張麗麗, 麻作軍, 齊 淵

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院, 甘肅 慶陽(yáng) 745000)

自20世紀(jì)20年代Lotka和Volterra提出經(jīng)典的捕食者-食餌模型以來(lái), 生物數(shù)學(xué)家對(duì)生物數(shù)學(xué)進(jìn)行了廣泛深入的研究, 同時(shí)結(jié)合具體的生態(tài)背景和生物意義不斷提出更合理的反應(yīng)函數(shù)．在實(shí)際生產(chǎn)中, 為了兼顧物種的長(zhǎng)期存活以及自然生物鏈的不間斷和最大收獲, 學(xué)者們建立了帶有收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)[1-4]．Gupta等[5]對(duì)帶有Michaelis-Menten型食餌收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性和分支分析, 其他收獲率捕食模型的研究參見文獻(xiàn)[6-10]．本文擬考慮帶收獲率的Lotka-Volterra捕食者-食餌模型

(1)

其中u(t)和v(t)分別表示食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度; 生命系數(shù)Γ,r,γ,h都是正參數(shù), 分別表示捕食者的增長(zhǎng)率、食餌的增長(zhǎng)率、食餌的死亡率和收獲率．根據(jù)Keller等[11]針對(duì)細(xì)胞向信號(hào)物質(zhì)濃度高的區(qū)域聚集現(xiàn)象提出的趨化模型, 可得模型(1)的趨化模型為

(2)

1 模型的穩(wěn)定性與趨化導(dǎo)致的不穩(wěn)定性

(3)

對(duì)系統(tǒng)(3)在(0,0)處進(jìn)行線性化處理,得近似方程

(4)

(5)

則系統(tǒng)(4)可轉(zhuǎn)化為

(6)

λ2-T2(k)λ+H2(k2)=0,

(7)

是H2(k2)=0的2個(gè)根．

注2由于trL2k≠0, 故該趨化系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)Hopf分支．

2 數(shù)值模擬與討論

圖1 食餌種群密度隨時(shí)間和空間的變化趨勢(shì)

圖2 捕食者種群密度隨時(shí)間和空間的變化趨勢(shì)