白樹忠

? 江蘇省泗洪中學(xué)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)重點(diǎn)在于提出并論證相關(guān)的數(shù)學(xué)命題,在掌握推理證明的基本形式的基礎(chǔ)上,合乎邏輯地思考問題,正確理解相關(guān)事物之間的關(guān)聯(lián),準(zhǔn)確把握對(duì)應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu),形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,培養(yǎng)良好的科學(xué)素養(yǎng).

1 挖掘基本關(guān)系,巧妙邏輯推理

利用數(shù)學(xué)問題中給出的函數(shù)、方程、不等式等的基本關(guān)系,通過合理的變形與轉(zhuǎn)化,巧妙運(yùn)用邏輯推理,朝著目標(biāo)方向不斷前行.

例1若對(duì)任意m,n∈R,關(guān)于x的不等式m-n≤(x-m)2+ex-n-a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為______.

分析：抓住題設(shè)條件與問題場(chǎng)景,巧妙變換主元,利用一元二次不等式恒成立的條件,通過判別式法來構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式,合理分離參數(shù),綜合利用重要不等式(ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)的放縮處理來確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍.

解析：由不等式m-n≤(x-m)2+ex-n-a恒成立,可得m2-(2x+1)m+x2+ex-n+n-a≥0對(duì)任意m∈R恒成立,則知判別式Δ=(2x+1)2-4(x2+ex-n+n-a)≤0.

點(diǎn)評(píng)：例1主要借助變換主元法進(jìn)行消參處理,并正確分離參數(shù),為問題的邏輯推理與解決提供條件.正確挖掘題設(shè)條件中涉及函數(shù)、方程、不等式等的數(shù)字、字母等的基本關(guān)系,綜合邏輯推理來應(yīng)用,為問題的解決開拓新局面.

2 依托信息關(guān)聯(lián),正確邏輯推理

結(jié)合數(shù)學(xué)問題中給出的相關(guān)信息之間的關(guān)聯(lián),構(gòu)建不同信息之間的包含、互斥或?qū)α㈥P(guān)系等,正確分析相關(guān)信息的聯(lián)系與區(qū)別,為正確的邏輯推理提供條件.

甲:T>3;

丙:f(x)在區(qū)間(0,3)上恰有三個(gè)極值點(diǎn).

若這三個(gè)命題中有且僅有一個(gè)假命題,則假命題是______(填“甲”“乙”或“丙”);ω的取值范圍是______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用題設(shè)中三個(gè)命題分別為真命題時(shí)所確定的參數(shù)ω的取值范圍,再結(jié)合約束條件“這三個(gè)命題中有且僅有一個(gè)假命題”,正確分析不同命題之間所對(duì)應(yīng)結(jié)果的關(guān)系,借助信息關(guān)聯(lián),合理邏輯推理,正確分析判斷.

而這三個(gè)命題中有且僅有一個(gè)假命題,結(jié)合這三個(gè)命題為真命題時(shí)所對(duì)應(yīng)的ω的取值范圍,只能是命題甲錯(cuò)誤,命題乙、丙正確.

3 借助圖形直觀,形象邏輯推理

依據(jù)數(shù)學(xué)問題場(chǎng)景,尋找或構(gòu)建與之吻合的圖象、幾何圖形等,借助圖形直觀,數(shù)形結(jié)合,形象地進(jìn)行邏輯推理與分析判斷.

例3〔2023屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試(一模)數(shù)學(xué)試卷〕在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別是線段AA1,CC1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)M在正方形A1B1C1D1內(nèi)(含邊界),記過E,F,G的平面為α,若BM∥α,則BM的取值范圍為______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件加以合理分析,構(gòu)建對(duì)應(yīng)的立體幾何圖形以及對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡,通過動(dòng)點(diǎn)軌跡的確定以及圖形直觀加以數(shù)形結(jié)合,合理邏輯推理應(yīng)用,進(jìn)而正確判斷動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為線段A1C1(含端點(diǎn)),并結(jié)合圖形確定相關(guān)線段長(zhǎng)度的取值范圍.

圖1

解析：如圖1所示,取AB,BC,C1D1的中點(diǎn)H,I,J.

易知過E,F,G的平面α即是截面正六邊形EHIFJG所在的平面.

而在平面A1BC1中,A1B∥EH,BC1∥IF,A1B∩BC1=B,所以平面A1BC1∥平面α,則當(dāng)M∈A1C1時(shí),一定有BM∥α,即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為線段A1C1(含端點(diǎn)).

點(diǎn)評(píng)：正確構(gòu)建對(duì)應(yīng)的立體幾何圖形并直觀確定對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡,為進(jìn)一步的邏輯推理與直觀分析提供條件.在處理此類問題時(shí),依題構(gòu)建相應(yīng)的圖象或幾何圖形等,是深入邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ),也是問題解決中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).

4 給定操作方案,依規(guī)邏輯推理

以復(fù)雜情境或創(chuàng)新定義等的創(chuàng)設(shè)給出相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的操作方案與規(guī)則,要求學(xué)生閱讀并理解對(duì)應(yīng)的方案或規(guī)則,結(jié)合解題過程中的正確判斷持續(xù)進(jìn)行邏輯推理與分析判斷.

點(diǎn)評(píng)：例4以中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化為創(chuàng)新情境,結(jié)合圓周率π的近似值確定的“調(diào)日法”的操作方案來進(jìn)行邏輯推理與應(yīng)用.準(zhǔn)確識(shí)別與應(yīng)用題設(shè)中給出的操作方案與規(guī)則等,是正確邏輯推理的基礎(chǔ)所在.

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的邏輯推理素養(yǎng),是現(xiàn)實(shí)生活中的一種重要思維方式,更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的一種基本能力,對(duì)我們的終生學(xué)習(xí)與全面發(fā)展都具有特殊的作用.邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成,可以更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神與嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度,增強(qiáng)分析與交流能力,拓展思維方式并優(yōu)化思維品質(zhì),不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z