殷偉康

? 江蘇省常熟市滸浦高級中學

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出,將數(shù)學文化融入教學,有利于激發(fā)學生興趣、開闊視野,幫助學生理解數(shù)學,提升數(shù)學核心素養(yǎng).新課標強調(diào)了數(shù)學文化的教育功能,并要求數(shù)學文化應盡可能與高中數(shù)學課堂教學內(nèi)容進行有機結(jié)合.本文中以筆者的市級公開課“斐波那契數(shù)列”課堂教學實踐為例,闡述“基于數(shù)學文化的教學設計理念和思路,如何將數(shù)學文化滲透到日常教學中,使學生在學習數(shù)學的過程中受到數(shù)學文化的熏陶,體驗數(shù)學文化的魅力,促進核心素養(yǎng)的發(fā)展”.

1 教學實錄

1.1 創(chuàng)設情境,經(jīng)典再現(xiàn),發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題1202年意大利數(shù)學家斐波那契在他的著作《算盤書》一書中提出了“兔子的繁殖”問題:有一個人第一個月底時在一間房子里放了一對剛出生的小兔,假如每對小兔一個月后能長成大兔,再過一個月便能生下一對小兔.如果不發(fā)生死亡,那么12個月后這個人有多少對兔子?

生:根據(jù)兔子的繁殖規(guī)律可以得到一個數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…….這樣很容易知道12個月后共有144對兔子.

師:那么50個月后會有多少對兔子?

生:直接運算有點繁,最好找出這個數(shù)列的變化規(guī)律.

生:觀察該數(shù)列的特點,從第三項起,每一項都等于自身的前兩項之和,如果用an表示第n個月兔子總對數(shù),那么a1=a2=1,an+an+1=an+2.

師:人們?yōu)榧o念斐波那契,把這種數(shù)列叫斐波那契數(shù)列.很好!找到了這個數(shù)列的遞推公式后,按照我們以前研究數(shù)列的方式,那么如何求出它的通項公式呢?

1.2 展開探究,不斷嘗試,建構(gòu)數(shù)學

師:這種猜想嘗試很值得同學們學習和借鑒!還有沒有其他求解方法?

生:類比之前求數(shù)列的通項公式的方法,通過構(gòu)造等比數(shù)列來求它的通項公式,設an+2-an+1=λ(an+1-an),則an+2=(λ+1)an+1-λan.

師:數(shù)列{an}的通項公式是一個比較復雜的式子,一個參數(shù)不足以解決問題.

生:設an+2-λ1an+1=λ2(an+1-λ1an),則有an+2=(λ1+λ2)an+1-λ1λ2an.

①

②

生:黃金分割比.

1.3 激發(fā)思維,引深探究,欣賞數(shù)學

生:斐波那契數(shù)列中的每一項與后一項的比值隨著項數(shù)的增大會趨近于0.618.

生:繪畫、雕塑等藝術作品中,如斷臂的維納斯、名畫《蒙娜麗莎的微笑》中都有黃金分割的體現(xiàn).

師:斐波那契數(shù)列不僅具有神秘的自然之美,還有許多數(shù)學之美(有趣的性質(zhì))等待著我們?nèi)ヌ骄?下面按小組合作的方式探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì).

生:1+1+2=4=5-1,1+1+2+3=8-1,1+1+2+3+5=13-1,由此猜想并證明,得到結(jié)論a1+a2+……+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+……+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,即斐波那契數(shù)列的前n項和等于第n+2項與1的差.

生:運用遞推關系,可推導出a1+a3+……+a2n-1=a2n,a2+a4+……+a2n=a2n+1-1.

即斐波那契數(shù)列的前n項平方和等于第n項與第n+1項的積.

師:非常好!以上同學發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列許多有趣的性質(zhì),都是通過嘗試對該數(shù)列前幾項進行適當運算,觀察其運算結(jié)果的特點,猜想并推導出它的一般規(guī)律.

1.4 總結(jié)歸納,方法提煉,思想升華

師:本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容?

生:本節(jié)課主要是研究斐波那契數(shù)列,由遞推公式推導其通項公式,歸納并證明了斐波那契數(shù)列一些有趣的性質(zhì).

師:本節(jié)課涉及了哪些數(shù)學思想方法?

生:待定系數(shù)方法,歸納猜想.

師:很好!歸納法是合情推理的主要方式之一,也是探究未知世界的重要方法.世界上有許多斐波那契迷,成立了斐波那契協(xié)會,繼續(xù)探究其數(shù)列的奧妙.

2 教學反思

2.1 挖掘素材,促進問題情境的合理創(chuàng)設

基于數(shù)學文化的教學,要讓學生感受到數(shù)學學習的開放性以及向其他領域的廣泛滲透性,體驗到資源對其經(jīng)驗的支撐,領悟到同學之間的互動交流對知識構(gòu)建的意義,進而體驗到“數(shù)學本質(zhì)上是一種文化”,從而對學生進行深刻的文化陶醉與心靈提升.在教學過程中,教師要善于挖掘與篩選更多的數(shù)學文化素材,采用更加自然的方式融入數(shù)學教學之中.本案例是通過再現(xiàn)“斐波那契數(shù)列”的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展過程,將數(shù)學文化自然有序穿插和有選擇性地整合融入,引導學生圍繞斐波那契數(shù)列展開對其通項公式、性質(zhì)進行探究,并穿插生活和其他領域中有關斐波那契數(shù)列的案例,了解斐波那契數(shù)列與黃金分割的關系,欣賞數(shù)學之美,這樣有效地避免了知識點和數(shù)學文化內(nèi)容學習的碎片化.

2.2 大膽猜想,培養(yǎng)學生的思維與探究能力

探究能力是人們?yōu)榘l(fā)現(xiàn)并描述事物之間的聯(lián)系,理解現(xiàn)象的本質(zhì),獲取知識,形成思想觀念,掌握科學研究方法而進行的各種探索研究活動的能力.本節(jié)課中,筆者通過經(jīng)典問題再現(xiàn),引導學生觀察數(shù)列特點,歸納出斐波那契數(shù)列的遞推關系,猜想斐波那契數(shù)列的通項公式,展開聯(lián)想,嘗試多種方法進行探究,并不斷調(diào)整研究方向,最終運用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解出其通項公式來驗證猜想.引導學生通過對斐波那契數(shù)列前幾項進行適當運算,觀察其結(jié)果,進行合情推理,猜想其性質(zhì),并驗證猜想,得出結(jié)論.先讓學生思考、感悟,經(jīng)歷“實驗—觀察—猜想—證明”的探究過程,然后上升為理性認識,從中獲得“如何思考”的體驗,這樣得到的知識與方法才能轉(zhuǎn)化為認識世界的智慧,有利于發(fā)展學生探究能力和培養(yǎng)理性精神.

2.3 精準配對,促進數(shù)學文化與核心素養(yǎng)融合

精準配對題材指的是將數(shù)學文化材料與所對應的數(shù)學核心素養(yǎng)進行配對.斐波那契數(shù)列的遞推關系、通項公式和性質(zhì)的探究,都是數(shù)學抽象的體現(xiàn).斐波那契數(shù)列的通項公式和性質(zhì)的猜想,都是通過邏輯推理加以證明得到的.通項公式和性質(zhì)推導過程中的運算思路與方法,對培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)起著非常重要的作用.教師在挖掘與甄選數(shù)學文化素材時,不僅要考慮素材的“趣味性、科學性、有效性和人文性”,更要研究“精準配對題材”,讓學生在品味數(shù)學文化韻味的同時,培育數(shù)學核心素養(yǎng),發(fā)展數(shù)學文化涵養(yǎng).Z