流程Fig.1 Conventional treatment process of waterworks
2.2 控制器設(shè)計
2.2.1 SOSM
針對上述問題,本文采用一種新的控制設(shè)計方法來處理具有不匹配不確定性的SOSM動力學(xué).構(gòu)造控制器包括3個步驟.首先,引入新的滑動變量,將傳統(tǒng)SOSM動力學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂胁黄ヅ洳淮_定項的新型SOSM動力學(xué).其次,通過定義失配不確定性的一些增長條件,以遞歸的方式構(gòu)建一系列虛擬控制器來穩(wěn)定新的滑動變量.最后,結(jié)合有限時間控制技術(shù),設(shè)計一種帶有非光滑項的SOSM控制器.
本文通過將出水濁度與設(shè)定值的偏差作為輸入,設(shè)計二階滑模控制器.其中G(s)為
由上式可得
其中:x∈Rn,代表出水濁度;u∈R,代表控制輸入.現(xiàn)在將滑動變量s(即出水濁度誤差)定義為s=xxref,其中xref表示濁度設(shè)定值.二階滑模動力學(xué)方程為
其中:a(t,x)=-a1-a0x,b(t,x)=b,d(t)=ξω1(t)+ω2(t),此處ω1(t)為模型不匹配不確定項,ω2(t)為模型匹配擾動項,ω1(t)與ω2(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是有界的,因此存在一個正常數(shù)D>0使得|d(t)|≤D.
其中:U=v是一個虛擬控制器,A(t,x)=a(t,x)+ξω1(t)+ω2(t).在實際應(yīng)用中,出水濁度x是有界的,這表示可以找到常數(shù)A0>0,使得|A(t,x)|≤A0.另外也存在正函數(shù)C(x)與正常數(shù)Km,使得|a(t,x)|≤C(x),b(t,x)≥Km.
為簡化表達(dá)式,定義?x」α=sgnx|x|α,?x∈R,?m>0.設(shè)計控制器[9]
2.2.2 FDOB
FDOB是根據(jù)被控變量和控制變量對擾動進行估計的過程,將擾動估計作為前饋可以有效補償擾動對被控過程的影響,從而達(dá)到抑制擾動的目的.給出的FDOB表示如下[10]:
其中:L1,L2和L3為正觀測器增益,需要合理設(shè)計.然后,可以得到如下定理:
定理1[11]如果FDOB構(gòu)造為式(6),則不確定項A(t,x)可以在有限時間內(nèi)通過Z2準(zhǔn)確估計,即可以找到一個時刻Tf>0使得z2≡A(t,x)對于?t>Tf.
2.2.3 FDOB-SOSM復(fù)合控制設(shè)計
在FDOB和SOSM基礎(chǔ)上設(shè)計復(fù)合控制方案,如圖2所示.其中,FDOB采取主動抗擾動的策略對控制系統(tǒng)受到的外部擾動和模型不匹配進行估計進而抑制和消除.相較于只采用反饋控制,FDOB能更加有效地抑制干擾,極大地提高系統(tǒng)的魯棒性.
圖2 復(fù)合控制方案框圖Fig.2 Diagram of composite control scheme
在滑?？刂破髟O(shè)計中,令s1=s,s2=,滑模動力學(xué)可以改寫為=s2,=A(t,x)+U,此刻需要注意的是不確定項A(t,x)通常是不可測量的,在實際應(yīng)用中關(guān)于A(t,x)的精確值是未知的,這表示控制器(5)不會直接運用于系統(tǒng)(4)中,為此,假設(shè)A(t,x)是可微,并且滿足|(t,x)| 假設(shè)1存在一個正常數(shù)Km,一個正函數(shù)C(x),使得|a(t,x)|≤C(x),|b(t,x)|>Km和r1=2,r2=r1-τ,r3=r2-τ且τ∈(0,1]. 定理2在假設(shè)1下,有一個常數(shù)a≥r1和正函數(shù)β1(s1),β2(s1,s2),建立閉環(huán)系統(tǒng)(4)–(5)的有限時間穩(wěn)定性. 首先給出以下3個引理,然后給出定理2的證明. 引理1[12]如果0 引理2[13]如果a>0,b>0和實數(shù)c>0,那么有以下不等式: 引理3對于實數(shù)0 證分步驟證明定理2. 步驟1定義函數(shù) 且ρ≥a.然后鑒于假設(shè)1,V1(s1)沿SOSM動力學(xué)(4)的導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo)出為 步驟2定義函數(shù) 其中W2(s1,s2)可以設(shè)計為 V2(s1,s2)沿系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù)由下式給出: 使用引理2,可以從式(15)中計算出 同時,由引理1可以得知 通過式(9)可以得知 因為ξ0=0且使用引理3,還可以得出 通過將不等式(20)和系統(tǒng)(4)合并,使用引理2,可以得到兩個正函數(shù)(s1)和(s1)使得 將不等式(21)代入(17),并使用引理2,可以計算出正增益(s1)使得 結(jié)合系統(tǒng)(4)得出 將不等式(16)(23)代入式(14)得到 根據(jù)不等式(24),可以設(shè)計 將控制器(25)代入式(24),結(jié)合V1(s1),可以驗證出 然而,在實際應(yīng)用中,無法使用FDOB準(zhǔn)確估計系統(tǒng)不確定項,始終存在觀測誤差|(t,x)|=A(t,x)-z2.因此,可以找到一個時刻Tf和一個正常數(shù)ε,使得|(t,x)|≤ε,對于?t≥Tf.最后,結(jié)合SOSM算法和FDOB技術(shù)得到的最后一個結(jié)果由定理3給出. 定理3在假設(shè)1下,有一個常數(shù)a≥r1和正函數(shù)β1(s1),β2(s1,s2)使得下面的SOSM控制律成立: 其中z2是FDOB(6)給出的不確定項A(t,x)的估計,建立閉環(huán)系統(tǒng)(4)–(5)的有限時間穩(wěn)定性. 證根據(jù)U=v和v=b(t,x)u的定義,得到 將控制器(29)放入系統(tǒng)(4)中,可以得到 因為系統(tǒng)(30)與系統(tǒng)(4)結(jié)構(gòu)相似,則系統(tǒng)(30)在控制器Us下將有限時間收斂到原點.由此進一步驗證控制器不會在Tf之前發(fā)散到無窮大. 選擇一個有限時間有限函數(shù) 由于系統(tǒng)(30)中的不確定項A(t,x)總是有界的,因此可以很容易地得到(t,x)=A(t,x)-z2也是有界的.因此,可以找到一個正常數(shù)Υ使得 之后可以得出結(jié)論 這意味著系統(tǒng)(30)的狀態(tài)s1和s2在時間間隔(0,Tf]內(nèi)是有界的.此外,可以得出結(jié)論,系統(tǒng)(30)可以通過復(fù)合控制器(28)在有限域內(nèi)穩(wěn)定到原點.因此,滑動變量s可以在有限時間內(nèi)穩(wěn)定為零.證畢. 加礬系統(tǒng)隨著實際工況的變化而不同,本文采用在線辨識方法對加礬系統(tǒng)進行建模,即 本文在MATLAB環(huán)境下進行控制仿真.模擬在0～60 min期間將出水濁度設(shè)定值保持在2 NTU,在60～120 min期間將出水濁度設(shè)定值保持在1 NTU.選擇超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間(?=0.02 min)和絕對誤差積分(integral absolute error,IAE)作為量化指標(biāo)來評估控制方案,即 其中:yr(t)是參考值,y(t)是實際過程輸出. 為了設(shè)計加礬系統(tǒng)的二階滑?？刂破?首先要選擇一個滑動變量.將滑動變量s(即濁度誤差)定義為 式中:y表示出水濁度,yref表示出水濁度設(shè)定值,得到滑動變量s的動力學(xué)方程 在加礬系統(tǒng)中,由于天氣惡劣或水源受到污染,原水水質(zhì)有時會發(fā)生突變.這導(dǎo)致沉淀池的原水水質(zhì)超出正常范圍,并且建立的模型過程與實際過程不匹配.為了證實所提出的控制方案的魯棒性,在模型不匹配的情況下,K和T提高20%,從而得到了傳遞函數(shù) 因此,滑動變量s的動力學(xué)方程 為了更好展示FDOB-SOSM復(fù)合控制器的性能,仿真中將工業(yè)系統(tǒng)中廣泛運用的比例–積分–微分(proportional integral derivative,PID)控制器,SOSM控制器,FDOB-PID復(fù)合控制器加入對照實驗中,仿真結(jié)果如圖3和表1所示.由圖3可以看出在0～60 min和60～120 min,本文提出的FDOB-SOSM復(fù)合控制,能夠更好地跟蹤出水濁度設(shè)定值(reference,REF)的變化;由表1可知FDOB-SOSM復(fù)合控制下的系統(tǒng)穩(wěn)定時間最少,絕對誤差積分最小,整體性能要優(yōu)于其他控制器. 表1 模型不匹配情況控制性能指標(biāo)Table 1 Control performance index of model mismatch 圖3 模型不匹配情況仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of model mismatch 在加礬系統(tǒng)中,由于原水水質(zhì)和水量變化、以及傳感器信號波動等原因會導(dǎo)致對加礬系統(tǒng)產(chǎn)生一定的擾動.因此考慮受擾動情況,由傳遞函數(shù)(36),得到滑動變量s的動力學(xué)方程 式中d(t)為擾動,仿真中取的是幅度0.05,頻率為0.1的正弦信號.控制器采用式(42). 仿真結(jié)果如圖4和表2所示.由圖4可以看出在0～60 min,只有FDOB-SOSM控制方案很好的跟蹤設(shè)定值.可以看出基于FDOB的擾動估計補償,使FDOBSOSM復(fù)合控制具有更好的抗擾動能力;同時,由表2可知FDOB-SOSM復(fù)合控制下的系統(tǒng)穩(wěn)定時間最少,絕對誤差積分也最小. 表2 受擾動情況控制性能指標(biāo)Table 2 Control performance index under disturbance 圖4 受擾動情況仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results under disturbance 為了進一步對比FDOB-SOSM控制方案的性能,在模型不匹配且同時遭受擾動的情況下,由傳遞函數(shù)(40),得到滑動變量s的動力學(xué)方程 式中d(t)為擾動,仿真中取的是幅度0.05,頻率為0.1的正弦信號,控制器采用式(42). 仿真結(jié)果如圖5和表3所示.由圖5可以看出在0～60 min和60～120 min,只有FDOB-SOSM控制方案很好的跟蹤設(shè)定值.可以看出模型不匹配和外部擾動時,基于FDOB的擾動估計補償,使FDOB-SOSM復(fù)合控制具有更好的設(shè)定值跟蹤和抗擾動能力.由表3可知,FDOB-SOSM控制方案具有更好的魯棒性、更快的響應(yīng)和更小的超調(diào). 表3 模型不匹配受擾動情況控制性能指標(biāo)Table 3 Control performance index of model mismatch under disturbance 圖5 模型不匹配受擾動情況仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of model mismatch under disturbance 本文提出了一種水廠加礬系統(tǒng)的FDOB-SOSM復(fù)合控制方案,采用了一種改進的帶有非光滑項的SOSM控制方法實現(xiàn)加礬反饋控制;FDOB用于估計模型不匹配和擾動,并應(yīng)用估計值作為前饋補償削弱模型不匹配和擾動帶來的不利影響.采用李亞普諾夫函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在實際工程中存在的水質(zhì)、水量突變等影響下造成的模型不匹配與擾動分別進行了仿真.仿真結(jié)果證明了控制方法的有效性.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
4 仿真驗證
4.1 模型不匹配情況
4.2 受擾動情況
4.3 模型不匹配受擾動情況
5 結(jié)論
猜你喜歡
童話王國·奇妙邏輯推理(2024年5期)2024-06-19 16:03:38工業(yè)設(shè)計(2022年8期)2022-09-09 07:43:20軍民兩用技術(shù)與產(chǎn)品(2021年10期)2021-03-16 06:05:30北京測繪(2020年12期)2020-12-29 01:33:58中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2020年10期)2020-11-26 08:24:50數(shù)學(xué)物理學(xué)報(2020年2期)2020-06-02 11:29:24裝備制造技術(shù)(2019年12期)2019-12-25 03:06:46中國洗滌用品工業(yè)(2019年4期)2019-05-11 09:27:34家庭影院技術(shù)(2017年9期)2017-09-26 03:41:45光學(xué)精密工程(2016年6期)2016-11-07 09:07:19
