雷添淇

2023年中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用科普活動，于9月初接受注冊申請，全國科普日期間正式啟動，12月初進(jìn)行創(chuàng)新探索體驗(yàn)挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，2024年5月科技周期間進(jìn)行能力拓展競技展示環(huán)節(jié)．

本期兩道試題來源于2021年中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用科普活動，由全國青少年數(shù)學(xué)創(chuàng)新系列活動組織委員會提供．

真題呈現(xiàn)

試題1 如圖1，在3 × 3的九個(gè)格子中填入9個(gè)數(shù)字，當(dāng)每行、每列及每條對角線的三個(gè)數(shù)字之和相等時(shí)，稱這張格子圖為九宮歸位圖. 如圖2，現(xiàn)已知這個(gè)九宮歸位圖中，只填入了3個(gè)數(shù)（a表示某個(gè)整數(shù)）. 請仔細(xì)觀察圖1，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后填出圖2左上角“？”的代數(shù)式是.

試題2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩動點(diǎn)A（m，0），B（0，n）（n > m > 0），點(diǎn)[C]在第一象限，[AB⊥BC]，[BC=BA]，點(diǎn)[P]在線段[OB]上，[OP=OA]，[AP]的延長線與[CB]的延長線交于點(diǎn)[M]，[AB]與[CP]交于點(diǎn)[N]，則下列說法正確的是（）.

A. [∠BPC=45°]? ? ? ? ? ? B. [CP⊥MA]? ? ? ? ? ? C. [∠MAB=∠BCN]

D. [BM=BN]? ? ? ? ? ? ? ? E. [∠ABO=∠PCM]

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

精講精析

試題1 通過觀察發(fā)現(xiàn)：[3+9=6×2]；[9+7=8×2]；[3+1=2×2]；8 + 1 = 7 + 2；[1+7=4×2.]

如圖4，對照圖1中已發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：

由m [=12[（a-1）+（a+5）]=a+2]，可得m = a + 2.

由[a=12（a-1+n）]，[可得n=a+1]，

由p = [12] [a+5+q]，[a+q=n+p]，

[可得p=a+6]，[q=a+7]，

故 [？=12] （[n] + q） = a + 4.

試題2 如圖5，過點(diǎn)C作[CD⊥y]軸，垂足為D.

∵[AB⊥BC]，∴[∠DBC+∠ABO=90°].

∵[∠DCB+∠DBC=90°]，∴[∠ABO=∠DCB].

∵[BC=BA]，∴△[DCB≌△OBA]，∴[DC=OB]，[DB=OA].

∵A（m，0），B（0，n），∴[DC=OB=n]，[DB=OA=m].

∵[OP=OA]，∴[DP=DB+BO-OP=m+n-m=n=DC]，

∴[∠DPC=∠DCP=45] °，故選項(xiàng)A正確.

∵[OP=OA]，∴[∠OPA=∠OAP=45°]，∴[∠DPC=∠OPA=45°]，

∴[∠CPA=90°]，故選項(xiàng)B正確.

∵[∠PNA=∠BNC]，∴[∠MAB=∠BCN]，故選項(xiàng)C正確.

∵[AB⊥BC]，∴[∠ABM=∠CBN=90°].

∵[BA=BC]，∴[△MBA≌△NBC]，∴[BM=BN]，故選項(xiàng)D正確.

綜上，應(yīng)選ABCD.