田雙瑞 徐會(huì)林 李薇薇 廖冬妮

? 贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”[1].在教學(xué)活動(dòng)中有意識(shí)地融入數(shù)學(xué)文化,“有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué),有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”[1]

1 研究綜述

諸多學(xué)者對(duì)如何在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行了相關(guān)研究.聶曉穎、黃秦安[2]給出了構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂文化的四個(gè)維度;侯代忠、喻平[3]就如何在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化提出了教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該思考的三個(gè)問(wèn)題,即“①為什么要研究這個(gè)知識(shí)?②是怎么研究這個(gè)知識(shí)的?③這個(gè)知識(shí)有什么價(jià)值和意義”;李院德、史嘉[4]提出了核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)文化教育的具體實(shí)施策略.

本文中綜合運(yùn)用文獻(xiàn)[2-4]中的相關(guān)策略,以“直線與平面垂直的判定”一節(jié)新授課為例,探究如何將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體過(guò)程.

2 教學(xué)背景

2.1 內(nèi)容分析

“立體幾何初步”是北師大版高中教材《數(shù)學(xué)(必修第二冊(cè))》第六章的內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)必修課程內(nèi)容“幾何與代數(shù)”這一主線的主要組成部分,是對(duì)義務(wù)教育階段“圖形與幾何”內(nèi)容的延續(xù)和發(fā)展.本章教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生進(jìn)一步形成空間觀念,提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平[1].基本幾何圖形間的位置關(guān)系是“立體幾何初步”這一章的重點(diǎn)內(nèi)容,其直觀基礎(chǔ)是長(zhǎng)方體,邏輯基礎(chǔ)是相關(guān)概念與基本事實(shí).平行和垂直是幾何圖形間的兩大主要位置關(guān)系,是高中學(xué)業(yè)水平考試和高考所要求重點(diǎn)掌握的內(nèi)容,二者的邏輯結(jié)構(gòu)都是從“直線與直線”“直線與平面”到“平面與平面”,其抽象程度逐步提高,對(duì)學(xué)生素養(yǎng)水平的要求也逐步提升.

教材中以長(zhǎng)方體為例,通過(guò)直觀感知得出直線與平面垂直的判定定理.這種設(shè)計(jì)雖然符合課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求,但是實(shí)物模型不夠豐富,操作確認(rèn)過(guò)程過(guò)于單一,不利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.在教學(xué)中,如果能融入數(shù)學(xué)文化,提供更加豐富的實(shí)物模型,讓學(xué)生在操作確認(rèn)中體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程,則更有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.2 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是高一學(xué)生.知識(shí)結(jié)構(gòu)方面,學(xué)生對(duì)義務(wù)教育階段的“圖形與幾何”知識(shí)有了較好的認(rèn)知基礎(chǔ),進(jìn)入高中后已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了“線面平行”和“面面平行”兩大判定定理,掌握了“線面垂直”的概念和性質(zhì).核心素養(yǎng)方面,學(xué)生已經(jīng)具備了較高水平的直觀想象素養(yǎng),但數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)水平存在較大差距.本節(jié)課重在探究判定定理的形成過(guò)程,學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平完全能夠滿足需要.認(rèn)知特點(diǎn)方面,高中學(xué)生具有強(qiáng)烈的求知欲望和探究意識(shí),有利于教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展.

2.3 教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)分析

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,本節(jié)課有三個(gè)教學(xué)目標(biāo):(1)能夠理解直線與平面垂直的判定定理,并熟練運(yùn)用這一定理證明簡(jiǎn)單的幾何命題;(2)在探究過(guò)程中,逐步提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)水平;(3)了解與知識(shí)緊密相關(guān)的中華傳統(tǒng)文化,感悟中華民族的智慧.

本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線與平面垂直判定定理的探究過(guò)程;難點(diǎn)是在探究過(guò)程中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 引入文化,營(yíng)造氛圍

圖1

情境:播放1分鐘的日晷短視頻,展示日晷圖片(如圖1).

教師:結(jié)合視頻和圖片,說(shuō)一下日晷的晷針和晷面之間是什么關(guān)系?

師生活動(dòng):學(xué)生自主回答,教師介紹日晷的歷史和工作原理,強(qiáng)調(diào)“晷針垂直于晷面”.

設(shè)計(jì)意圖：日晷是我國(guó)古代的計(jì)時(shí)儀器,最早在《漢書(shū)》中就有記載,體現(xiàn)了我國(guó)古代天文學(xué)的輝煌成就.將日晷與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合,創(chuàng)設(shè)文化情境,不僅為數(shù)學(xué)課堂增添了人文色彩,而且有助于引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界”[1].

追問(wèn)1:古人在建造日晷時(shí),如何判斷晷針與晷面是否垂直呢?

師生活動(dòng):學(xué)生將晷針抽象為一條直線,晷面抽象為一個(gè)平面,結(jié)合直線與平面垂直的定義,總結(jié)出需要判定晷針垂直于晷面內(nèi)的所有直線.

設(shè)計(jì)意圖：“尋找產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的緣由,從社會(huì)需求與數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展需求兩個(gè)方而來(lái)思考,從而揭示呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化”[4]是將數(shù)學(xué)文化融入課堂的重要一步.以判斷晷針與晷面垂直這一實(shí)際需求為出發(fā)點(diǎn),說(shuō)明探究直線與平面垂直判定定理的必要性,引導(dǎo)學(xué)生從文化情境中抽象出數(shù)學(xué)元素,既傳遞了數(shù)學(xué)文化,又促進(jìn)了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問(wèn)2:要判斷晷針垂直于晷面內(nèi)的所有直線非常困難.大家思考一下,怎樣才能既便捷又準(zhǔn)確地判定晷針垂直于晷面呢?

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比“線面平行”和“面面平行”的判定定理,思考如何根據(jù)晷針垂直于晷面內(nèi)的有限條直線進(jìn)行判定.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比推理,在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)組織教學(xué)活動(dòng),有助于提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)水平;將“所有直線”轉(zhuǎn)化為“有限條直線”,展示出數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)御繁的強(qiáng)大功能,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美,有助于促進(jìn)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問(wèn)3:晷針至少要垂直于晷面內(nèi)的幾條直線才能垂直于晷面?

師生討論,自由發(fā)言.討論結(jié)果如下:

(1)垂直于晷面內(nèi)的一條直線.不能,反例:將三角板的一條直角邊與黑板重合,另一條直角邊與黑板不一定垂直.

(2)垂直于晷面內(nèi)兩條平行直線.不能,反例:在黑板內(nèi)作兩條平行線,使三角板的直角邊與其中一條重合,另一條直角邊與黑板不一定垂直.

(3)垂直于晷面內(nèi)兩條相交直線.未能舉出反例,需進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生小組討論,合理假設(shè),可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,感悟分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想;利用反證法排除不合理的假設(shè),有助于提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)水平;在未能舉出反例的情況下,組織學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng),可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度;從日晷這一具體文化情境出發(fā)到完成分類(lèi)討論,對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)建模過(guò)程中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題三個(gè)階段,有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2 實(shí)驗(yàn)探究,感悟新知

實(shí)驗(yàn):小組合作,將準(zhǔn)備好的三角形、矩形紙板進(jìn)行一次性對(duì)折,折痕向上放在桌面上,并使被折的邊與桌面完全重合.探究一下怎樣才能使折痕與桌面垂直呢?

師生活動(dòng):各小組成員進(jìn)行折紙活動(dòng).教師巡視,組織學(xué)生積極參與,重點(diǎn)關(guān)注各組內(nèi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的同學(xué),鼓勵(lì)每個(gè)層次的學(xué)生參與到探究活動(dòng)中.

設(shè)計(jì)意圖：折紙大約起源于公元1世紀(jì)或2世紀(jì)時(shí)的中國(guó),它不僅是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng),也是一種很好的娛樂(lè)方式.折紙實(shí)驗(yàn)構(gòu)建了一個(gè)驗(yàn)證線面垂直的直觀模型,增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性,可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

師生活動(dòng):選兩個(gè)小組的代表,分別展示折痕與桌面垂直和不垂直兩種情況.總結(jié)出“只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線,折痕就會(huì)與桌面垂直;其他情況下則不垂直”.

教師:為什么只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線,折痕就會(huì)垂直于桌面呢?

設(shè)計(jì)意圖：折紙操作使學(xué)生獲得對(duì)直線與平面面垂直判定定理的感性認(rèn)知,從提出問(wèn)題到操作確認(rèn),展示了判定定理的探究過(guò)程,可以引發(fā)學(xué)生的深度思考,為抽象概括作好鋪墊,有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

3.3 直觀感知,抽象概括

教師:將桌面看作平面α,折痕看作直線AB,折痕與桌面的交點(diǎn)記為點(diǎn)B,折疊后紙板與桌面的兩條交線分別記作直線BC,BD.固定BC,繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)BD.我們一起欣賞一下BD旋轉(zhuǎn)的過(guò)程(Flash動(dòng)畫(huà)演示).

師生活動(dòng):學(xué)生觀看動(dòng)畫(huà),并轉(zhuǎn)動(dòng)自己手中的紙板,觀察得出,當(dāng)直線AB垂直于BC,BD這兩條相交直線時(shí),就會(huì)垂直于平面α內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)B的直線.

追問(wèn):直線AB與平面α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的任意直線m是否垂直呢?

圖2

師生活動(dòng):學(xué)生作圖探究,如圖2,發(fā)現(xiàn)只要過(guò)點(diǎn)B作直線m的平行線,即可證明AB⊥m.

教師:當(dāng)直線AB垂直于平面α內(nèi)兩條相交直線時(shí),就會(huì)垂直于平面α內(nèi)所有直線.根據(jù)直線與平面垂直的定義,可得AB⊥α.

設(shè)計(jì)意圖：由直線AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,推廣到垂直于平面內(nèi)所有直線,結(jié)合定義判定出AB⊥α,體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程,有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);教學(xué)中注重傳統(tǒng)教學(xué)手段與信息技術(shù)的融合使用,可以起到吸引學(xué)生注意、提高教學(xué)效率的作用.

3.4 歸納總結(jié),獲得新知

教師:如何判定直線l垂直于平面α?

師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考并用文字語(yǔ)言描述直線與平面垂直的判定定理,教師肯定學(xué)生的回答,或指出其中的錯(cuò)誤,并分別用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言板書(shū)定理內(nèi)容,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“兩條”和“相交”.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生獨(dú)立思考并表述直線與平面垂直的判定定理,可以提升用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的能力,促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展;教師用三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范表述這一定理,有助于幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)作風(fēng),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平.

3.5 回歸應(yīng)用,體現(xiàn)本質(zhì)

教師:大家現(xiàn)在能否回答“古人如何確保晷針垂直于晷面”這個(gè)問(wèn)題?

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生用自己的話表述出來(lái),并給與積極評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)定理的應(yīng)用,完善整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程,從而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平.同時(shí),可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的文化本質(zhì).

3.6 回顧總結(jié),凝練素養(yǎng)

師生活動(dòng):回顧本節(jié)課重難點(diǎn)內(nèi)容,總結(jié)本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想,并將直線與平面垂直的判定定理與“線面平行”“面面平行”相應(yīng)的判定定理進(jìn)行歸納對(duì)比,在學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),形成思維導(dǎo)圖.

設(shè)計(jì)意圖：核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的,要將傳授知識(shí)與發(fā)展核心素養(yǎng)緊密結(jié)合,讓學(xué)生感受到所取得的進(jìn)步,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心,為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與更新,有助于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò),促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的連續(xù)性發(fā)展.

3.7 分層作業(yè),學(xué)以致用

(1)基礎(chǔ)作業(yè):如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直,那么這條直線和該平面是否一定垂直?

(2)提升作業(yè)(選做):小組合作,尋找生活中“線面垂直”的例子并給出判定,撰寫(xiě)一篇科研小論文.

設(shè)計(jì)意圖：豐富作業(yè)形式,有助于提升學(xué)生完成作業(yè)的自主性和有效性,促進(jìn)學(xué)生深度思考.基礎(chǔ)作業(yè)面向全體學(xué)生,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣,在鞏固新知的同時(shí)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);提升作業(yè)針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科研創(chuàng)新精神.分層作業(yè)體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想,使“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上都能得到不同的發(fā)展”[1].

本節(jié)課嚴(yán)格依照新課標(biāo)的要求,以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為目標(biāo),以日晷、折紙等數(shù)學(xué)文化為載體,將直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與線面垂直判定定理緊密結(jié)合,在探究過(guò)程中尋找核心素養(yǎng)的生長(zhǎng)點(diǎn).運(yùn)用“情境—探究”教學(xué)模式,步步深入,注重核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性、連續(xù)性和整合性.教學(xué)過(guò)程中關(guān)注不同層次的學(xué)生,隨時(shí)給學(xué)生以積極評(píng)價(jià),調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性;注重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣和合作探究意識(shí),充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體地位的統(tǒng)一,傳授知識(shí)與發(fā)展素養(yǎng)的統(tǒng)一.將數(shù)學(xué)文化融入到教學(xué)過(guò)程的每一個(gè)環(huán)節(jié)中,學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)潛移默化地接受數(shù)學(xué)文化的熏陶,充分落實(shí)了數(shù)學(xué)教育立德樹(shù)人的根本任務(wù).