王曉雷，張 臣，郭飛亞

（中原工學(xué)院電子信息學(xué)院，鄭州 450007）

0 引言

隨著航空技術(shù)的飛速發(fā)展，航空領(lǐng)域?qū)涣麟娫垂╇娤到y(tǒng)輸出的電壓、電流頻率的要求也越來越高。并且由于航空領(lǐng)域的特殊性，需要在保證交流電源能輸出高頻的前提下具有更高的精確度和穩(wěn)定性，使輸出的電能質(zhì)量更高。360～800 Hz 變頻逆變電源可以應(yīng)用于航空領(lǐng)域，滿足航空領(lǐng)域?qū)涣麟娫吹母哳l需求，但是傳統(tǒng)的變頻逆變器存在控制精度不高，輸出電壓波形畸變等問題，導(dǎo)致輸出的電能質(zhì)量較差。因此在不考慮變頻逆變器拓?fù)淝闆r下，變頻逆變器的控制策略研究引起了廣泛關(guān)注。

在變頻逆變器的控制策略中，最常用的有PI 控制、PR 控制、重復(fù)控制（RC）以及復(fù)合控制等控制方式。其中PI 控制應(yīng)用最為廣泛，因?yàn)槠湓O(shè)計(jì)簡單，參數(shù)易整定[1]，但是PI 控制很難高精度地控制交流量，同時(shí)在帶整流性負(fù)載時(shí)，輸出電壓的穩(wěn)態(tài)誤差較大[2]。因此，有學(xué)者提出采用PR控制，設(shè)計(jì)多個(gè)諧振點(diǎn)去抑制輸出電壓波形發(fā)生畸變[3-4]，但是這種控制方案僅對于頻率小范圍變化的逆變器有效，而對于可大范圍調(diào)頻的變頻逆變器控制效果較差[5]?；趦?nèi)模原理的RC 能對輸入信號實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤[6-7]，但是RC 對于變頻逆變器參考頻率大范圍變化時(shí)，控制器則難以跟蹤輸入信號，存在較大靜差。復(fù)合控制集合了多種控制方式的優(yōu)點(diǎn)，但是其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)計(jì)算困難，增加了設(shè)計(jì)難度，不利于實(shí)際應(yīng)用。

本文將雙分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制的控制策略應(yīng)用到360～800 Hz單相變頻逆變器中，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)延遲FIR 濾波器，分?jǐn)?shù)相位補(bǔ)償，簡化了控制器的參數(shù)計(jì)算，保證了控制器對輸入信號的精確跟蹤，以及相位補(bǔ)償?shù)木?。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能[8]，對逆變器的輸出波形質(zhì)量有了顯著的改善，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)證明方案的可行性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

單相中頻逆變器模型如圖1 所示，圖中udc為直流母線電壓；VT1～VT4 為逆變器開關(guān)管；ui為橋臂側(cè)電壓；iL為電感電流；R為電路等效電阻；L為濾波電感；ic為電容電流；C為濾波電容；io為輸出電流；uo為輸出電壓；uref為參考電壓。

圖1 單相中頻逆變器模型

由此可得單相中頻逆變器的數(shù)學(xué)模型為：

式中：d(t)為占空比。

忽略系統(tǒng)的采樣延時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，變換后可得被控對象的傳遞函數(shù)為：

2 分?jǐn)?shù)延遲FIR濾波器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的重復(fù)控制器對頻率變化非常敏感，即便是很小的頻率變化，也會使得傳統(tǒng)重復(fù)控制器性能下降，抑制諧波能力不足，導(dǎo)致逆變器輸出波形質(zhì)量變差。分?jǐn)?shù)階延遲的思想，就是通過對重復(fù)控制器內(nèi)膜的改造，可以得到任意數(shù)值的N，使重復(fù)控制器對參考頻率變化具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。

本文方案就是基于有限沖擊響應(yīng)（FIR）濾波器[9-11]的分?jǐn)?shù)延遲近似方法。當(dāng)周期采樣數(shù)N不為整數(shù)時(shí)，可以令：

式中：int(N)為整數(shù)部分；D為分?jǐn)?shù)部分。

則可以得到：

z-D可以使用拉格朗日線性插值法[12]進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算公式如式（5）所示。

式中：h(n)是濾波器的系數(shù)；M是濾波器的階數(shù)；M的取值一般為D的2倍。

在做分?jǐn)?shù)延遲時(shí)，D的取值范圍是1～2，所以，取M= 3，表1列出了z-1.1～z-1.9的系數(shù)。

表1 M=3時(shí)z-1.1～z-1.9的系數(shù)

以實(shí)際參數(shù)為例，當(dāng)載波頻率fs= 40 kHz，輸出頻率為f= 600 Hz，此時(shí)N≈66.7，則有z-66.7=z-65·z-1.7，由表1可得：

3 分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

重復(fù)控制的基本原理就是內(nèi)模原理[13]，內(nèi)模原理的意義就是將輸入信號放在一個(gè)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)中，當(dāng)不存在輸入信號時(shí)控制器也能穩(wěn)定的輸出信號，保證輸入信號能被輸出信號精確地跟蹤。

重復(fù)控制能將上一周期的誤差信號與本周期的誤差信號一起施加到被控對象上，重復(fù)利用誤差信號達(dá)到重復(fù)控制的效果，從而提高控制器的跟蹤精度。傳統(tǒng)的重復(fù)控制內(nèi)膜的傳遞函數(shù)為：

離散后的重復(fù)控制內(nèi)膜為：

式中：N=fs/f，N為每個(gè)周期采樣數(shù)，fs為載波頻率，f為輸出頻率；z-N為基波周期延遲環(huán)節(jié)，作用是將控制器的輸出延遲一個(gè)基波環(huán)節(jié)；Q(z)一般為低通濾波器或是一個(gè)小于1的常數(shù)[14]，用來削弱誤差信號累加造成的影響。

本文采用了一種基于有限脈沖響應(yīng)的分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制的控制方案，其控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)框圖

圖中補(bǔ)償環(huán)節(jié)C(z) =krzkS1(z)S2(z)，比例項(xiàng)kr為幅值增益，可以用來控制加入補(bǔ)償量的強(qiáng)度。增大kr，系統(tǒng)的響應(yīng)速度會變快，但是系統(tǒng)的穩(wěn)定性會變差。zk為相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)（k＞0），用來補(bǔ)償由控制對象P(z)和低通濾波器S2(z)引起的系統(tǒng)相位滯后，使得zkS2(z)P(z)在中低頻段沒有相移。S1(z)為零相移陷波器，能將被控對象的中低頻段的增益校正為1，并抵消被控對象的諧振尖峰。S2(z)為低通濾波器，能增強(qiáng)前向通道的高頻衰減特性，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和高頻抗干擾能力。

3.1 Q（z）的設(shè)計(jì)

Q（z）可以削弱控制器誤差信號累加造成的影響，是控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤和維持穩(wěn)定性的重要參數(shù)。Q（z）一般設(shè)計(jì)為低通濾波器或是一個(gè)接近1，且小于1的常數(shù)。當(dāng)Q（z）取常數(shù)為1 的時(shí)候，能實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤，減小Q（z）會破壞無靜差特性，控制系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，但是諧波抑制能力會增強(qiáng)。

對比Q（z）取常數(shù)的方法，當(dāng)Q（z）為低通濾波器時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性會提高，但是在中高頻段諧波抑制能力會下降。為提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，經(jīng)過綜合分析，選取Q（z）為低通濾波器Q(z) =(z+ 2 +z-1)/4。

3.2 補(bǔ)償環(huán)節(jié)S1(z)、S2(z)的設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的零相位補(bǔ)償，補(bǔ)償器C（z）最好為控制對象P（z）的倒數(shù)。然而現(xiàn)實(shí)中往往無法獲得精確的P（z）模型。此外，逆模型可能具有單位圓以外的極點(diǎn)，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。最常用的方法就是根據(jù)P（z）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和頻率特性，通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的陷波器S1(z)、低通濾波器S2(z)、相位超前環(huán)節(jié)zk去補(bǔ)償P（z）。如圖3 所示，在未補(bǔ)償?shù)那闆r下，可以看出P（z）的幅頻特性曲線存在諧振峰。本文設(shè)計(jì)了一種零相移陷波器來抑制諧振峰，零相移陷波器基本公式如式（10）所示。

圖3 P（z）補(bǔ)償前后的幅頻特性曲線

式中：m為濾波器的階數(shù)。

式（10）可以寫為：

根據(jù)陷波器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，第一個(gè)陷波點(diǎn)是中頻范圍內(nèi)的諧振點(diǎn)。設(shè)S1(θ) = 0，則可以得到：

而ω= 2πfr，已知LC的諧振頻率為fr= 9 980 Hz，采樣時(shí)間Ts= 1/fs，載波頻率fs= 40 kHz，可得m≈2，因此陷波器的設(shè)計(jì)為：

從圖3 中可以看出，加入陷波器后只能在陷波點(diǎn)產(chǎn)生顯著衰減。為了在高頻范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)明顯的衰減，本文設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為8 kHz四階巴特沃斯低通濾波器[15]來增強(qiáng)高頻抑制能力，濾波器的傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)加入陷波器和低通濾波器補(bǔ)償之后的伯德圖如圖3 所示，不僅消除了諧振峰，更是增強(qiáng)了前向通道的高頻衰減特性，提高了系統(tǒng)的高頻抗干擾能力。

3.3 分?jǐn)?shù)相位超前FIR濾波器設(shè)計(jì)

采用整數(shù)階相位補(bǔ)償，k分別取值2、3、4 時(shí)，zk對S1(z)S2(z)P(z)相位補(bǔ)償如圖4所示。由圖可以看出當(dāng)k=4 時(shí)，隨著頻率的增大，zk對S1(z)S2(z)P(z)的相位補(bǔ)償明顯超過了其所需要的，達(dá)不到零相移的目的。而當(dāng)k=3 時(shí)，隨著頻率的增大，補(bǔ)償效果又略顯不足。可見，整數(shù)階相位補(bǔ)償不能解決使系統(tǒng)零相移的問題，本文采用了一種分?jǐn)?shù)相位超前的設(shè)計(jì)方案。

圖4 整數(shù)階相位補(bǔ)償相頻特性曲線

設(shè)計(jì)方法與上述分?jǐn)?shù)延遲FIR 濾波器設(shè)計(jì)方法相同，k的取值范圍為3～4 之間，取M= 7，然后求出z3.1～z3.9的表達(dá)式。以k= 3.4 為例，z3.4可以表示為z3.4=z5·z-1.6，由表1可得

則z3.4可以表示為：

根據(jù)所求出的z3.1～z3.9，采用分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償，補(bǔ)償效果如圖5 所示。從圖中可以看出當(dāng)k=3.4 時(shí)，zk對S1(z)S2(z)P(z)相位補(bǔ)償效果最好。

圖5 分?jǐn)?shù)階相位補(bǔ)償相頻特性曲線

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證雙分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制在360～800 Hz變頻逆變器應(yīng)用中的可行性和有效性，在MATLAB/Simulink中搭建了單相中頻逆變器的仿真模型。單相中頻逆變器模型相關(guān)參數(shù)如表2所示，實(shí)驗(yàn)以360、600、800 Hz三個(gè)參考頻率為例。

表2 單相中頻逆變器參數(shù)

4.1 逆變器頻率為360 Hz

當(dāng)逆變器帶整流性負(fù)載時(shí)，此時(shí)，N=111.1，傳統(tǒng)RC 和雙分?jǐn)?shù)階RC 的誤差收斂如圖6 所示，傳統(tǒng)RC 下輸出電壓誤差15 V 明顯大于雙分?jǐn)?shù)階RC 的10 V 誤差，顯然雙分?jǐn)?shù)階RC控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能更好。

圖6 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統(tǒng)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖7～8 所示。對比圖7（b）和圖8（b），傳統(tǒng)RC 和雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 分別為2.09%和1.63%，電壓波形未出現(xiàn)明顯畸變，且雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分?jǐn)?shù)階RC控制系統(tǒng)的諧波抑制能力更強(qiáng)。

圖8 雙分?jǐn)?shù)階RC下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

4.2 逆變器頻率為600 Hz

逆變器帶整流性負(fù)載時(shí)，此時(shí)，N=66.7，傳統(tǒng)RC和雙分?jǐn)?shù)階RC 的誤差收斂如圖9 所示，傳統(tǒng)RC 下輸出電壓誤差為30 V，而雙分?jǐn)?shù)階RC 下的誤差小于20 V，顯然雙分?jǐn)?shù)階RC系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能更好。

圖9 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統(tǒng)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖10～11 所示。對比圖10（b）和圖11（b），傳統(tǒng)RC 和雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 分別為3.34%和2.40%，電壓波形未出現(xiàn)明顯畸變，且雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分?jǐn)?shù)階RC控制系統(tǒng)的諧波抑制能力更強(qiáng)。

圖10 RC下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖11 雙分?jǐn)?shù)階RC下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

4.3 逆變器頻率為800 Hz

當(dāng)逆變器帶整流性負(fù)載時(shí)，此時(shí)，N=50，傳統(tǒng)RC和雙分?jǐn)?shù)階RC 的誤差收斂如圖12所示，傳統(tǒng)RC 下輸出電壓誤差大于20 V，而雙分?jǐn)?shù)階RC 下的誤差為15 V 左右，顯然雙分?jǐn)?shù)階RC控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能更好。

圖12 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統(tǒng)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖13～14 所示。對比圖13（b）和圖14（b），傳統(tǒng)RC 和雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 分別為3.54%和2.82%，電壓波形未出現(xiàn)明顯畸變，且雙分?jǐn)?shù)階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分?jǐn)?shù)階RC控制系統(tǒng)的諧波抑制能力更強(qiáng)。

圖13 RC下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖14 雙分?jǐn)?shù)階RC下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

5 結(jié)束語

本文針對360～800 Hz 單相變頻逆變器系統(tǒng)調(diào)頻時(shí)，系統(tǒng)參考頻率變化使得采樣頻率與輸出頻率比值可能不為整數(shù)，從而導(dǎo)致變頻逆變器輸出穩(wěn)態(tài)誤差較大，輸出電壓波形質(zhì)量較差的問題。提出了一種雙分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制的控制策略，采用了分?jǐn)?shù)延遲和分?jǐn)?shù)相位超前，分別設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)延遲FIR 濾波器和分?jǐn)?shù)相位超前FIR 濾波器，提高了系統(tǒng)的控制精度，給出了控制器的設(shè)計(jì)思路，以及參數(shù)計(jì)算方式。并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在帶整流性負(fù)載時(shí)，與重復(fù)控制系統(tǒng)相比，雙分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)誤差更小，輸出電壓波形質(zhì)量更好。