殷偉康

? 江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué),有利于激發(fā)學(xué)生興趣、開(kāi)闊視野,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的教育功能,并要求數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.本文中以筆者的市級(jí)公開(kāi)課“斐波那契數(shù)列”課堂教學(xué)實(shí)踐為例,闡述“基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)理念和思路,如何將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中受到數(shù)學(xué)文化的熏陶,體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力,促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展”.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情境,經(jīng)典再現(xiàn),發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問(wèn)題1202年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤(pán)書(shū)》一書(shū)中提出了“兔子的繁殖”問(wèn)題:有一個(gè)人第一個(gè)月底時(shí)在一間房子里放了一對(duì)剛出生的小兔,假如每對(duì)小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔,再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔.如果不發(fā)生死亡,那么12個(gè)月后這個(gè)人有多少對(duì)兔子?

生:根據(jù)兔子的繁殖規(guī)律可以得到一個(gè)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…….這樣很容易知道12個(gè)月后共有144對(duì)兔子.

師:那么50個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子?

生:直接運(yùn)算有點(diǎn)繁,最好找出這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律.

生:觀察該數(shù)列的特點(diǎn),從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于自身的前兩項(xiàng)之和,如果用an表示第n個(gè)月兔子總對(duì)數(shù),那么a1=a2=1,an+an+1=an+2.

師:人們?yōu)榧o(jì)念斐波那契,把這種數(shù)列叫斐波那契數(shù)列.很好!找到了這個(gè)數(shù)列的遞推公式后,按照我們以前研究數(shù)列的方式,那么如何求出它的通項(xiàng)公式呢?

1.2 展開(kāi)探究,不斷嘗試,建構(gòu)數(shù)學(xué)

師:這種猜想嘗試很值得同學(xué)們學(xué)習(xí)和借鑒!還有沒(méi)有其他求解方法?

生:類比之前求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法,通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求它的通項(xiàng)公式,設(shè)an+2-an+1=λ(an+1-an),則an+2=(λ+1)an+1-λan.

師:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是一個(gè)比較復(fù)雜的式子,一個(gè)參數(shù)不足以解決問(wèn)題.

生:設(shè)an+2-λ1an+1=λ2(an+1-λ1an),則有an+2=(λ1+λ2)an+1-λ1λ2an.

①

②

生:黃金分割比.

1.3 激發(fā)思維,引深探究,欣賞數(shù)學(xué)

生:斐波那契數(shù)列中的每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值隨著項(xiàng)數(shù)的增大會(huì)趨近于0.618.

生:繪畫(huà)、雕塑等藝術(shù)作品中,如斷臂的維納斯、名畫(huà)《蒙娜麗莎的微笑》中都有黃金分割的體現(xiàn).

師:斐波那契數(shù)列不僅具有神秘的自然之美,還有許多數(shù)學(xué)之美(有趣的性質(zhì))等待著我們?nèi)ヌ骄?下面按小組合作的方式探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì).

生:1+1+2=4=5-1,1+1+2+3=8-1,1+1+2+3+5=13-1,由此猜想并證明,得到結(jié)論a1+a2+……+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+……+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,即斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和等于第n+2項(xiàng)與1的差.

生:運(yùn)用遞推關(guān)系,可推導(dǎo)出a1+a3+……+a2n-1=a2n,a2+a4+……+a2n=a2n+1-1.

即斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)平方和等于第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)的積.

師:非常好!以上同學(xué)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列許多有趣的性質(zhì),都是通過(guò)嘗試對(duì)該數(shù)列前幾項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算,觀察其運(yùn)算結(jié)果的特點(diǎn),猜想并推導(dǎo)出它的一般規(guī)律.

1.4 總結(jié)歸納,方法提煉,思想升華

師:本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容?

生:本節(jié)課主要是研究斐波那契數(shù)列,由遞推公式推導(dǎo)其通項(xiàng)公式,歸納并證明了斐波那契數(shù)列一些有趣的性質(zhì).

師:本節(jié)課涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

生:待定系數(shù)方法,歸納猜想.

師:很好!歸納法是合情推理的主要方式之一,也是探究未知世界的重要方法.世界上有許多斐波那契迷,成立了斐波那契協(xié)會(huì),繼續(xù)探究其數(shù)列的奧妙.

2 教學(xué)反思

2.1 挖掘素材,促進(jìn)問(wèn)題情境的合理創(chuàng)設(shè)

基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué),要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)放性以及向其他領(lǐng)域的廣泛滲透性,體驗(yàn)到資源對(duì)其經(jīng)驗(yàn)的支撐,領(lǐng)悟到同學(xué)之間的互動(dòng)交流對(duì)知識(shí)構(gòu)建的意義,進(jìn)而體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種文化”,從而對(duì)學(xué)生進(jìn)行深刻的文化陶醉與心靈提升.在教學(xué)過(guò)程中,教師要善于挖掘與篩選更多的數(shù)學(xué)文化素材,采用更加自然的方式融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中.本案例是通過(guò)再現(xiàn)“斐波那契數(shù)列”的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展過(guò)程,將數(shù)學(xué)文化自然有序穿插和有選擇性地整合融入,引導(dǎo)學(xué)生圍繞斐波那契數(shù)列展開(kāi)對(duì)其通項(xiàng)公式、性質(zhì)進(jìn)行探究,并穿插生活和其他領(lǐng)域中有關(guān)斐波那契數(shù)列的案例,了解斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)系,欣賞數(shù)學(xué)之美,這樣有效地避免了知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)文化內(nèi)容學(xué)習(xí)的碎片化.

2.2 大膽猜想,培養(yǎng)學(xué)生的思維與探究能力

探究能力是人們?yōu)榘l(fā)現(xiàn)并描述事物之間的聯(lián)系,理解現(xiàn)象的本質(zhì),獲取知識(shí),形成思想觀念,掌握科學(xué)研究方法而進(jìn)行的各種探索研究活動(dòng)的能力.本節(jié)課中,筆者通過(guò)經(jīng)典問(wèn)題再現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列特點(diǎn),歸納出斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系,猜想斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式,展開(kāi)聯(lián)想,嘗試多種方法進(jìn)行探究,并不斷調(diào)整研究方向,最終運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解出其通項(xiàng)公式來(lái)驗(yàn)證猜想.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)斐波那契數(shù)列前幾項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算,觀察其結(jié)果,進(jìn)行合情推理,猜想其性質(zhì),并驗(yàn)證猜想,得出結(jié)論.先讓學(xué)生思考、感悟,經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)—觀察—猜想—證明”的探究過(guò)程,然后上升為理性認(rèn)識(shí),從中獲得“如何思考”的體驗(yàn),這樣得到的知識(shí)與方法才能轉(zhuǎn)化為認(rèn)識(shí)世界的智慧,有利于發(fā)展學(xué)生探究能力和培養(yǎng)理性精神.

2.3 精準(zhǔn)配對(duì),促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)融合

精準(zhǔn)配對(duì)題材指的是將數(shù)學(xué)文化材料與所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行配對(duì).斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式和性質(zhì)的探究,都是數(shù)學(xué)抽象的體現(xiàn).斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)的猜想,都是通過(guò)邏輯推理加以證明得到的.通項(xiàng)公式和性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中的運(yùn)算思路與方法,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)起著非常重要的作用.教師在挖掘與甄選數(shù)學(xué)文化素材時(shí),不僅要考慮素材的“趣味性、科學(xué)性、有效性和人文性”,更要研究“精準(zhǔn)配對(duì)題材”,讓學(xué)生在品味數(shù)學(xué)文化韻味的同時(shí),培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展數(shù)學(xué)文化涵養(yǎng).Z