基于過零檢測(cè)的Buck變換器自適應(yīng)連續(xù)滑?？刂?/h1>
2023-12-18 09:44:56王艷敏張偉琦張涵清
控制理論與應(yīng)用 2023年11期
王艷敏 ,張偉琦?,龍 云 ,張涵清 ,馮 勇
(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)
1 引言
Buck變換器是一類典型的包含開關(guān)特性的非線性系統(tǒng)[1],大量研究已證明滑?？刂?sliding mode control,SMC)以其卓越的魯棒性和瞬態(tài)響應(yīng)特性可滿足不同電路拓?fù)浼安煌瑘?chǎng)合下的輸出電壓品質(zhì)要求[2–3].然而目前仍以傳統(tǒng)一階SMC應(yīng)用為主,抖振問題嚴(yán)重制約其動(dòng)靜態(tài)控制性能[4].特別地,如何將輸出電壓誤差限制在給定范圍是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究問題.
從數(shù)學(xué)機(jī)理上,抖振問題的產(chǎn)生與SMC控制器中包含的切換非線性sgn(·)有關(guān),表現(xiàn)為系統(tǒng)在滑模面兩側(cè)來回穿越式的高頻信號(hào)振蕩[4–6],會(huì)引起B(yǎng)uck變換器輸出電壓諧波化、高開關(guān)損耗、電磁干擾等諸多問題,嚴(yán)重降低電壓輸出的品質(zhì).目前抖振抑制方法主要分為3 類: 邊界層法[7]、SMC 與智能化方法相結(jié)合[8–9]及高階滑模(high-order sliding mode,HOSM)[10].邊界層法的原理是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡限制在預(yù)先設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)的某一鄰域內(nèi),切換控制sgn(·)被替代為飽和函數(shù)[11]或被近似為某些函數(shù)[12],以實(shí)現(xiàn)控制的連續(xù)性,但邊界層的存在卻會(huì)在一定程度上降低系統(tǒng)的控制精度和魯棒性.SMC與模糊控制[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]等智能化方法相結(jié)合的做法,其原理是自適應(yīng)地調(diào)整控制器增益來柔化切換控制sgn(·)的作用,但控制性能卻嚴(yán)重依賴于人為設(shè)定的智能化判斷規(guī)則.特別地,HOSM 是近年新興的一種連續(xù)SMC 方法[13],常見算法包括Twisting算法[14]、Super-twisting算法[15]、次優(yōu)算法[16]等,被視為本質(zhì)解決抖振問題的一種有效方法,其控制思想是基于相對(duì)階概念[13],通過將切換控制sgn(·)直接加到滑模變量高階導(dǎo)數(shù),使得實(shí)際控制量經(jīng)過積分或低通濾波而連續(xù)化.然而,常規(guī)HOSM算法的控制增益通常設(shè)定為固定值,其取值多取決于初始階段的暫態(tài)性能或需要克服的擾動(dòng),但隨著系統(tǒng)軌跡趨向平衡點(diǎn),固定的控制增益卻成為破壞系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的關(guān)鍵,過大值會(huì)帶來大的穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)時(shí)間[17–18].
為克服固定控制增益造成系統(tǒng)較大穩(wěn)態(tài)誤差的問題,變控制增益SMC控制方法應(yīng)運(yùn)而生[19].目前自適應(yīng)機(jī)制主要有基于穩(wěn)定性和基于切換時(shí)間原理的兩類.對(duì)于前者,其控制增益多僅以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性為前提,較少考慮諸如穩(wěn)態(tài)誤差等某種特定控制性能指標(biāo).例如Wang等人[20]提出一種基于觀測(cè)器的二階SMC方法,在保證系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性的前提下,利用觀測(cè)器實(shí)時(shí)輸出變化的控制增益;Shtessel等人[21]以系統(tǒng)狀態(tài)和控制增益為變量構(gòu)造一種Lyapunov函數(shù),在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)上提出一種自適應(yīng)Twisting算法,使其控制增益隨系統(tǒng)以螺旋狀收斂到平衡點(diǎn)而不斷改變.對(duì)于第2類基于切換時(shí)間原理的變控制增益SMC方法,其控制思想遵循了SMC固有的切換特性,自適應(yīng)機(jī)制取決于系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.Corradini和Orlando[22]從系統(tǒng)暫態(tài)特性分析入手,將其運(yùn)動(dòng)軌跡用多個(gè)切換模型表征,繼而提出一種多模型切換的變?cè)鲆婵刂品椒?類似地,Magni等人[19]也提出一種基于多模型切換的預(yù)測(cè)控制方法,實(shí)現(xiàn)變控制增益的目的.盡管相比于第1類基于穩(wěn)定性的變?cè)鲆嬖?第2類方法更能直接建立增益變化與穩(wěn)態(tài)誤差等某些性能指標(biāo)的影響關(guān)系,但目前研究成果較少,變?cè)鲆鏅C(jī)制與切換時(shí)刻、系統(tǒng)穩(wěn)定性等關(guān)鍵問題有待深入研究.
基于以上對(duì)SMC抖振問題和變控制增益兩方面的研究分析,本文以Buck變換器為控制對(duì)象,提出一種基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法,可保證其輸出電壓的穩(wěn)態(tài)誤差收斂到給定范圍.本文創(chuàng)新地從滑模面和控制律兩方面改進(jìn)傳統(tǒng)SMC控制方法,基于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡分解后的兩個(gè)階段,直接將期望的穩(wěn)態(tài)誤差和利用低通濾波抑制抖振的思想納入到控制器設(shè)計(jì)中,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下,通過實(shí)時(shí)測(cè)量和控制過零點(diǎn)的個(gè)數(shù),有效解決抖振問題,且提高輸出電壓品質(zhì).通過與傳統(tǒng)一階和二階SMC方法的對(duì)比性理論和仿真研究證明所提方法的正確性和優(yōu)越性.
2 系統(tǒng)描述
圖1為典型的Buck變換器SMC控制系統(tǒng)框圖,其中E為直流輸入電壓源,vc為輸出電壓瞬態(tài)值,VD為限流二極管,Sw為可控開關(guān)管,常以MOSFET和IGBT應(yīng)用居多,但區(qū)別地是,可控開關(guān)管Sw的門極驅(qū)動(dòng)信號(hào)用u表示,即u只能取0和1兩個(gè)值,而SMC控制信號(hào)為占空比d,通過輔助脈寬調(diào)制(pulse width modulation,PWM)電路控制Sw的通斷;L,C,R分別為濾波電感、電容和負(fù)載電阻,iL和iC分別為流過電感和電容的電流.
圖1 Buck變換器SMC控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of Buck control system with SMC
針對(duì)Buck變換器,假設(shè)工作在連續(xù)電流模式(continuous conduction mode,CCM).基于基爾霍夫電路定律,其平均狀態(tài)模型為[1]
定義vref為輸出電壓vc的給定值,系統(tǒng)狀態(tài)x1=vcvref,x2==,則式(1)可變換為
針對(duì)SMC控制器,目前多以一階[23]和二階控制方法應(yīng)用為主,控制器設(shè)計(jì)均包括滑模面和控制律兩部分,其中滑模面多采用
其中: 設(shè)計(jì)參數(shù)c1>0;x1和x2可通過測(cè)量電壓及利用霍爾傳感器測(cè)量電流直接獲得,由圖1可知,x2=iC/C,簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn).一旦Buck變換器控制系統(tǒng)收斂到滑模面s=0,系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能取決于=-c1x1,即輸出電壓偏差x1(t)=x1(0)e-c1t以指數(shù)形式漸近收斂到零,且設(shè)計(jì)參數(shù)c1越大,系統(tǒng)的收斂速度就越快.
在控制律方面,一階SMC和二階SMC控制律的設(shè)計(jì)皆需要滿足滑模到達(dá)條件s<0以保證系統(tǒng)穩(wěn)定性.然而,從HOSM基于相對(duì)階的抖振抑制[10,13]機(jī)理,兩者的區(qū)別在于: 一階SMC將切換控制項(xiàng)sgn(·)直接作用于滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)上,以保證一階滑動(dòng)模態(tài)s=0的存在[23],之后由式(3),則實(shí)現(xiàn)Buck變換器輸出電壓偏差及其導(dǎo)數(shù)x1=x2=0,但卻會(huì)存在抖振問題;而二階SMC,作為最簡(jiǎn)單的HOSM,則將切換控制項(xiàng)sgn(·)作用在滑模變量的二階導(dǎo)數(shù)上,使得實(shí)際控制量對(duì)sgn(·)經(jīng)過一次積分或低通濾波作用而連續(xù)化,且同時(shí)實(shí)現(xiàn)了二階模態(tài)=s=0和系統(tǒng)狀態(tài)x1=x2=0的收斂性.
下面以目前較為常用Twisting算法為例,具體闡述二階SMC算法的抖振抑制機(jī)理,并為本文基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法的提出和后續(xù)的性能對(duì)比奠定基礎(chǔ).
3 傳統(tǒng)固定增益二階SMC控制
針對(duì)式(2)Buck變換器,這里進(jìn)一步考慮到實(shí)際調(diào)壓能力的限制,定義Emax是輸入調(diào)壓范圍的最大值,即有0其中: 控制增益r1>0,r2>0,且r1,r2的選擇與系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān),可詳細(xì)參考文獻(xiàn)[14];由于切換控制項(xiàng)sgn(·)出現(xiàn)在控制律的一階導(dǎo)數(shù)上,使得實(shí)際輸出d經(jīng)過積分作用而連續(xù)化,這是Twisting算法有效解決抖振問題的原因所在.
聯(lián)合式(2)–(3),對(duì)滑模變量s求對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),對(duì)應(yīng)的切換控制項(xiàng)sgn(·)可直接顯現(xiàn)出來,則有
其中:h(x1,x2,d)和μ表示為
其中: 由于直流輸入電壓0定理1針對(duì)式(2)中的Buck變換器,滑模面和控制律分別設(shè)計(jì)如式(3)–(4),如果控制增益r1和r2滿足如下關(guān)系,則可保證系統(tǒng)穩(wěn)定:
證由式(5)–(8),可推出如下關(guān)系式:
根據(jù)HOSM的穩(wěn)定性條件[10,13],如果Twisting算法控制下的Buck變換器系統(tǒng)穩(wěn)定,需要判斷式(10)二階滑模的符號(hào)情況.正如其名,若系統(tǒng)能保持穩(wěn)定,則式(3)滑模變量s將在相平面s-內(nèi)以螺旋形狀收斂到原點(diǎn),如圖2所示.
圖2 基于Twisting算法的Buck變換器收斂軌跡Fig.2 Convergence trajectory of Buck converter with twisting algorithm
圖2中,根據(jù)變量s和在I,II,III和IV4個(gè)象限的不同符號(hào),式(4)控制律具有不同的數(shù)值;{Sij|i=1,2,3,··· ;j=1,2,3,···}表示運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),按照從外往里的方向5,第1圈軌跡半徑最大,且應(yīng)有|Sij|>|Si+1j|,|Sij|>|Sij+1|以保證第i+1圈軌跡半徑總小于第i圈.基于以上Twisting控制系統(tǒng)軌跡的特點(diǎn),下面以S12→S22第1圈順時(shí)針運(yùn)動(dòng)軌跡為例,分左半平面和右半平面兩種情況分析二階滑模的符號(hào)情況,繼而推導(dǎo)出系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.
1)當(dāng)系統(tǒng)處于左半平面,沿著S12→S14運(yùn)動(dòng)時(shí),值從負(fù)值連續(xù)變化到正值,因此>0,但其遞增速率卻不同,這歸因于第III象限內(nèi)控制律=r1+r2,而第IV象限內(nèi)控制律=r1-r2>0.聯(lián)合式(5)–(8),為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性,則需式(10)滿足關(guān)系式(9).
2)當(dāng)系統(tǒng)處于右半平面,沿著S14→S22的運(yùn)動(dòng)與左半軸S12→S14的運(yùn)動(dòng)類似,但因?yàn)槭?4)控制律在I和III象限,II和IV象限互為對(duì)稱,數(shù)值卻互為相反數(shù),因此值從正值連續(xù)變化到負(fù)值,即<0,且其遞減速率在第I象限會(huì)大于第IV象限.類似于式(9),保持系統(tǒng)在右半平面穩(wěn)定的關(guān)系式應(yīng)滿足
其與式(9)形式是一樣的.
可見,綜合圖2和系統(tǒng)在左右半平面兩種情況下的穩(wěn)定性分析,當(dāng)控制增益r1和r2滿足式(9)可保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.證畢.
注1傳統(tǒng)二階SMC控制方法多采用固定的控制增益.本文以傳統(tǒng)Twisting算法為例,由式(4)和圖2,可見控制增益r1和r2在系統(tǒng)以螺旋狀收斂到原點(diǎn)的整個(gè)過程保持不變.然而,越靠近原點(diǎn),過大的控制增益會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.
4 改進(jìn)的自適應(yīng)二階SMC控制
為解決傳統(tǒng)二階SMC固定增益的問題,本文以Twisting算法為例,提出一種基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法,從滑模面和控制律兩方面改進(jìn)傳統(tǒng)方法,以提高Buck變換器的控制性能.
4.1 滑模面設(shè)計(jì)
為提高Buck變換器的穩(wěn)態(tài)性能,不同于式(3)的傳統(tǒng)滑模面,這里有目的地引入系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng),即
其中
類似式(5),這里進(jìn)一步求滑模變量s對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),則切換控制項(xiàng)sgn(·)顯現(xiàn)出來,即由式(13)可推得
其中:y21(w,s)和y22(w,μ)可表示為
為后續(xù)闡述方便,由式(16)–(17),定義4個(gè)常量ζ1,ζ2,ζ3,ζ4和函數(shù)Y21,Y22分別為
滿足下面關(guān)系式:
4.2 控制律設(shè)計(jì)
在控制律d的設(shè)計(jì)上,本文基于切換時(shí)間原理[19,22],按照一般控制系統(tǒng)的收斂過程,如圖3所示.
圖3 控制系統(tǒng)的收斂過程Fig.3 Convergence progress of control systems
圖3中,將其運(yùn)動(dòng)軌跡分成兩階段,即第1個(gè)階段是從初始點(diǎn)A到達(dá)首次波峰位置點(diǎn)B,第2個(gè)階段是B點(diǎn)之后,被分割成等時(shí)間間隔T的采樣周期,表示為T1,T2,···,Ti.特別地,這里將期望的穩(wěn)態(tài)誤差?納入到式(4)傳統(tǒng)Twisting控制律的改進(jìn)中,將兩個(gè)階段的控制律d分解為d1和d2兩部分,設(shè)計(jì)過程如下.
1)階段1: 點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng).
在圖3中,假設(shè)初始點(diǎn)A的時(shí)刻為tA,對(duì)應(yīng)的位置為(tA,sA),首次波峰位置點(diǎn)B的時(shí)刻為tB,對(duì)應(yīng)的位置為(tB,sB),且有(tB)=0.對(duì)比式(4),這里將此階段的控制律d1設(shè)計(jì)為
其中:k>0為常數(shù);μmax與μmin分別是式(7)定義的μ的最大與最小值.
定理2針對(duì)式(2)Buck變換器,如果滑模面設(shè)計(jì)如式(13),階段1的控制律設(shè)計(jì)如式(21)–(22),則系統(tǒng)有限時(shí)間達(dá)到B點(diǎn).
證首先證明圖3中B點(diǎn)的存在性,因?yàn)樗鼮槭状尾ǚ逦恢命c(diǎn),滿足(tB)=0.為此,將式(21)代入式(15),并聯(lián)合式(19),則有
進(jìn)一步,可以得到
因?yàn)閟gns≤-k≤0,兩邊同乘|s|,即有s≤-k|s|成立,進(jìn)而說明從任意初始點(diǎn)A,可在有限時(shí)間t0(t0=tB-tA)內(nèi)到達(dá)B點(diǎn).證畢.
2) 階段2: 點(diǎn)B后的收斂運(yùn)動(dòng).
圖3中,當(dāng)t>tB后,系統(tǒng)進(jìn)入第2階段收斂運(yùn)動(dòng),可見,振幅不斷減少,最終以穩(wěn)態(tài)誤差?在s=0處等幅振蕩.創(chuàng)新地,這里將期望的穩(wěn)態(tài)誤差?納入到該階段控制律的設(shè)計(jì)中.對(duì)應(yīng)地,控制律d2可設(shè)計(jì)為
其中控制增益r3>0為固定值,而另一個(gè)變控制增益Uj則在Tj采樣區(qū)間內(nèi)通過檢測(cè)s過零點(diǎn)而自適應(yīng)變化{j=1,2,3,···},即有
其中:Nj為Tj采樣區(qū)間內(nèi)s的過零點(diǎn)個(gè)數(shù),N?為其參考值,N?≥2;Λ1和Λ2是兩個(gè)正數(shù),且有Λ1≤Λ2;U0是B點(diǎn)控制律d2的初始值,對(duì)應(yīng)階段1中B點(diǎn)控制律d1最大值,由式(21)表示為
其中:d1max是d1的最大值;‖w‖?為w上限,即有
其中q=[q1q2],且q1與q2均為正數(shù).
定理3對(duì)于式(2)Buck變換器,如果改進(jìn)的 滑模面設(shè)計(jì)如式(12),階段2的變?cè)鲆婵刂坡稍O(shè)計(jì)如式(25)–(26),則可保證系統(tǒng)收斂于范圍
證當(dāng)Buck變換器控制系統(tǒng)處于階段2時(shí),將式(25)–(26)變?cè)鲆婵刂坡纱胧?15),則有
由圖3,因?yàn)锽點(diǎn)為第1階段首次波峰位置,也是第2階段振蕩幅值最大的點(diǎn).因此,聯(lián)合式(7)(21)–(22)和式(27)–(28),則式(30)可進(jìn)一步變?yōu)?/p>
這里以Tj采樣區(qū)間為例,給出單個(gè)采樣周期T內(nèi)系統(tǒng)過零點(diǎn)的分析情況,如圖4所示.
圖4 單個(gè)采樣周期T內(nèi)的系統(tǒng)過零點(diǎn)情況Fig.4 Zero-crossing points in a sampling time T
假設(shè)i∈[1,Nj],j∈[1,Nj],且i其中t是Tj采樣區(qū)間的任意時(shí)刻,且|t-tij|因?yàn)閨t-ti|對(duì)式(34)兩端同時(shí)求積分,即可推導(dǎo)出式(29)系統(tǒng)的收斂范圍.證畢.
注2在圖3階段2運(yùn)動(dòng)過程中,隨著系統(tǒng)趨向平衡點(diǎn),s的振幅會(huì)變小,在同樣采樣周期內(nèi)的過零點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)增多.由式(28)可知,Nj與N?的大小關(guān)系會(huì)影響下一個(gè)采樣周期Tj+1的控制增益Uj+1,因此給定值N?的選取至關(guān)重要.在實(shí)際系統(tǒng),N?可通過實(shí)驗(yàn)方式測(cè)量,可取N?=max{2Tfj+1},j∈[1,Nj],其中fj=Nj/T是實(shí)驗(yàn)測(cè)得s過零點(diǎn)的頻率.由該式選取得到一個(gè)較大的N?值,可在式(26)中不斷微增控制律增益,以加快系統(tǒng)的收斂速度;而當(dāng)系統(tǒng)完全進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后,此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)過零頻率較高,通過式(26)中的比較會(huì)反向微減控制增益,以避免不必要的過大增益造成的系統(tǒng)抖振問題.
注3聯(lián)合圖3和式(26),本文在研究系統(tǒng)收斂運(yùn)動(dòng)和設(shè)計(jì)控制律時(shí)將系統(tǒng)輸出的期望穩(wěn)態(tài)誤差?考慮在內(nèi).首先由式(29)中的系統(tǒng)收斂范圍,可初步確定?的最大邊界,再通過進(jìn)一步調(diào)整式(26)中系統(tǒng)控制律幅值參數(shù)N?以達(dá)到間接控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的目的.且為了保證式(26)中的收斂范圍,采樣周期T應(yīng)當(dāng)滿足以下條件:
其中:sB是圖3中系統(tǒng)狀態(tài)首次達(dá)到峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值;U0,r3,Uj分別是式(25)–(27)中的控制律增益;q是式(28)中的常數(shù)向量.在實(shí)際應(yīng)用中以具體性能為準(zhǔn),可調(diào)整q中參數(shù)q1與q2來調(diào)節(jié)采樣區(qū)間T的寬度,即T的選擇不唯一,進(jìn)而可配合參考過零點(diǎn)個(gè)數(shù)N?以更準(zhǔn)確地調(diào)整系統(tǒng)輸出精度.
注4本文應(yīng)用的過零檢測(cè)是一種自適應(yīng)控制的設(shè)計(jì)思想,與Buck變換器采取何種模型無必然聯(lián)系,亦可擴(kuò)展到其他非線性模型.
5 數(shù)值仿真
針對(duì)圖1Buck變換器,其電路參數(shù)如表1所示.為驗(yàn)證本文所提基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法在抖振抑制、響應(yīng)速度和控制精度方面的優(yōu)越性,與文獻(xiàn)[23]為代表的一階SMC和傳統(tǒng)Twisting算法為代表的二階SMC方法進(jìn)行性能對(duì)比.為方便說明,分別用1-SMC,2T-SMC和2AT-SMC代表.
表1 Buck變換器的電路參數(shù)Table 1 Circuit parameters of Buck converter
針對(duì)式(2)中所示的Buck變換器,為更加統(tǒng)一地對(duì)控制器進(jìn)行性能對(duì)比,對(duì)文獻(xiàn)[23]中描述的1-SMC和傳統(tǒng)的2T-SMC的滑模面均采用式(3)形式,設(shè)計(jì)參數(shù)c1選取為100,且前者控制律設(shè)計(jì)為u=0.5[sgns-1],因?qū)嶋H系統(tǒng)多采用滯環(huán)調(diào)制[24]以緩解抖振問題,如圖1中所示,本文這里取滯環(huán)寬度為0.01;后者式(4)控制增益r1取240,r2取120;對(duì)于本文提出的2AT-SM C方法,式(12)滑模面參數(shù)c1仍取100,c2取0.001,式(21)階段1的控制增益k取75,式(25)–(26)階段2的設(shè)計(jì)參數(shù)選取為r3=0.541,Λ1=2,Λ2=4,N?=8,T=25μs.此外,本文在仿真時(shí)采用PWM調(diào)制將連續(xù)的控制信號(hào)d轉(zhuǎn)換為Buck變換器的輸入開關(guān)信號(hào)u,載波的周期為10-4s,故變換器的開關(guān)頻率為10 kHz;仿真步長(zhǎng)為10-6s,過零檢測(cè)的周期為25μs.
下面以額定工況和輸入電壓擾動(dòng)兩種情況為例,對(duì)3種方法作用下的Buck變換器控制性能進(jìn)行對(duì)比.
1)額定工況.
額定工況下3種方法的控制性能對(duì)比如圖5和表2所示.
表2 額定工況下的電壓和電流性能對(duì)比Table 2 Comparision of voltage and current in rated working case
圖5 額定工況下的仿真性能對(duì)比Fig.5 Comparative simulations in rated working case
其中圖5(a)為輸出電壓vc和圖5(b)電感電流iL的仿真結(jié)果,可見,3種方法均實(shí)現(xiàn)兩者的收斂控制,輸出電壓vc收斂到給定值Vref=5 V,其中1-SMC的穩(wěn)態(tài)誤差為最大的13.01 mV,其次2T-SMC為6.04 mV,2ATSMC穩(wěn)態(tài)性能最佳,穩(wěn)態(tài)誤差僅為1.03 mV.對(duì)比式(3)和式(12),這歸因于本文所提2AT-SMC方法將系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng)引入到滑模面的設(shè)計(jì)中.同時(shí)2AT-SMC控制下的系統(tǒng)收斂速度也是最快的,僅為0.042 s,聯(lián)合圖5(c)控制律d的對(duì)比,這歸因于所提2AT-SMC 方法的變?cè)鲆婵刂谱饔?進(jìn)一步由圖3、式(21)和定理2,可見系統(tǒng)在階段1的啟始運(yùn)動(dòng)軌跡振蕩最大,這也解釋了此階段2AT-SMC控制律d幅值最大的原因;之后在階段2隨著系統(tǒng)趨向收斂,其幅值卻是3種方法中最小的.特別地,1-SMC的控制律d存在明顯的抖振現(xiàn)象,即使采用了滯環(huán)調(diào)[24]來緩解,仍然沒有2T-SMC和2AT-SMC這樣的二階SMC抖振抑制性能好.進(jìn)一步,在圖5(d)中,選取2,4,8 這3 個(gè)不同過零點(diǎn)給定值N?,其對(duì)應(yīng)的輸出電壓穩(wěn)態(tài)誤差分別為4.02 mV,3.10 mV和1.03 mV.根據(jù)N?=max{2Tfj+1}的選取公式,可知N?越大,過零點(diǎn)檢測(cè)的頻率越快,所提2AT-SMC方法的變?cè)鲆婵刂菩阅茉胶?進(jìn)而也證明了在線過零點(diǎn)自適應(yīng)機(jī)制對(duì)系統(tǒng)性能的影響.
2)擾動(dòng)工況.
這里以輸入電壓E的擾動(dòng)為例,假設(shè)在t=1 s時(shí)由10 V跳變到12 V,后在t=2 s時(shí)又跳回到10 V,仿真對(duì)比如圖6和表3.
表3 擾動(dòng)工況下的電壓和電流性能對(duì)比Table 3 Comparative simulations in disturbing case
圖6 擾動(dòng)工況下的仿真性能對(duì)比Fig.6 Comparative simulations in rated working case
對(duì)比圖5 額定和圖6 擾動(dòng)兩種情況,可見3 種方法對(duì)Buck變換器輸出電壓vc、電感電流iL和控制律d的影響作用是一致的,這歸因于SMC 魯棒控制的優(yōu)越性.具體地,以t=1 s 輸出電壓vc擾動(dòng)為例進(jìn)行分析,可見本文所提2AT-SMC的響應(yīng)速度最快,大約在1.015 s恢復(fù)到平衡狀態(tài),2T-SMC和1-SMC方法的收斂時(shí)間分別為1.038 s和1.042 s,且前者啟始階段出現(xiàn)震蕩,這歸因于傳統(tǒng)二階SMC方法選取固定增益使然,從圖5(c)控制律d的對(duì)比也能說明其振蕩的原因,即在t=1 s 擾動(dòng)發(fā)生時(shí),2T-SMC和2AT-SMC兩種二階SMC的控制律d大小接近,但本文所提2AT-SMC 方法的控制增益能隨收斂過程自適應(yīng)地減小,但傳統(tǒng)固定增益的2T-SMC卻始終維持較大值,進(jìn)而使得輸出電壓vc在快速收斂過程中產(chǎn)生振蕩.而圖5(d)中同樣給出不同過零點(diǎn)給定值N?所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出電壓性能,易見隨著N?的增大,vc的穩(wěn)態(tài)誤差逐漸變小、克服擾動(dòng)后的收斂時(shí)間逐漸縮短,進(jìn)一步證明了N?的選取對(duì)過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制下系統(tǒng)輸出性能的關(guān)鍵作用.
基于以上Buck變換器在額定和擾動(dòng)兩種工況下的性能對(duì)比,均說明本文所提基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的2AT-SMC在抖振抑制、響應(yīng)速度和控制精度方面的優(yōu)越性,提高了變換器的輸出電壓品質(zhì).
6 結(jié)論
本文以傳統(tǒng)Twisting算法為例,引入在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制,通過滑模面和控制律兩方面進(jìn)行算法改進(jìn),提高Buck變換器的輸出電壓品質(zhì).創(chuàng)新地,將系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng)引入到滑模面設(shè)計(jì)中,將期望的穩(wěn)態(tài)誤差納入到滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)中,沿著系統(tǒng)收斂軌跡的兩個(gè)階段,分階段推導(dǎo)出其變?cè)鲆娴倪B續(xù)控制律,并給出相應(yīng)的穩(wěn)定性分析.特別地,過零點(diǎn)的實(shí)時(shí)檢測(cè)在實(shí)際系統(tǒng)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),使得所提方法具有重要的理論和實(shí)用價(jià)值.
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王艷敏 ,張偉琦?,龍 云 ,張涵清 ,馮 勇
(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)
1 引言
Buck變換器是一類典型的包含開關(guān)特性的非線性系統(tǒng)[1],大量研究已證明滑?？刂?sliding mode control,SMC)以其卓越的魯棒性和瞬態(tài)響應(yīng)特性可滿足不同電路拓?fù)浼安煌瑘?chǎng)合下的輸出電壓品質(zhì)要求[2–3].然而目前仍以傳統(tǒng)一階SMC應(yīng)用為主,抖振問題嚴(yán)重制約其動(dòng)靜態(tài)控制性能[4].特別地,如何將輸出電壓誤差限制在給定范圍是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究問題.
從數(shù)學(xué)機(jī)理上,抖振問題的產(chǎn)生與SMC控制器中包含的切換非線性sgn(·)有關(guān),表現(xiàn)為系統(tǒng)在滑模面兩側(cè)來回穿越式的高頻信號(hào)振蕩[4–6],會(huì)引起B(yǎng)uck變換器輸出電壓諧波化、高開關(guān)損耗、電磁干擾等諸多問題,嚴(yán)重降低電壓輸出的品質(zhì).目前抖振抑制方法主要分為3 類: 邊界層法[7]、SMC 與智能化方法相結(jié)合[8–9]及高階滑模(high-order sliding mode,HOSM)[10].邊界層法的原理是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡限制在預(yù)先設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)的某一鄰域內(nèi),切換控制sgn(·)被替代為飽和函數(shù)[11]或被近似為某些函數(shù)[12],以實(shí)現(xiàn)控制的連續(xù)性,但邊界層的存在卻會(huì)在一定程度上降低系統(tǒng)的控制精度和魯棒性.SMC與模糊控制[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]等智能化方法相結(jié)合的做法,其原理是自適應(yīng)地調(diào)整控制器增益來柔化切換控制sgn(·)的作用,但控制性能卻嚴(yán)重依賴于人為設(shè)定的智能化判斷規(guī)則.特別地,HOSM 是近年新興的一種連續(xù)SMC 方法[13],常見算法包括Twisting算法[14]、Super-twisting算法[15]、次優(yōu)算法[16]等,被視為本質(zhì)解決抖振問題的一種有效方法,其控制思想是基于相對(duì)階概念[13],通過將切換控制sgn(·)直接加到滑模變量高階導(dǎo)數(shù),使得實(shí)際控制量經(jīng)過積分或低通濾波而連續(xù)化.然而,常規(guī)HOSM算法的控制增益通常設(shè)定為固定值,其取值多取決于初始階段的暫態(tài)性能或需要克服的擾動(dòng),但隨著系統(tǒng)軌跡趨向平衡點(diǎn),固定的控制增益卻成為破壞系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的關(guān)鍵,過大值會(huì)帶來大的穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)時(shí)間[17–18].
為克服固定控制增益造成系統(tǒng)較大穩(wěn)態(tài)誤差的問題,變控制增益SMC控制方法應(yīng)運(yùn)而生[19].目前自適應(yīng)機(jī)制主要有基于穩(wěn)定性和基于切換時(shí)間原理的兩類.對(duì)于前者,其控制增益多僅以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性為前提,較少考慮諸如穩(wěn)態(tài)誤差等某種特定控制性能指標(biāo).例如Wang等人[20]提出一種基于觀測(cè)器的二階SMC方法,在保證系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性的前提下,利用觀測(cè)器實(shí)時(shí)輸出變化的控制增益;Shtessel等人[21]以系統(tǒng)狀態(tài)和控制增益為變量構(gòu)造一種Lyapunov函數(shù),在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)上提出一種自適應(yīng)Twisting算法,使其控制增益隨系統(tǒng)以螺旋狀收斂到平衡點(diǎn)而不斷改變.對(duì)于第2類基于切換時(shí)間原理的變控制增益SMC方法,其控制思想遵循了SMC固有的切換特性,自適應(yīng)機(jī)制取決于系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.Corradini和Orlando[22]從系統(tǒng)暫態(tài)特性分析入手,將其運(yùn)動(dòng)軌跡用多個(gè)切換模型表征,繼而提出一種多模型切換的變?cè)鲆婵刂品椒?類似地,Magni等人[19]也提出一種基于多模型切換的預(yù)測(cè)控制方法,實(shí)現(xiàn)變控制增益的目的.盡管相比于第1類基于穩(wěn)定性的變?cè)鲆嬖?第2類方法更能直接建立增益變化與穩(wěn)態(tài)誤差等某些性能指標(biāo)的影響關(guān)系,但目前研究成果較少,變?cè)鲆鏅C(jī)制與切換時(shí)刻、系統(tǒng)穩(wěn)定性等關(guān)鍵問題有待深入研究.
基于以上對(duì)SMC抖振問題和變控制增益兩方面的研究分析,本文以Buck變換器為控制對(duì)象,提出一種基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法,可保證其輸出電壓的穩(wěn)態(tài)誤差收斂到給定范圍.本文創(chuàng)新地從滑模面和控制律兩方面改進(jìn)傳統(tǒng)SMC控制方法,基于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡分解后的兩個(gè)階段,直接將期望的穩(wěn)態(tài)誤差和利用低通濾波抑制抖振的思想納入到控制器設(shè)計(jì)中,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下,通過實(shí)時(shí)測(cè)量和控制過零點(diǎn)的個(gè)數(shù),有效解決抖振問題,且提高輸出電壓品質(zhì).通過與傳統(tǒng)一階和二階SMC方法的對(duì)比性理論和仿真研究證明所提方法的正確性和優(yōu)越性.
2 系統(tǒng)描述
圖1為典型的Buck變換器SMC控制系統(tǒng)框圖,其中E為直流輸入電壓源,vc為輸出電壓瞬態(tài)值,VD為限流二極管,Sw為可控開關(guān)管,常以MOSFET和IGBT應(yīng)用居多,但區(qū)別地是,可控開關(guān)管Sw的門極驅(qū)動(dòng)信號(hào)用u表示,即u只能取0和1兩個(gè)值,而SMC控制信號(hào)為占空比d,通過輔助脈寬調(diào)制(pulse width modulation,PWM)電路控制Sw的通斷;L,C,R分別為濾波電感、電容和負(fù)載電阻,iL和iC分別為流過電感和電容的電流.
圖1 Buck變換器SMC控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of Buck control system with SMC
針對(duì)Buck變換器,假設(shè)工作在連續(xù)電流模式(continuous conduction mode,CCM).基于基爾霍夫電路定律,其平均狀態(tài)模型為[1]
定義vref為輸出電壓vc的給定值,系統(tǒng)狀態(tài)x1=vcvref,x2==,則式(1)可變換為
針對(duì)SMC控制器,目前多以一階[23]和二階控制方法應(yīng)用為主,控制器設(shè)計(jì)均包括滑模面和控制律兩部分,其中滑模面多采用
其中: 設(shè)計(jì)參數(shù)c1>0;x1和x2可通過測(cè)量電壓及利用霍爾傳感器測(cè)量電流直接獲得,由圖1可知,x2=iC/C,簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn).一旦Buck變換器控制系統(tǒng)收斂到滑模面s=0,系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能取決于=-c1x1,即輸出電壓偏差x1(t)=x1(0)e-c1t以指數(shù)形式漸近收斂到零,且設(shè)計(jì)參數(shù)c1越大,系統(tǒng)的收斂速度就越快.
在控制律方面,一階SMC和二階SMC控制律的設(shè)計(jì)皆需要滿足滑模到達(dá)條件s<0以保證系統(tǒng)穩(wěn)定性.然而,從HOSM基于相對(duì)階的抖振抑制[10,13]機(jī)理,兩者的區(qū)別在于: 一階SMC將切換控制項(xiàng)sgn(·)直接作用于滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)上,以保證一階滑動(dòng)模態(tài)s=0的存在[23],之后由式(3),則實(shí)現(xiàn)Buck變換器輸出電壓偏差及其導(dǎo)數(shù)x1=x2=0,但卻會(huì)存在抖振問題;而二階SMC,作為最簡(jiǎn)單的HOSM,則將切換控制項(xiàng)sgn(·)作用在滑模變量的二階導(dǎo)數(shù)上,使得實(shí)際控制量對(duì)sgn(·)經(jīng)過一次積分或低通濾波作用而連續(xù)化,且同時(shí)實(shí)現(xiàn)了二階模態(tài)=s=0和系統(tǒng)狀態(tài)x1=x2=0的收斂性.
下面以目前較為常用Twisting算法為例,具體闡述二階SMC算法的抖振抑制機(jī)理,并為本文基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法的提出和后續(xù)的性能對(duì)比奠定基礎(chǔ).
3 傳統(tǒng)固定增益二階SMC控制
針對(duì)式(2)Buck變換器,這里進(jìn)一步考慮到實(shí)際調(diào)壓能力的限制,定義Emax是輸入調(diào)壓范圍的最大值,即有0 其中: 控制增益r1>0,r2>0,且r1,r2的選擇與系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān),可詳細(xì)參考文獻(xiàn)[14];由于切換控制項(xiàng)sgn(·)出現(xiàn)在控制律的一階導(dǎo)數(shù)上,使得實(shí)際輸出d經(jīng)過積分作用而連續(xù)化,這是Twisting算法有效解決抖振問題的原因所在. 聯(lián)合式(2)–(3),對(duì)滑模變量s求對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),對(duì)應(yīng)的切換控制項(xiàng)sgn(·)可直接顯現(xiàn)出來,則有 其中:h(x1,x2,d)和μ表示為 其中: 由于直流輸入電壓0 定理1針對(duì)式(2)中的Buck變換器,滑模面和控制律分別設(shè)計(jì)如式(3)–(4),如果控制增益r1和r2滿足如下關(guān)系,則可保證系統(tǒng)穩(wěn)定: 證由式(5)–(8),可推出如下關(guān)系式: 根據(jù)HOSM的穩(wěn)定性條件[10,13],如果Twisting算法控制下的Buck變換器系統(tǒng)穩(wěn)定,需要判斷式(10)二階滑模的符號(hào)情況.正如其名,若系統(tǒng)能保持穩(wěn)定,則式(3)滑模變量s將在相平面s-內(nèi)以螺旋形狀收斂到原點(diǎn),如圖2所示. 圖2 基于Twisting算法的Buck變換器收斂軌跡Fig.2 Convergence trajectory of Buck converter with twisting algorithm 圖2中,根據(jù)變量s和在I,II,III和IV4個(gè)象限的不同符號(hào),式(4)控制律具有不同的數(shù)值;{Sij|i=1,2,3,··· ;j=1,2,3,···}表示運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),按照從外往里的方向5,第1圈軌跡半徑最大,且應(yīng)有|Sij|>|Si+1j|,|Sij|>|Sij+1|以保證第i+1圈軌跡半徑總小于第i圈.基于以上Twisting控制系統(tǒng)軌跡的特點(diǎn),下面以S12→S22第1圈順時(shí)針運(yùn)動(dòng)軌跡為例,分左半平面和右半平面兩種情況分析二階滑模的符號(hào)情況,繼而推導(dǎo)出系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件. 1)當(dāng)系統(tǒng)處于左半平面,沿著S12→S14運(yùn)動(dòng)時(shí),值從負(fù)值連續(xù)變化到正值,因此>0,但其遞增速率卻不同,這歸因于第III象限內(nèi)控制律=r1+r2,而第IV象限內(nèi)控制律=r1-r2>0.聯(lián)合式(5)–(8),為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性,則需式(10)滿足關(guān)系式(9). 2)當(dāng)系統(tǒng)處于右半平面,沿著S14→S22的運(yùn)動(dòng)與左半軸S12→S14的運(yùn)動(dòng)類似,但因?yàn)槭?4)控制律在I和III象限,II和IV象限互為對(duì)稱,數(shù)值卻互為相反數(shù),因此值從正值連續(xù)變化到負(fù)值,即<0,且其遞減速率在第I象限會(huì)大于第IV象限.類似于式(9),保持系統(tǒng)在右半平面穩(wěn)定的關(guān)系式應(yīng)滿足 其與式(9)形式是一樣的. 可見,綜合圖2和系統(tǒng)在左右半平面兩種情況下的穩(wěn)定性分析,當(dāng)控制增益r1和r2滿足式(9)可保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.證畢. 注1傳統(tǒng)二階SMC控制方法多采用固定的控制增益.本文以傳統(tǒng)Twisting算法為例,由式(4)和圖2,可見控制增益r1和r2在系統(tǒng)以螺旋狀收斂到原點(diǎn)的整個(gè)過程保持不變.然而,越靠近原點(diǎn),過大的控制增益會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能. 為解決傳統(tǒng)二階SMC固定增益的問題,本文以Twisting算法為例,提出一種基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法,從滑模面和控制律兩方面改進(jìn)傳統(tǒng)方法,以提高Buck變換器的控制性能. 為提高Buck變換器的穩(wěn)態(tài)性能,不同于式(3)的傳統(tǒng)滑模面,這里有目的地引入系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng),即 其中 類似式(5),這里進(jìn)一步求滑模變量s對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),則切換控制項(xiàng)sgn(·)顯現(xiàn)出來,即由式(13)可推得 其中:y21(w,s)和y22(w,μ)可表示為 為后續(xù)闡述方便,由式(16)–(17),定義4個(gè)常量ζ1,ζ2,ζ3,ζ4和函數(shù)Y21,Y22分別為 滿足下面關(guān)系式: 在控制律d的設(shè)計(jì)上,本文基于切換時(shí)間原理[19,22],按照一般控制系統(tǒng)的收斂過程,如圖3所示. 圖3 控制系統(tǒng)的收斂過程Fig.3 Convergence progress of control systems 圖3中,將其運(yùn)動(dòng)軌跡分成兩階段,即第1個(gè)階段是從初始點(diǎn)A到達(dá)首次波峰位置點(diǎn)B,第2個(gè)階段是B點(diǎn)之后,被分割成等時(shí)間間隔T的采樣周期,表示為T1,T2,···,Ti.特別地,這里將期望的穩(wěn)態(tài)誤差?納入到式(4)傳統(tǒng)Twisting控制律的改進(jìn)中,將兩個(gè)階段的控制律d分解為d1和d2兩部分,設(shè)計(jì)過程如下. 1)階段1: 點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng). 在圖3中,假設(shè)初始點(diǎn)A的時(shí)刻為tA,對(duì)應(yīng)的位置為(tA,sA),首次波峰位置點(diǎn)B的時(shí)刻為tB,對(duì)應(yīng)的位置為(tB,sB),且有(tB)=0.對(duì)比式(4),這里將此階段的控制律d1設(shè)計(jì)為 其中:k>0為常數(shù);μmax與μmin分別是式(7)定義的μ的最大與最小值. 定理2針對(duì)式(2)Buck變換器,如果滑模面設(shè)計(jì)如式(13),階段1的控制律設(shè)計(jì)如式(21)–(22),則系統(tǒng)有限時(shí)間達(dá)到B點(diǎn). 證首先證明圖3中B點(diǎn)的存在性,因?yàn)樗鼮槭状尾ǚ逦恢命c(diǎn),滿足(tB)=0.為此,將式(21)代入式(15),并聯(lián)合式(19),則有 進(jìn)一步,可以得到 因?yàn)閟gns≤-k≤0,兩邊同乘|s|,即有s≤-k|s|成立,進(jìn)而說明從任意初始點(diǎn)A,可在有限時(shí)間t0(t0=tB-tA)內(nèi)到達(dá)B點(diǎn).證畢. 2) 階段2: 點(diǎn)B后的收斂運(yùn)動(dòng). 圖3中,當(dāng)t>tB后,系統(tǒng)進(jìn)入第2階段收斂運(yùn)動(dòng),可見,振幅不斷減少,最終以穩(wěn)態(tài)誤差?在s=0處等幅振蕩.創(chuàng)新地,這里將期望的穩(wěn)態(tài)誤差?納入到該階段控制律的設(shè)計(jì)中.對(duì)應(yīng)地,控制律d2可設(shè)計(jì)為 其中控制增益r3>0為固定值,而另一個(gè)變控制增益Uj則在Tj采樣區(qū)間內(nèi)通過檢測(cè)s過零點(diǎn)而自適應(yīng)變化{j=1,2,3,···},即有 其中:Nj為Tj采樣區(qū)間內(nèi)s的過零點(diǎn)個(gè)數(shù),N?為其參考值,N?≥2;Λ1和Λ2是兩個(gè)正數(shù),且有Λ1≤Λ2;U0是B點(diǎn)控制律d2的初始值,對(duì)應(yīng)階段1中B點(diǎn)控制律d1最大值,由式(21)表示為 其中:d1max是d1的最大值;‖w‖?為w上限,即有 其中q=[q1q2],且q1與q2均為正數(shù). 定理3對(duì)于式(2)Buck變換器,如果改進(jìn)的 滑模面設(shè)計(jì)如式(12),階段2的變?cè)鲆婵刂坡稍O(shè)計(jì)如式(25)–(26),則可保證系統(tǒng)收斂于范圍 證當(dāng)Buck變換器控制系統(tǒng)處于階段2時(shí),將式(25)–(26)變?cè)鲆婵刂坡纱胧?15),則有 由圖3,因?yàn)锽點(diǎn)為第1階段首次波峰位置,也是第2階段振蕩幅值最大的點(diǎn).因此,聯(lián)合式(7)(21)–(22)和式(27)–(28),則式(30)可進(jìn)一步變?yōu)?/p> 這里以Tj采樣區(qū)間為例,給出單個(gè)采樣周期T內(nèi)系統(tǒng)過零點(diǎn)的分析情況,如圖4所示. 圖4 單個(gè)采樣周期T內(nèi)的系統(tǒng)過零點(diǎn)情況Fig.4 Zero-crossing points in a sampling time T 假設(shè)i∈[1,Nj],j∈[1,Nj],且i 其中t是Tj采樣區(qū)間的任意時(shí)刻,且|t-tij| 因?yàn)閨t-ti| 對(duì)式(34)兩端同時(shí)求積分,即可推導(dǎo)出式(29)系統(tǒng)的收斂范圍.證畢. 注2在圖3階段2運(yùn)動(dòng)過程中,隨著系統(tǒng)趨向平衡點(diǎn),s的振幅會(huì)變小,在同樣采樣周期內(nèi)的過零點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)增多.由式(28)可知,Nj與N?的大小關(guān)系會(huì)影響下一個(gè)采樣周期Tj+1的控制增益Uj+1,因此給定值N?的選取至關(guān)重要.在實(shí)際系統(tǒng),N?可通過實(shí)驗(yàn)方式測(cè)量,可取N?=max{2Tfj+1},j∈[1,Nj],其中fj=Nj/T是實(shí)驗(yàn)測(cè)得s過零點(diǎn)的頻率.由該式選取得到一個(gè)較大的N?值,可在式(26)中不斷微增控制律增益,以加快系統(tǒng)的收斂速度;而當(dāng)系統(tǒng)完全進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后,此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)過零頻率較高,通過式(26)中的比較會(huì)反向微減控制增益,以避免不必要的過大增益造成的系統(tǒng)抖振問題. 注3聯(lián)合圖3和式(26),本文在研究系統(tǒng)收斂運(yùn)動(dòng)和設(shè)計(jì)控制律時(shí)將系統(tǒng)輸出的期望穩(wěn)態(tài)誤差?考慮在內(nèi).首先由式(29)中的系統(tǒng)收斂范圍,可初步確定?的最大邊界,再通過進(jìn)一步調(diào)整式(26)中系統(tǒng)控制律幅值參數(shù)N?以達(dá)到間接控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的目的.且為了保證式(26)中的收斂范圍,采樣周期T應(yīng)當(dāng)滿足以下條件: 其中:sB是圖3中系統(tǒng)狀態(tài)首次達(dá)到峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值;U0,r3,Uj分別是式(25)–(27)中的控制律增益;q是式(28)中的常數(shù)向量.在實(shí)際應(yīng)用中以具體性能為準(zhǔn),可調(diào)整q中參數(shù)q1與q2來調(diào)節(jié)采樣區(qū)間T的寬度,即T的選擇不唯一,進(jìn)而可配合參考過零點(diǎn)個(gè)數(shù)N?以更準(zhǔn)確地調(diào)整系統(tǒng)輸出精度. 注4本文應(yīng)用的過零檢測(cè)是一種自適應(yīng)控制的設(shè)計(jì)思想,與Buck變換器采取何種模型無必然聯(lián)系,亦可擴(kuò)展到其他非線性模型. 針對(duì)圖1Buck變換器,其電路參數(shù)如表1所示.為驗(yàn)證本文所提基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的連續(xù)SMC方法在抖振抑制、響應(yīng)速度和控制精度方面的優(yōu)越性,與文獻(xiàn)[23]為代表的一階SMC和傳統(tǒng)Twisting算法為代表的二階SMC方法進(jìn)行性能對(duì)比.為方便說明,分別用1-SMC,2T-SMC和2AT-SMC代表. 表1 Buck變換器的電路參數(shù)Table 1 Circuit parameters of Buck converter 針對(duì)式(2)中所示的Buck變換器,為更加統(tǒng)一地對(duì)控制器進(jìn)行性能對(duì)比,對(duì)文獻(xiàn)[23]中描述的1-SMC和傳統(tǒng)的2T-SMC的滑模面均采用式(3)形式,設(shè)計(jì)參數(shù)c1選取為100,且前者控制律設(shè)計(jì)為u=0.5[sgns-1],因?qū)嶋H系統(tǒng)多采用滯環(huán)調(diào)制[24]以緩解抖振問題,如圖1中所示,本文這里取滯環(huán)寬度為0.01;后者式(4)控制增益r1取240,r2取120;對(duì)于本文提出的2AT-SM C方法,式(12)滑模面參數(shù)c1仍取100,c2取0.001,式(21)階段1的控制增益k取75,式(25)–(26)階段2的設(shè)計(jì)參數(shù)選取為r3=0.541,Λ1=2,Λ2=4,N?=8,T=25μs.此外,本文在仿真時(shí)采用PWM調(diào)制將連續(xù)的控制信號(hào)d轉(zhuǎn)換為Buck變換器的輸入開關(guān)信號(hào)u,載波的周期為10-4s,故變換器的開關(guān)頻率為10 kHz;仿真步長(zhǎng)為10-6s,過零檢測(cè)的周期為25μs. 下面以額定工況和輸入電壓擾動(dòng)兩種情況為例,對(duì)3種方法作用下的Buck變換器控制性能進(jìn)行對(duì)比. 1)額定工況. 額定工況下3種方法的控制性能對(duì)比如圖5和表2所示. 表2 額定工況下的電壓和電流性能對(duì)比Table 2 Comparision of voltage and current in rated working case 圖5 額定工況下的仿真性能對(duì)比Fig.5 Comparative simulations in rated working case 其中圖5(a)為輸出電壓vc和圖5(b)電感電流iL的仿真結(jié)果,可見,3種方法均實(shí)現(xiàn)兩者的收斂控制,輸出電壓vc收斂到給定值Vref=5 V,其中1-SMC的穩(wěn)態(tài)誤差為最大的13.01 mV,其次2T-SMC為6.04 mV,2ATSMC穩(wěn)態(tài)性能最佳,穩(wěn)態(tài)誤差僅為1.03 mV.對(duì)比式(3)和式(12),這歸因于本文所提2AT-SMC方法將系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng)引入到滑模面的設(shè)計(jì)中.同時(shí)2AT-SMC控制下的系統(tǒng)收斂速度也是最快的,僅為0.042 s,聯(lián)合圖5(c)控制律d的對(duì)比,這歸因于所提2AT-SMC 方法的變?cè)鲆婵刂谱饔?進(jìn)一步由圖3、式(21)和定理2,可見系統(tǒng)在階段1的啟始運(yùn)動(dòng)軌跡振蕩最大,這也解釋了此階段2AT-SMC控制律d幅值最大的原因;之后在階段2隨著系統(tǒng)趨向收斂,其幅值卻是3種方法中最小的.特別地,1-SMC的控制律d存在明顯的抖振現(xiàn)象,即使采用了滯環(huán)調(diào)[24]來緩解,仍然沒有2T-SMC和2AT-SMC這樣的二階SMC抖振抑制性能好.進(jìn)一步,在圖5(d)中,選取2,4,8 這3 個(gè)不同過零點(diǎn)給定值N?,其對(duì)應(yīng)的輸出電壓穩(wěn)態(tài)誤差分別為4.02 mV,3.10 mV和1.03 mV.根據(jù)N?=max{2Tfj+1}的選取公式,可知N?越大,過零點(diǎn)檢測(cè)的頻率越快,所提2AT-SMC方法的變?cè)鲆婵刂菩阅茉胶?進(jìn)而也證明了在線過零點(diǎn)自適應(yīng)機(jī)制對(duì)系統(tǒng)性能的影響. 2)擾動(dòng)工況. 這里以輸入電壓E的擾動(dòng)為例,假設(shè)在t=1 s時(shí)由10 V跳變到12 V,后在t=2 s時(shí)又跳回到10 V,仿真對(duì)比如圖6和表3. 表3 擾動(dòng)工況下的電壓和電流性能對(duì)比Table 3 Comparative simulations in disturbing case 圖6 擾動(dòng)工況下的仿真性能對(duì)比Fig.6 Comparative simulations in rated working case 對(duì)比圖5 額定和圖6 擾動(dòng)兩種情況,可見3 種方法對(duì)Buck變換器輸出電壓vc、電感電流iL和控制律d的影響作用是一致的,這歸因于SMC 魯棒控制的優(yōu)越性.具體地,以t=1 s 輸出電壓vc擾動(dòng)為例進(jìn)行分析,可見本文所提2AT-SMC的響應(yīng)速度最快,大約在1.015 s恢復(fù)到平衡狀態(tài),2T-SMC和1-SMC方法的收斂時(shí)間分別為1.038 s和1.042 s,且前者啟始階段出現(xiàn)震蕩,這歸因于傳統(tǒng)二階SMC方法選取固定增益使然,從圖5(c)控制律d的對(duì)比也能說明其振蕩的原因,即在t=1 s 擾動(dòng)發(fā)生時(shí),2T-SMC和2AT-SMC兩種二階SMC的控制律d大小接近,但本文所提2AT-SMC 方法的控制增益能隨收斂過程自適應(yīng)地減小,但傳統(tǒng)固定增益的2T-SMC卻始終維持較大值,進(jìn)而使得輸出電壓vc在快速收斂過程中產(chǎn)生振蕩.而圖5(d)中同樣給出不同過零點(diǎn)給定值N?所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出電壓性能,易見隨著N?的增大,vc的穩(wěn)態(tài)誤差逐漸變小、克服擾動(dòng)后的收斂時(shí)間逐漸縮短,進(jìn)一步證明了N?的選取對(duì)過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制下系統(tǒng)輸出性能的關(guān)鍵作用. 基于以上Buck變換器在額定和擾動(dòng)兩種工況下的性能對(duì)比,均說明本文所提基于在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制的2AT-SMC在抖振抑制、響應(yīng)速度和控制精度方面的優(yōu)越性,提高了變換器的輸出電壓品質(zhì). 本文以傳統(tǒng)Twisting算法為例,引入在線過零檢測(cè)自適應(yīng)機(jī)制,通過滑模面和控制律兩方面進(jìn)行算法改進(jìn),提高Buck變換器的輸出電壓品質(zhì).創(chuàng)新地,將系統(tǒng)狀態(tài)的積分項(xiàng)引入到滑模面設(shè)計(jì)中,將期望的穩(wěn)態(tài)誤差納入到滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)中,沿著系統(tǒng)收斂軌跡的兩個(gè)階段,分階段推導(dǎo)出其變?cè)鲆娴倪B續(xù)控制律,并給出相應(yīng)的穩(wěn)定性分析.特別地,過零點(diǎn)的實(shí)時(shí)檢測(cè)在實(shí)際系統(tǒng)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),使得所提方法具有重要的理論和實(shí)用價(jià)值.4 改進(jìn)的自適應(yīng)二階SMC控制
4.1 滑模面設(shè)計(jì)
4.2 控制律設(shè)計(jì)
5 數(shù)值仿真
6 結(jié)論
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