趙潤柯, 桂 湘, 方守文

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

流形上熱方程的梯度估計是非常重要的幾何分析工具之一. 從梯度估計出發(fā)能得到解的估計和Harnack不等式. Li和Yau[1]最早利用拋物型方程的極值原理, 在Ricci曲率有下界的完備流形上證明了熱方程正解的梯度估計, 故又稱之為Li-Yau型微分Harnack不等式. 繼Peralman證明了龐卡萊猜想后, 熱方程梯度估計的研究備受關(guān)注. Zhang等[2]證明了緊致黎曼流形在積分Ricci曲率條件下熱方程正解的梯度估計和熱核的高斯型上界; Yan等[3]研究了緊致和完備黎曼流形在Ricci曲率非負(fù)條件下雙重非線性熱方程正解的一類梯度估計; Wang[4]在Bakry-émery曲率有下界的流形上得到了一類加權(quán)p-拉普拉斯熱方程的梯度估計; Dung等[5-6]先后在完備非緊致黎曼流形和帶緊致邊界的光滑度量測度空間上研究了熱方程的梯度估計; Yang等[7]得到Ricci流下一類非線性拋物方程的局部梯度估計; Zhang[8]研究了黎曼流形的度量滿足Ricci流時其微分形式反向熱方程解的梯度估計; Cheng等[9-10]研究了芬斯勒流形上度量滿足Ricci流時一些熱方程正解的梯度估計; 筆者在前期工作中[11]證明了度量滿足廣義Ricci流時帶勢能的熱方程正解的一些梯度估計, 并得到廣義Ricci流下相應(yīng)的F泛函和W泛函的單調(diào)性. Ricci流與熱方程耦合形成廣義Ricci流, 其研究結(jié)果與廣義相對論中的愛因斯坦真空方程靜態(tài)解的存在性問題相關(guān). 調(diào)和Ricci流則是由Ricci流與調(diào)和映射熱流耦合得到, 它不僅有類似Ricci流和廣義Ricci流的性質(zhì), 而且奇點較Ricci流少很多,故引起眾多學(xué)者的興趣[12-13]. 本文擬考慮流形度量滿足調(diào)和Ricci流, 研究熱方程正解的梯度估計及其應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

考慮黎曼流形(M,g0)和(N,h),給定一個初始光滑映射φ0:M→N.調(diào)和Ricci流方程為

(1)

下面令M為一個n維(n≥3)閉黎曼流形, 其度量滿足調(diào)和Ricci流,u(x,t)為M上的光滑函數(shù)且滿足熱方程

?tu(x,t)=Δu(x,t).

(2)

首先研究在調(diào)和Ricci流下熱方程(2)正解的梯度估計, 然后進(jìn)一步研究相應(yīng)的共軛熱方程

?tu(x,t)=-Δu(x,t)+Su(x,t),

(3)

得到其基本解的一個高斯型上界.

2 主要引理

引理1[13]設(shè)(g(x,t),φ(x,t))是調(diào)和Ricci流(1)在M×[0,T]上的解, 且λ0>0, 則

其中v∈W1,2(M,g(t)),t∈(0,T),A為依賴于n、λ0、g0和φ0的常數(shù).

引理2設(shè)(g(x,t),φ(x,t))是調(diào)和Ricci流(1)在M×[0,T]上的解,u(x,t)為M×[0,T]上的非負(fù)光滑函數(shù), 滿足?tu(x,t)≥-Δu(x,t)+Su(x,t).若Sy≥0,λ0>0, 則?r>0,

其中Qr(x,t)={(y,s)|y∈M,t≤s≤t+r2,d(x,y,s)≤r},d(x,y,s)為流形M上點x與y關(guān)于度量g(·,s)的距離, 常數(shù)C依賴于n、λ0、g0和φ0.

證明 給定任意常數(shù)p≥1, 設(shè)ω=up, 則有

(4)

(5)

其中t≤τ

由Sy≥0, 可知

所以?sψ=η(s)φ′(d(y,x,s))?sd(y,x,s)+η′(s)φ(d(y,x,s))≥η′(s)φ(d(y,x,s)).于是,有

由赫爾德不等式和引理1, 可得

令θ=1+2/n, 對該不等式關(guān)于變量s在區(qū)間[t,t+b2r2]上積分, 可得

再由ω=up和截斷函數(shù)ψ的定義, 可知

進(jìn)一步迭代可得

令i→∞,則有如下L2均值不等式:

其中常數(shù)C依賴于n、λ0、g0和φ0.進(jìn)一步地, 可推出L1均值不等式, 引理2得證.

3 梯度估計及應(yīng)用

根據(jù)拋物方程的極值原理, 證明調(diào)和Ricci流下熱方程(2)正解的一個梯度估計.

定理1設(shè)(g(x,t),φ(x,t))是調(diào)和Ricci流(1)在M×[0,T]上的解,u(x,t)是熱方程(2)的正解, 則?(x,t)∈M×[0,T], 有

其中U=supM×[0,T]u(x,t).另外, 給定任意的正數(shù)k,?x,y∈M,?0

證明 由u(x,t)是熱方程(2)的正解,可知

聯(lián)立兩式,可得

又

故

故定理1中第一個不等式成立.于是, 有

?x,y∈M, 將上述不等式在連接點x和y的測地線上積分,可得

不等式左右兩邊平方,得

根據(jù)均值不等式,有

其中k>0.由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 定理1得證.

下面應(yīng)用引理3、定理1和指數(shù)加權(quán)法,給出共軛熱方程(3)基本解的一個高斯型估計.

定理2設(shè)(g(x,t),φ(x,t))是調(diào)和Ricci流(1)在M×[0,T]上的解,G(x,t;y,τ)是共軛熱方程(3)的基本解.若Sy≥0, 且λ0>0, 則?t∈(0,T), ?x,y∈M,

因為Sy≥0,λ<0, ?td(x,x0,t)≤0, 所以

分部積分,可得

另外,

于是,有

對上式在區(qū)間[t,T]積分,可得

(6)

取x=x0,因λ<0,故

由式(6),可得

即

(7)

其中C0為常數(shù).選取恰當(dāng)?shù)膄, 可得

(8)

另外, 由共軛熱方程基本解的伴隨性質(zhì)可知, 基本解G(x0,t;z,s)滿足熱方程

?sG(x0,t;z,s)=ΔzG(x0,t;z,s).

(9)

最終, 因為Ricci曲率非負(fù), 由體積比較定理,得

其中C1=C0/4.結(jié)合x0和y0的任意性, 定理2得證.