申小蘭

真題呈現(xiàn)

例 （2022·廣西·柳州）如圖1，直線[y1=x+3]分別與[x]軸、[y]軸交于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[C]，直線[y2=-x+3]分別與[x]軸、[y]軸交于點(diǎn)[B]和點(diǎn)[C]，點(diǎn)P（m，2）是△[ABC]內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則[m]的最大值與最小值之差為（ ）.

A. 1? ? ? B. 2? ? ? ? C. 4? ? ? ? D. 6

解析：如圖2，由于[P]的縱坐標(biāo)為2，說明△[ABC]內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)都滿足條件，而問題是如何探究m的最大值與最小值之差. 觀察圖象容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P（m，2）在直線[y2] = -x + 3上時(shí)，[m]取最大值，此時(shí)有[2=-m+3]，解得[m=1]；當(dāng)點(diǎn)P（m，2）在直線[y1] = x + 3上時(shí)，[m]取最小值，此時(shí)有[2=m+3]，解得[m=-1]. 因此，[m]的最大值與最小值之差為1 - （-1）? =? 2. 故選B.

反思：解決本題的關(guān)鍵是抓住形的魅力. 點(diǎn)P（m，2）是△[ABC]內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，在縱坐標(biāo)為定值2的情形下，點(diǎn)P在右邊界上時(shí)，[m]取得最大值；點(diǎn)P在左邊界上時(shí)，[m]取得最小值. 根據(jù)點(diǎn)在直線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式，由“形”到“數(shù)”，即可獲得答案.

變式拓展

變式1：保持已知條件不變，試求△[ABC]的面積和BC邊上的高.

解法1：易得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-3，0）（3，0）（0，3），則[S△ABC=12AB?OC=12×6×3=9]. 在[Rt]△[OBC]中，由勾股定理可得[BC=32]，設(shè)BC邊上的高為h，則有[h=2S△ABCBC=1832=32].

解法2：根據(jù)勾股定理求得[AC=BC=32]，則[AC2+BC2=（32）2+（32）2=36=AB2]，由勾股定理的逆定理可得∠ACB = 90°，因而BC邊上的高AC為[32].

解法3：由OC = OA = OB = 3，可證△ABC為直角三角形，且∠ACB = 90°，因而AC就是BC邊上的高，由勾股定理可得[AC=32].

變式2： △ABC是軸對稱圖形嗎？如果是，請指出它的對稱軸.

若將點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻（2，m），其他條件保持不變，則[m]的最大值與最小值之差為 . （答案為1）

變式3：若將點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻（-2，m），其他條件不變，則[m]的最大值與最小值之差為 . （答案為1）

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★ 解題時(shí)間：2分鐘

1. 如圖3，直線[l： y=-23x-3]與直線[y=a]（[a]為常數(shù)）的交點(diǎn)在第四象限，則[a]可能在（? ? ? ）.

A. [1

C. [-3≤a≤-2]? ? ? ? ? D. [-10

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

2. 如圖4，已知點(diǎn)[A（-2，3）]，[B（2，1）]，直線[y=kx+k]經(jīng)過點(diǎn)P? [（-1，0）]. 試探究：直線與線段[AB]有交點(diǎn)時(shí)[k]的變化情況，猜想[k]的取值范圍是 .

3. （2023·四川·自貢）如圖5，小亮家、報(bào)亭、羽毛球館在一條直線上. 小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報(bào)亭看報(bào)，最后散步回家. 小亮離家距離與時(shí)間之間的關(guān)系如圖6所示. 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 .

A. 小亮從家到羽毛球館用了7分鐘

B. 小亮從羽毛球館到報(bào)亭平均每分鐘走75米

C. 報(bào)亭到小亮家的距離是400米

D. 小亮打羽毛球的時(shí)間是37分鐘