李 斌，劉 暉，曾耀祥，崔 苗，呂 軍

(1. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

大推力發(fā)動(dòng)機(jī)多機(jī)并聯(lián)技術(shù)帶來(lái)了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的靜力和動(dòng)態(tài)力耦合作用及在聯(lián)合載荷作用下的非線性傳遞問(wèn)題[1-2]，成為了大型運(yùn)載火箭研究的關(guān)鍵技術(shù)。目前對(duì)于大推力多臺(tái)并聯(lián)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的力學(xué)研究較少。在已有的研究中，一般從火箭發(fā)動(dòng)機(jī)傳力結(jié)構(gòu)的靜力分析和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)兩方面開(kāi)展。國(guó)外一些工程人員對(duì)Falcon 9重型火箭的八爪式機(jī)架、土星-5重型火箭的十字橫梁結(jié)構(gòu)分別從靜力承載和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與分析[3-4]。文獻(xiàn)[5]研究了750 kN推力火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，分析了靜態(tài)載荷對(duì)應(yīng)力分布和結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的影響。我國(guó)對(duì)于大推力火箭的研究多數(shù)都針對(duì)于四機(jī)及以下并聯(lián)火箭。文獻(xiàn)[6]建立了某雙臺(tái)液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的整機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)有限元計(jì)算模態(tài)頻率并與試驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果吻合良好。文獻(xiàn)[7]針對(duì)大推力液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)對(duì)啟動(dòng)沖擊環(huán)境的適應(yīng)性問(wèn)題，基于沖擊動(dòng)力學(xué)理論，提出了研究發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)沖擊力學(xué)環(huán)境效應(yīng)的非線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方法。文獻(xiàn)[8]采用子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)建模綜合技術(shù)，對(duì)四機(jī)并聯(lián)液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了研究。另外還有一些學(xué)者[9-11]從動(dòng)力學(xué)優(yōu)化角度，對(duì)大推力液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。上述這些研究中只以靜或動(dòng)單方面的特性作為參考指標(biāo)。文獻(xiàn)[12-13]則從溫度、應(yīng)力及流體附加質(zhì)量等影響因素，詳細(xì)介紹了大推力火箭結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析所要考慮的問(wèn)題。多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭在工作過(guò)程中，由于機(jī)架之間存在靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力的復(fù)雜傳遞，巨大的靜態(tài)推力勢(shì)必會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響。因此，若需要考慮機(jī)架和發(fā)動(dòng)機(jī)在多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)工作下載荷及力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性問(wèn)題，就要通過(guò)動(dòng)靜耦合的仿真計(jì)算方法考量結(jié)構(gòu)的動(dòng)靜強(qiáng)度，進(jìn)一步降低后續(xù)點(diǎn)火試驗(yàn)設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

本文開(kāi)展火箭7臺(tái)并聯(lián)發(fā)動(dòng)機(jī)推力傳遞結(jié)構(gòu)動(dòng)靜耦合計(jì)算方法的研究。通過(guò)研究在大推力作用下的幾何非線性表達(dá)式，分析由發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力對(duì)機(jī)架結(jié)構(gòu)頻率的影響。在靜力分析的基礎(chǔ)上，開(kāi)展振動(dòng)模態(tài)分析及試驗(yàn)工況下隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析，對(duì)火箭多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)推力傳遞結(jié)構(gòu)動(dòng)靜聯(lián)合試驗(yàn)有一定的參考意義。

1 動(dòng)靜耦合分析方法

1.1 幾何非線性剛度陣

多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭的推力傳遞結(jié)構(gòu)是一種基于燃料貯箱箱底與火箭殼體結(jié)構(gòu)聯(lián)合傳力結(jié)構(gòu)，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)又是通過(guò)由高強(qiáng)度材料焊接而成的桿系結(jié)構(gòu)與上方貯箱和殼段相連。在發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，巨大的推力載荷容易使桿系結(jié)構(gòu)發(fā)生非線性變形，進(jìn)而影響其結(jié)構(gòu)剛度，并使動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生變化。

非線性問(wèn)題中主要包括材料非線性、幾何非線性和狀態(tài)非線性3類。其中幾何非線性一般是由于變形后的狀態(tài)與變形之前相差較大，必須在變形后的狀態(tài)下重新建立物體的平衡方程，來(lái)保證問(wèn)題的準(zhǔn)確性，其本質(zhì)就是結(jié)構(gòu)的剛度陣不斷變化。本文僅考慮幾何非線性條件下機(jī)架梁結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。幾何非線性剛度陣的組成分為3個(gè)部分，即小位移線性剛度矩陣、初位移剛度矩陣和幾何剛度矩陣的疊加構(gòu)成。這里以兩節(jié)點(diǎn)組成的桿單元為例，來(lái)模擬機(jī)架中桿系結(jié)構(gòu)的非線性行為。

假設(shè)機(jī)架單根桿系結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為l，彈性模量為E，且兩端節(jié)點(diǎn)位移矩陣可表示為q={ui，vi，uj，vj}T。受到軸向力產(chǎn)生的位移可分為軸向位移u和橫向位移v，考慮桿的非線性，因此所產(chǎn)生的軸向應(yīng)變?chǔ)舩表示為[14]

(1)

d={u,v}=[NiI,NjI]q

(2)

式中，I為與節(jié)點(diǎn)數(shù)量相關(guān)的單位矩陣，這里為二階單位矩陣。

將式(2)代入式(1)中，可得

(3)

(4)

根據(jù)彈性力學(xué)基本方程，將各參數(shù)代入式(3)中，可以得到小位移線性剛度陣K0、幾何剛度矩陣Kσ和初位移剛度矩陣KL分別為

(5)

(6)

(7)

式中，F(xiàn)為機(jī)架桿在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)所受的軸向力。

根據(jù)式(5)～式(7)，可以推導(dǎo)出預(yù)應(yīng)力和非線性條件下的單元?jiǎng)偠染仃嘖T為

KT=K0+KL+Kσ=

(8)

綜上，通過(guò)考慮機(jī)架桿系結(jié)構(gòu)的大位移、初始應(yīng)力兩種非線性行為的影響，在理論上推導(dǎo)了非線性剛度陣的具體形式。

1.2 動(dòng)力學(xué)分析理論

動(dòng)靜耦合計(jì)算方法的一般流程是先需要開(kāi)展靜力載荷的非線性分析，提取非線性剛度矩陣，以此剛度陣計(jì)算結(jié)構(gòu)模態(tài)，然后分析隨機(jī)振動(dòng)的功率譜，并處理模態(tài)解，最后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理。因此，在有限元計(jì)算方法中，幾何非線性作為分析的初始條件會(huì)被繼承于模態(tài)分析中，模態(tài)分析中特征值的計(jì)算是一個(gè)線性過(guò)程。下面對(duì)考慮靜載的隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)。

根據(jù)上述非線性剛度陣代入到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)自由振動(dòng)方程中，可得

(9)

式中，M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，C為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，KT為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，x為結(jié)構(gòu)的位移列陣。

由式(9)可得預(yù)應(yīng)力條件下的結(jié)構(gòu)特征值方程為

(KT-ω2M)Φ=0

(10)

式中，Φ為特征向量，ω為結(jié)構(gòu)固有頻率。

將位移列陣x分為自由和約束兩部分，分別為xf和xr，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程可分解為[15-17]

(11)

式中，q為節(jié)點(diǎn)載荷向量。

結(jié)構(gòu)的自由位移向量xf可分解為擬靜位移和動(dòng)位移兩項(xiàng)，即xf=xs+xd，xs可由下式求得

(12)

(13)

利用模態(tài)疊加法解耦可得

(14)

根據(jù)上述理論，首先求解出等效模態(tài)載荷，進(jìn)而代入到解耦后的單自由度方程求解廣義位移。

2 動(dòng)靜耦合仿真計(jì)算

2.1 多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)

火箭7臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)安裝，排布方式如圖1(a)所示。其傳力方式為：發(fā)動(dòng)機(jī)—多個(gè)并聯(lián)小機(jī)架—主梁—箱底和過(guò)渡段—燃料貯箱，如圖1(b)所示，每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)通過(guò)1個(gè)小機(jī)架共同連接在圓形主梁上，而每個(gè)小機(jī)架又由1個(gè)傳力環(huán)和6根高強(qiáng)度鋼管構(gòu)成。主梁內(nèi)圈與上端的錐形箱底連接，外圈與后過(guò)渡段連接，共同將推力傳遞到貯箱壁上。

(a)7臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)排布方式

(b)推力傳遞結(jié)構(gòu)各部件及傳力方式圖1 7臺(tái)并聯(lián)火箭布局和傳力方式示意圖Fig.1 The seven parallel rockets layout and force transmission method

多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭有限元模型的建立中，考慮結(jié)構(gòu)形式和網(wǎng)格適應(yīng)性問(wèn)題，箱底、過(guò)渡段等薄壁結(jié)構(gòu)采用梁殼單元組合加筋形式進(jìn)行建模；非薄壁結(jié)構(gòu)比如小機(jī)架的傳力環(huán)采用實(shí)體單元建模。此外，該模型中小機(jī)架和箱底殼段的材料分別采用高強(qiáng)度鋼和鋁合金，兩種材料物性參數(shù)如表1所示。

表1 材料物性參數(shù)

該結(jié)構(gòu)在發(fā)射條件下所受靜載與約束可進(jìn)行簡(jiǎn)化，見(jiàn)圖2。將每個(gè)小機(jī)架傳力環(huán)的底端面固定，在燃料貯箱上方端口加載向下的壓力等效為發(fā)動(dòng)機(jī)總推力，并在箱底處施加內(nèi)壓等效為貯箱內(nèi)油壓。

圖2 火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)靜態(tài)邊界條件Fig.2 The static boundary conditions of rocket thrust transmission structure

2.2 多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

考慮靜載對(duì)于火箭機(jī)架結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，首先開(kāi)展無(wú)靜載下七機(jī)并聯(lián)火箭模態(tài)分析。只將7個(gè)傳力環(huán)的底端面固定，計(jì)算僅在約束條件下的各階典型振型下的頻率；接著進(jìn)行模態(tài)分析，底端的約束不變，計(jì)算在考慮靜載時(shí)各階典型振型下的頻率，兩種工況下的頻率結(jié)果如表2所示。對(duì)比兩種結(jié)構(gòu)在各階典型振型下的頻率結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)在整體變形的振型下頻率降低，其本質(zhì)在于機(jī)架桿在靜載作用下部分桿件產(chǎn)生了非線性大變形，幾何剛度矩陣發(fā)生變化。箱底呼吸模態(tài)作為其中的局部模態(tài)，在內(nèi)壓的作用下，頻率較無(wú)內(nèi)壓時(shí)升高，且升高幅度較大，說(shuō)明內(nèi)壓對(duì)于局部呼吸模態(tài)的影響較為明顯。另外，考慮靜載后的各階典型振型較無(wú)靜載時(shí)無(wú)明顯變化，考慮靜載后的各階振型如圖3所示。

表2 有無(wú)靜載時(shí)推力傳遞結(jié)構(gòu)頻率

(a)貯箱一階彎曲

(b)貯箱扭轉(zhuǎn)

(c)箱底呼吸

(d)機(jī)架一階彎曲

(e)整體Z向拉伸圖3 推力傳遞結(jié)構(gòu)各階振型圖Fig.3 The modal of thrust transmission structure

2.3 多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析

開(kāi)展考慮靜載的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，軸向隨機(jī)振動(dòng)功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)如表3所示，設(shè)定阻尼系數(shù)為0.02?；谏鲜瞿B(tài)分析，分別計(jì)算有無(wú)靜載時(shí)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的軸向均方根應(yīng)力與加速度，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表 3 軸向隨機(jī)功率譜密度

表4 各部件軸向最大均方根應(yīng)力與加速度

以上計(jì)算結(jié)果可以看出，在靜載下，機(jī)架整體的軸向最大均方根應(yīng)力和加速度相比于無(wú)靜載時(shí)略有提升。其中，小機(jī)架桿的提升幅度最為明顯，原因是小機(jī)架桿作為發(fā)動(dòng)機(jī)和上方貯箱的連接結(jié)構(gòu)，其剛性對(duì)于整體模態(tài)的影響較大，當(dāng)發(fā)生壓力靜載時(shí)，小機(jī)架桿的變形最為明顯。因此，固有頻率的變化導(dǎo)致小機(jī)架桿的響應(yīng)變化最為明顯。各部件的均方根應(yīng)力云圖如圖4所示。主梁均方根應(yīng)力最大位置均在與上方殼段連接的位置，均方根應(yīng)力值約為105 MPa。小機(jī)架中最大均方根應(yīng)力為根部位置，約為136 MPa。傳力環(huán)在每個(gè)立筋處應(yīng)力相對(duì)最大，其中，最大均方根應(yīng)力在靠外側(cè)的立筋根部，應(yīng)力約為333 MPa。因此，在隨機(jī)載荷下應(yīng)注意結(jié)構(gòu)中應(yīng)力較大的地方，加載靜載之后，尤其是一些承力主體的根部連接部位，易產(chǎn)生應(yīng)力集中，需進(jìn)一步加強(qiáng)設(shè)計(jì)。

(a)主梁均方根應(yīng)力

(b)機(jī)架桿均方根應(yīng)力

(c)傳力環(huán)均方根應(yīng)力圖4 火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部件均方根應(yīng)力結(jié)果Fig.4 The RMS stress results of key components in rocket thrust transmission structure

3 結(jié)論

針對(duì)多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)在工作中力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性問(wèn)題，開(kāi)展了動(dòng)靜耦合計(jì)算方法研究。并得到了以下結(jié)論：

1)推導(dǎo)了非線性剛度表達(dá)形式，應(yīng)用于模態(tài)分析。在靜載作用下，推力傳遞結(jié)構(gòu)整體模態(tài)的頻率相比無(wú)靜載有所降低，結(jié)構(gòu)發(fā)生了“應(yīng)力軟化”現(xiàn)象。

2)分析了載荷作用于不同部件時(shí)對(duì)模態(tài)的影響程度。由于內(nèi)壓的存在，箱底局部模態(tài)頻率與整體模態(tài)頻率變化趨勢(shì)相反，因此內(nèi)壓對(duì)于火箭推力傳遞結(jié)構(gòu)箱底的動(dòng)力學(xué)特性的影響要大于推力的影響。

3)開(kāi)展了有無(wú)靜載下隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，結(jié)果顯示，結(jié)構(gòu)中不同部件的響應(yīng)變化取決于該部件對(duì)整體模態(tài)的貢獻(xiàn)，并提出了薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)火箭多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)并聯(lián)推力傳遞結(jié)構(gòu)動(dòng)靜聯(lián)合試驗(yàn)有一定的參考意義。