鐘永彬　高健　馮富原　張攬宇

摘要：為了提高永磁同步直線電機（PMLSM）的跟隨精度，提出了一種基于閉環(huán)辨識模型的分數(shù)階反饋控制方法，通過對反饋控制系統(tǒng)誤差幅值特性進行特定分數(shù)階次形式的精準調(diào)節(jié)來有效抑制PMLSM的跟隨誤差。該方法推導了PMLSM閉環(huán)辨識模型，通過誤差幅值特性分析，確定了分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)選定方法，以實現(xiàn)分數(shù)階反饋控制系統(tǒng)對PMLSM控制頻域特性的準確描述，進而提高PMLSM辨識精度及控制性能。采用所提方法在PMLSM龍門運動平臺上進行辨識方法和不同運動規(guī)劃的跟蹤實驗及圓軌跡運動實驗的驗證，實驗結(jié)果表明，該閉環(huán)辨識方法能有效抑制外界對辨識信號的干擾，所建立的閉環(huán)辨識模型準確性高；相較于PID控制方法，所提分數(shù)階反饋控制方法能夠大幅減小PMLSM跟隨誤差，對于不同運動規(guī)劃，跟隨誤差的均方根誤差值減小至少82.47%，驗證了所提方法可有效提高PMLSM跟蹤精度。

關(guān)鍵詞：永磁同步直線電機；跟隨精度；閉環(huán)辨識；分數(shù)階反饋控制；頻域特性調(diào)節(jié)

中圖分類號：TP271

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.23.001

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Fractional-order Feedback Control Method for PMLSMs Based on

Closed-loop Identification Model

ZHONG Yongbin¹GAO Jian^1，2FENG Fuyuan¹ZHANG Lanyu^1，2

1.State Key Laboratory of Precision Electronic Manufacturing Technology and Equipment，

Guangdong University of Technology，Guangzhou，510006

2.Key Laboratory of Intelligent Inspection and Manufacturing IoT of Ministry of Education，

Guangdong University of Technology，Guangzhou，510006

Abstract：In order to improve the tracking accuracy of PMLSMs，a fractional-order feedback control method was proposed based on closed-loop identification model. By precisely adjusting the error amplitude characteristics of the feedback control system in a specific fractional-order form，the following errors of PMLSMs might be effectively suppressed. A closed-loop identification model was derived for the PMLSM and the parameter selection method of the fractional-order lead-lag compensator was determined based on analysis of the error amplitude characteristics. With the properly defined fractional-order parameters，the fractional-order feedback control system might accurately describe the frequency-domain characteristics of the PMLSM，and the identification accuracy and control performance of the PMLSM might thus be improved. The proposed method? was experimentally validated on a PMLSM gantry motion platform through identification methods， tracking experiments with different motion planning， and circular trajectory motion experiments. The experiments on system closed-loop identification and motion tracking with different plannings were performed. The experimental results show that the closed-loop identification method may effectively suppress the influences of external interferences on the identification signals，and the closed-loop identification model is accurate for the control system，the proposed fractional-order feedback control method may greatly reduce the tracking errors of the PMLSMs，and compared to the PID control method，the proposed control method may reduce the root mean square error （RMSE） tracking errors by at least 82.47% under different motion scenarios. The experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed method in improving the tracking accuracy of PMLSMs.

Key words：permanent magnet linear synchronous motor（PMLSM）； tracking accuracy； closed-loop identification； fractional-order feedback control； frequency-domain characteristics adjustment

收稿日期：2022-11-23

基金項目：國家自然科學基金（52075106，U20A6004）

0 引言

隨著集成電路制造技術(shù)的飛速發(fā)展，芯片上可容納的晶體管數(shù)目不斷增加，芯片內(nèi)部空間不斷密集化，為了保證芯片制造良品率，集成電路產(chǎn)業(yè)對精密電子元件制造和測試設(shè)備精度及效率的要求越來越高，于是，具有高功率密度、高效率及出色控制性能的永磁同步直線電機（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）被廣泛應用于集成電路產(chǎn)業(yè)設(shè)備的研發(fā)^［1-2］。PMLSM能夠直接驅(qū)動實現(xiàn)直線運動，相較于旋轉(zhuǎn)電機具備更好的開發(fā)應用前景，所以PMLSM常與精密運動平臺研究關(guān)聯(lián)在一起^［3-5］。

PMLSM結(jié)構(gòu)簡單，主要包括由永磁鐵組成的初級定子以及由線圈組成的次級動子兩個部分。運行過程中，受齒槽力、端部效應及導軌摩擦力等的影響，PMLSM出現(xiàn)的推力波動將導致跟隨精度以及穩(wěn)定性下降。為此，學者們進行了深入的研究，在齒槽力模型分析的基礎(chǔ)上，改進PMLSM結(jié)構(gòu)，以減小齒槽力對推力的影響，提高PMLSM推力穩(wěn)定性和運動精度^［6-7］。與此同時，也有學者從改進PMLSM控制系統(tǒng)的角度來提高其運行精度^［8-9］。因PMLSM運動受其自身電氣特性及結(jié)構(gòu)特性影響比較大，所以，模型控制理論被廣泛應用于PMLSM精密運動控制方法研究，如改進電流預測控制方法、磁通量反饋補償控制方法等^［10-12］。從學者的研究結(jié)果可以看出，PMLSM模型的準確性在很大程度上決定了控制系統(tǒng)的性能。吳路路等^［13］指出，可以通過提高PMLSM模型準確性來實現(xiàn)控制系統(tǒng)性能的提高。由于PMLSM內(nèi)部元件在工作時的電磁關(guān)系存在復雜的耦合現(xiàn)象，且其電氣、結(jié)構(gòu)參數(shù)無法直接通過測量獲得，所以，學者們結(jié)合最小二乘法，提出了基于輔助變量的辨識方法^［14］、基于改進遺傳算法的參數(shù)辨識方法^［15］、基于機器學習的參數(shù)辨識方法^［16］等，均在一定程度上提高了參數(shù)辨識的準確性以及簡便性。然而，由于覆蓋全頻段的控制信號需要采用掃頻信號、M序列信號等才能實現(xiàn)PMLSM的全面辨識，所以其控制信號易受電壓干擾、噪聲干擾等的影響，容易使辨識信號中的較高頻段電流分量產(chǎn)生高頻波動，導致辨識信號精度下降^［17］。針對這一問題，本文建立帶電流環(huán)控制的PMLSM閉環(huán)辨識模型來實現(xiàn)PMLSM的閉環(huán)辨識，減小干擾信號對參數(shù)辨識的影響，提高PMLSM辨識的準確性。隨著分數(shù)階微積分計算方法的發(fā)展，分數(shù)階控制理論得到快速發(fā)展，其微分算子階次可為分數(shù)形式這一特點，使其能更準確地表達被控對象控制頻域特性，所以，將分數(shù)階控制理論應用于機電伺服控制系統(tǒng)中具備優(yōu)勢^［18-19］。

本文提出了基于閉環(huán)辨識模型的分數(shù)階反饋控制方法，結(jié)合分數(shù)階控制理論和誤差幅值特性，提出了分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)選定方法，實現(xiàn)被控對象所需頻域特性的準確表達。

1 永磁同步直線電機閉環(huán)辨識建模

由于永磁同步直線電機在UVW坐標系下的數(shù)學模型復雜，難以在其基礎(chǔ)上尋求很好的控制方法，故本文采用Clarke變換、Park變換將電壓從三相靜止UVW坐標系變換到兩相旋轉(zhuǎn)dq坐標系下進行建模及控制系統(tǒng)設(shè)計^［20］，以實現(xiàn)PMLSM的最佳控制。根據(jù)PMLSM的電氣特性及動力學特性，得到dq坐標系下的PMLSM數(shù)學模型為

式中，ψ_f=M₀I_f，為轉(zhuǎn)子每極永磁磁鏈；M₀為初級和次級的互感幅值；I_f為永磁體等效電流；u_d、u_q分別為d、q軸的控制電壓；i_d、i_q分別為d、q軸的控制電流；F_em為電磁推力；R_s為每相繞組電阻；L_d、L_q分別為d、q軸的每相繞組電感；τ為極距；p_n為極對數(shù)；ω為電角速度；v為次級運動速度；F_L為外力；m為運動部分質(zhì)量；B為黏性摩擦因數(shù)。

結(jié)合i_d=0的矢量控制策略，此時，電機的q軸電壓量u_q滿足

將式（2）代入式（1）并做拉氏變換，可以得到PMLSM運動系統(tǒng)從控制電壓到速度的傳遞函數(shù)，模型框圖見圖1中藍色框，傳遞函數(shù)表達式為

根據(jù)式（3），整理可得PMLSM的開環(huán)辨識模型傳遞函數(shù)：其中，a_i、b_i為所需辨識參數(shù)。式（4）的分母多項式最高階次為2，分子多項式最高階次為1，為二極點單零點模型。辨識模型的建立及階次確定能夠在保證辨識準確性的前提下節(jié)省參數(shù)辨識時間，參數(shù)辨識過程中僅需計算參數(shù)a_i、b_i即可獲得完整的PMLSM模型。在此基礎(chǔ)上，本文將電流環(huán)PI閉環(huán)反饋控制器引入到PMLSM建模及參數(shù)辨識中，加入電流環(huán)后的模型框圖見圖1。電流環(huán)PI閉環(huán)反饋控制器的表達式為

其中，k_P、k_I分別為閉環(huán)反饋控制器的增益系數(shù)與積分系數(shù)。電流環(huán)的加入能夠保證控制信號的跟隨精度，但同時也改變了辨識結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)辨識對象從原先的PMLSM系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡娏鳝h(huán)與PMLSM所組成的整體系統(tǒng)，所以用于參數(shù)辨識的模型也將發(fā)生改變。為了保證參數(shù)辨識的準確性，需要建立帶電流環(huán)控制的PMLSM閉環(huán)系統(tǒng)相應的模型，并計算其準確的傳遞函數(shù)階次。通過建立PMLSM閉環(huán)反饋控制回路框圖，推導出PMLSM閉環(huán)模型傳遞函數(shù)：

整理可得PMLSM閉環(huán)模型傳遞函數(shù)：

其中，分母多項式最高階次為3，分子多項式最高階次為2。到此就建立了帶電流環(huán)控制的PMLSM系統(tǒng)閉環(huán)辨識模型。

由于PMLSM一般采用直線光柵尺、激光干涉儀等測量裝置獲取其位移信息作為閉環(huán)反饋信號，所以，建立電壓到位移的傳遞函數(shù)模型更加有利于控制系統(tǒng)的設(shè)計。根據(jù)速度與位移之間的時間積分關(guān)系，PMLSM從電壓到位移的模型傳遞函數(shù)為

2 基于閉環(huán)辨識的分數(shù)階反饋控制方法

在建立PMLSM閉環(huán)辨識模型的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計了基于辨識模型的分數(shù)階反饋控制方法，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中，R為參考位移，Y為輸出位移，u為PID閉環(huán)反饋控制器輸出電壓，u_f為經(jīng)過頻域特性補償后的控制電壓。本文所提方法在PID閉環(huán)反饋控制器C_PID（s）基礎(chǔ)上，根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)頻域特性，通過分數(shù)階超前-滯后補償器C_F（s）對指定頻域范圍內(nèi)幅值特性、相位角度特性進行補償，提高反饋控制系統(tǒng)對低頻信號的響應性能，從而改進PMLSM運動精度。PID閉環(huán)反饋控制器可表達為

其中，k_D為閉環(huán)反饋控制器的微分系數(shù)。在頻域內(nèi)，分數(shù)階超前-滯后補償器可表達為

式中，K、λ、x均為分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)；α為分數(shù)階超前-滯后補償器階次。

分數(shù)階微積分理論的引入使得分數(shù)階超前-滯后補償器階次不再局限為整數(shù)0、1或2，其取值為（0，2）內(nèi)的任意實數(shù)。分數(shù)階超前-滯后補償器能夠根據(jù)被控對象頻域特性進行更加準確的幅值特性、相位特性調(diào)節(jié)，保證控制系統(tǒng)具備優(yōu)異的響應性能。圖3所示為不同階次以及不同增益常數(shù)的超前-滯后補償器（a）λ=0.8、K=1、x=0.85，不同α取值（b）α=0.7、K=1、x=0.85，不同λ取值（c）α=0.7、λ=0.8、x=0.85，不同K取值（d）α=0.7、λ=0.8、K=1，不同x取值頻域特性仿真實驗結(jié)果對比。

從圖3中的分數(shù)階超前-滯后補償器頻域特性可以看出，分數(shù)階超前-滯后補償器所表達的頻域特性具備范圍性，其幅值特性在低頻段、高頻段表現(xiàn)為不同的調(diào)節(jié)效果，相位特性只針對指定角頻率ω_b及其不為0周邊頻域段。階次的調(diào)整能夠改變幅值特性、相位特性，所以分數(shù)階超前-滯后補償器的加入能夠在有效提高控制系統(tǒng)帶寬的同時，不造成因控制系統(tǒng)高頻段增益幅值特性增大而帶來的對高頻噪聲信號的敏感性。

根據(jù)圖2，得到加入分數(shù)階超前-滯后補償器前，反饋控制系統(tǒng)從輸入R到輸出Y的傳遞函數(shù)：

閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)為

加入分數(shù)階超前-滯后補償器后，反饋控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

在頻域范圍內(nèi)，s=jω，根據(jù)式（10）～式（14），可得

式中，A_F為分數(shù)階超前-滯后補償器的幅值特性；A_C、A_E分別為反饋控制系統(tǒng)加入分數(shù)階超前-滯后補償器前的閉環(huán)幅值特性及閉環(huán)誤差幅值特性；?_C、?_E分別為反饋控制系統(tǒng)加入分數(shù)階超前-滯后補償器后的閉環(huán)幅值特性及閉環(huán)誤差幅值特性。

由此，系統(tǒng)加入分數(shù)階超前-滯后補償器后的閉環(huán)幅值特性變化值為

閉環(huán)誤差幅值特性變化值為

將式（15）代入式（16）中，可以推導出A_F與ΔA_C、ΔA_E具備以下關(guān)系：

由于反饋控制系統(tǒng)在低頻域范圍內(nèi)，閉環(huán)幅值特性趨近于0，也即A_C（ω）|_ω→0=?_C（ω）|_ω→0=0，而閉環(huán)誤差幅值特性主要存在于低頻域范圍內(nèi)，所以在低頻域范圍內(nèi)，存在

根據(jù)式（19）可確定分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)，以實現(xiàn)分數(shù)階反饋控制方法準確表達被控對象所需閉環(huán)誤差幅值特性。

3 實驗

3.1 實驗系統(tǒng)及模型參數(shù)辨識

本文方法的實驗驗證在PMLSM龍門運動平臺上進行。如圖4所示，該平臺采用PMLSM作為致動器，且每個電機均配備直線光柵尺以采集運動信息，實現(xiàn)PMLSM系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制。本文在SCALEXIO控制器中實現(xiàn)所提控制方法，并對PMLSM系統(tǒng)進行實時運動控制。

根據(jù)所提PMLSM閉環(huán)辨識方法開展參數(shù)辨識實驗。辨識過程中的PMLSM系統(tǒng)輸入電流及反饋電流如圖5所示，可以看出，開環(huán)辨識條件下，實際測量電流與規(guī)劃掃頻信號之間存在相移與幅值衰減，而閉環(huán)辨識能夠有效提高電流信號的跟隨精度，并且抑制電流波動，從而提高參數(shù)辨識準確性。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式（13）所示辨識模型，本文使用最小二乘法對掃頻信號辨識實驗數(shù)據(jù)進行擬合，得到PMLSM系統(tǒng)模型傳遞函數(shù)：

圖6對比了開環(huán)控制下，開/閉環(huán)辨識模型的響應位移，可以看出，閉環(huán)辨識模型響應與PMLSM系統(tǒng)響應具備較高的一致性，而開環(huán)辨識模型響應與PMLSM系統(tǒng)響應之間存在較大誤差。

3.2 PMLSM跟隨誤差實驗

根據(jù)式（20）辨識模型，結(jié)合Ziegler-Nlichols參數(shù)整定方法及多次參數(shù)調(diào)整實驗，最終確定PID控制器參數(shù)k_P=1553.12、k_I=131.65、k_D=13.63。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合式（10）、式（15）、式（19），可以求得分數(shù)階超前-滯后調(diào)節(jié)器參數(shù)K=2.514、λ=7.5946×10^-4、x=0.3978、α=1.1066。由此，可以得到分數(shù)階超前-滯后補償頻域特性，如圖7a所示。反饋控制系統(tǒng)在加入超前-滯后補償器前后的閉環(huán)頻域特性對比及閉環(huán)誤差幅值特性對比如圖7b、圖7c所示，可以看出，分數(shù)階超前-滯后調(diào)節(jié)器能夠有效增大反饋控制系統(tǒng)帶寬，從而使反饋控制系統(tǒng)誤差增益特性得到抑制，同時，保證閉環(huán)控制系統(tǒng)高頻段的響應特性不發(fā)生變化。

在PID控制器及分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)選定后，本文采用正弦運動規(guī)劃、三次曲線函數(shù)運動規(guī)劃以及圓軌跡運動規(guī)劃作為輸入信號開展PMLSM運動誤差對比實驗。三次曲線函數(shù)為

式中，t_a、t_c分別為三次曲線函數(shù)的加速時間與勻速時間。

圖8所示是本文所提方法與PID反饋控制方法的正弦運動跟隨誤差實驗結(jié)果，表1所示是實驗兩種方法跟隨誤差的均方根誤差（root mean square error，RMSE）及平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）等數(shù)據(jù)對比結(jié)果。其中，|MAX|表示跟隨誤差的最大絕對值，實驗結(jié)果表明，PMLSM系統(tǒng)跟隨誤差會隨著控制信號頻率的增大而增大，本文所提分數(shù)階反饋控制方法能夠保證PMLSM系統(tǒng)在不同頻率的正弦運動規(guī)劃實驗中均具備較優(yōu)的跟隨精度，相較于PID反饋控制方法，跟隨誤差的RMSE可降低至少82.47%。

同時，本文對三次曲線函數(shù)規(guī)劃進行了不同反饋控制方法的比對實驗，圖9和表2所示是本文所提方法與PID反饋控制方法在三次曲線函數(shù)運動規(guī)劃下的軌跡跟隨實驗結(jié)果。結(jié)果表明，本文所提方法能夠在很大程度上減小PMLSM系統(tǒng)跟隨誤差，相較于PID反饋控制方法，跟隨誤差的RMSE降低了86.02%，實現(xiàn)了PMLSM系統(tǒng)的快速高精度定位。

在單電機跟蹤運動控制實驗的基礎(chǔ)上，本文也將控制算法應用于龍門平臺的Y軸雙電機，通過雙軸運動系統(tǒng)測試本文所提控制算法的跟蹤性能。圖10所示為龍門平臺圓軌跡運動的位移與跟蹤誤差實驗結(jié)果，可以看出，本文方法能夠有效提高龍門運動平臺中每個電機跟隨精度，雙軸軌跡運動精度也得到了較好的提高，相較于PID反饋控制方法，本文方法的圓軌跡誤差RMSE降低了85.61%。因此，系列實驗數(shù)據(jù)對比及分析結(jié)果表明，本文分數(shù)階反饋控制方法可有效提高PMLSM系統(tǒng)的運動跟隨精度。

4 結(jié)論

本文通過建立帶電流環(huán)閉環(huán)控制的PMLSM系統(tǒng)模型，實現(xiàn)對運動系統(tǒng)的閉環(huán)辨識，提高了參數(shù)辨識準確性。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合分數(shù)階控制理論提出了分數(shù)階反饋控制系統(tǒng)方法，并通過閉環(huán)誤差幅值特性，明確了分數(shù)階超前-滯后補償器參數(shù)選定方法，實現(xiàn)了PMLSM系統(tǒng)控制頻域特性的準確表達，從而能夠有效提高PMLSM運動系統(tǒng)的跟隨精度。系列實驗結(jié)果表明，帶電流環(huán)的閉環(huán)辨識方法可以獲取更適于實際運動系統(tǒng)的模型，據(jù)此設(shè)計的分數(shù)階反饋控制方法可有效提高PMLSM系統(tǒng)運動跟隨精度。在不同運動規(guī)劃下，相較于PID反饋控制方法，本文方法能將跟隨誤差的RMSE值減小至少82.47%，驗證了本文所提基于閉環(huán)辨識模型的分數(shù)階反饋控制方法在提高PMLSM系統(tǒng)運動精度方面的有效性和先進性。

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（編輯 袁興玲）