王康,陳淑江,徐春望,路長厚

(山東大學(xué) 機械工程學(xué)院,濟南 250061)

隨著機床加工精度的日益提升,人們對高精度、高效率加工表面的要求不斷提高,靜壓、動靜壓技術(shù)的重要性逐年加強。主控型液體靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個多輸入多輸出的非線性系統(tǒng),如何得到表達準(zhǔn)確且滿足實時控制要求的系統(tǒng)模型是目前研究的關(guān)鍵。

現(xiàn)階段靜壓滑動軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模主要為理論建模,即通過流體平衡方程、雷諾方程等理論推導(dǎo)出靜壓軸承所提供的油膜力與主軸的運動關(guān)系,并通過仿真及少量試驗驗證模型的準(zhǔn)確性:文獻[1]通過理論建模的方法建立靜壓軸承系統(tǒng)模型,再利用分?jǐn)?shù)階參數(shù)整定方法對PID參數(shù)進行整定,并仿真比較不同優(yōu)化算法得到系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù);文獻[2]建立了伺服節(jié)流的靜壓推力軸承的系統(tǒng)動態(tài)特性數(shù)學(xué)模型,在不同載荷下仿真分析系統(tǒng)的伺服節(jié)流動態(tài)特性,驗證了主動伺服節(jié)流技術(shù)可以應(yīng)用在靜壓軸承上;文獻[3]建立了四油腔主控型靜壓軸承的數(shù)學(xué)模型,仿真結(jié)果表明四油腔主控靜壓軸承相比傳統(tǒng)靜壓軸承具有較好的動態(tài)特性。

液體靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,理論建模時需進行大量公式推導(dǎo)計算,影響主動控制的實時性,而系統(tǒng)辨識方法可以在保證系統(tǒng)特性的前提下得到響應(yīng)迅速、結(jié)構(gòu)簡單的精確系統(tǒng)模型:文獻[4]采用在線辨識的方法對某個磁懸浮工作臺進行辨識,得到該系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)及模型參數(shù),通過試驗分析發(fā)現(xiàn)所辨識的模型比理論模型準(zhǔn)確性更高;文獻[5]在靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主軸小位移處建立分段模型,利用預(yù)測誤差法求解模型參數(shù),通過與已辨識的參數(shù)擬合得到了系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律,進而得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程;文獻[6]采用頻率響應(yīng)法得到磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻特性,進而與實際系統(tǒng)輸出擬合辨識出系統(tǒng)的三階傳遞函數(shù),辨識出的模型比理論模型更為精確。

理論建模復(fù)雜,計算費時,難以在實際控制應(yīng)用中實施;而使用系統(tǒng)辨識的方法,通過大量試驗數(shù)據(jù)對靜壓滑動軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)與結(jié)構(gòu)進行辨識,再將辨識出的模型與實際輸入輸出相比較進行擬合驗證,所得模型將更為精確,更具有工業(yè)應(yīng)用價值。為滿足控制要求并提高系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性,本文建立主控型靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的理論模型,選擇頻域辨識法對實際系統(tǒng)進行辨識得到辨識模型;將辨識模型與實際系統(tǒng)輸入輸出對比以分析辨識系統(tǒng)的準(zhǔn)確性,采用模型預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)的主動控制方法進行仿真,與傳統(tǒng)PID控制方法進行比較并分析控制效果,以驗證辨識模型能否滿足控制要求。

1 理論建模

1.1 液體靜壓軸承系統(tǒng)

主控型靜壓主軸系統(tǒng)如圖1所示,包含主動單面薄膜節(jié)流閥、 固定節(jié)流器、 嵌入控制油腔的四油腔靜壓軸承及主軸,圖中O為軸承中心,Oj為主軸中心,主軸系統(tǒng)參數(shù)見表1。液體靜壓軸承結(jié)構(gòu)如圖2所示,四油腔靜壓軸承各油腔由控制油腔和承載油腔構(gòu)成,控制油腔與承載油腔通過封油邊隔開,控制油腔由主動節(jié)流閥供油,承載油腔由毛細(xì)管節(jié)流器供油,承載油腔主要承受主軸的重力,控制油腔為主軸提供油膜力以控制主軸位移,為防止各個油腔在運動時產(chǎn)生耦合效應(yīng),采用回油槽將各個油腔隔開。

表1 主軸系統(tǒng)參數(shù)

1—主動單面薄膜節(jié)流閥;2—固定節(jié)流器;3—嵌入控制油腔的四油腔靜壓軸承;4—主軸。

圖2 液體靜壓軸承結(jié)構(gòu)圖

1.2 軸承油膜力計算

油膜力分析簡圖如圖3所示。靜壓軸承在水平和垂直方向產(chǎn)生的油膜力分量分別為Fx和Fy,Fx1和Fx2分別為左、右控制油腔產(chǎn)生的油膜力,Fy1和Fy2分別為上、下控制油腔產(chǎn)生的油膜力,有

(1)

圖3 油膜力分析簡圖

根據(jù)文獻[7]可得,油膜力以x,y正方向為正,則軸承油膜力計算式為

(2)

式中:L為靜壓軸承寬度;p為油膜壓力;θ為軸瓦包角,起始位置為x正半軸,逆時針方向增大;r為主軸半徑。

1.3 主軸軸心運動方程

主軸受力簡圖如圖4所示,主軸在工作過程中受到重力、油膜力以及外載荷的作用[8],其運動方程為

(3)

圖4 主軸受力簡圖

式中:m為主軸質(zhì)量;Qx,Qy分別為外載荷在x,y方向的分量。

2 系統(tǒng)模型的頻域辨識

2.1 辨識原理與方法

當(dāng)前,復(fù)雜系統(tǒng)建模的方法主要有黑箱、白箱和灰箱。即便靜壓滑動軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知,但因結(jié)構(gòu)復(fù)雜,研究系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)參數(shù)難度高,工作量大,為得到滿足實時控制要求的簡易系統(tǒng)模型,將系統(tǒng)視作“黑箱”模型。

經(jīng)前期研究發(fā)現(xiàn),靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速偏低、主軸位移范圍偏小的情況下可視作線性定常系統(tǒng)[10]。諧波信號的幅值應(yīng)選取適當(dāng),幅值過大可能會導(dǎo)致系統(tǒng)高頻失穩(wěn),幅值過小可能與過多干擾信號摻雜,不易區(qū)分。因此,為簡化試驗,在轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)的情況下采用頻域響應(yīng)分析法對系統(tǒng)進行辨識,具體步驟為:用AD5689模塊對主軸x方向輸入幅值3 V,頻率1～200 Hz的一系列正弦波激勵信號S1,通過AD7606模塊采集系統(tǒng)的響應(yīng)輸出信號S2;通過MATLAB將S1與S2作比值,進行傅里葉離散變換,兩者比值即為系統(tǒng)的幅頻特性,將其表示為幅值與相位的形式。系統(tǒng)辨識信號輸入輸出過程如圖5所示,公式為

(4)

圖5 系統(tǒng)辨識信號輸入輸出過程

式中:|G(jω)|為系統(tǒng)的幅值;ω為角頻率;φ(ω)為系統(tǒng)的相位。

繪制軸承系統(tǒng)伯德圖(圖6),繪制規(guī)則為相對于頻率的對數(shù)尺度,|G(jω)|對數(shù)幅值的標(biāo)準(zhǔn)表達式為20lg|G(jω)|,單位為dB。

圖6 靜壓軸承系統(tǒng)伯德圖

由圖6可知:在輸入信號的頻率較低時,系統(tǒng)的幅頻特性變化基本穩(wěn)定在40 dB左右,反映了信號的低頻增益;系統(tǒng)的相頻特性曲線約為90°左右,隨著頻率增大,系統(tǒng)的相頻特性曲線持續(xù)緩慢衰減,在信號頻率增大至100 Hz后,相頻曲線逐漸趨于穩(wěn)定,顯示系統(tǒng)相位滯后約180°。因此,實際系統(tǒng)特性更貼近于二階系統(tǒng),故采用二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對實際試驗數(shù)據(jù)模型進行擬合。

現(xiàn)采用文獻[11]的方法進行擬合,假設(shè)傳遞函數(shù)的一般結(jié)構(gòu)為

(5)

式中:G(s)為以s為系數(shù)的傳遞函數(shù);an,bm為需要擬合的參數(shù)。

令s=jωk可得

Rk+jIk,

(6)

式中:Rk,Ik分別為ωk的實部和虛部。在(6)式兩邊同時乘以公分母后,分離實部和虛部并讓實部和虛部相等,則

(7)

(8)

聯(lián)立(7)和(8)式可得

(9)

則(9)式的完全公式為

(10)

sk=Rk+Ik;k=1,2,…,m,…,x,

Tk=Rk-Ik,

x=m+n+1。

(11)

將所有的頻域辨識數(shù)據(jù)代入 (10)式即可得到an和bm。

通過以上擬合方法,得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(12)

2.2 模型驗證

為驗證辨識模型的準(zhǔn)確性,設(shè)計靜壓軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)擬合試驗:使用(12)式傳遞函數(shù)在Simulink工具中搭建仿真模型,在實際試驗中對軸承系統(tǒng)供油1 min,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為0,待軸承系統(tǒng)供油穩(wěn)定,打開數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),同時在試驗系統(tǒng)和仿真系統(tǒng)中輸入幅值3 V,頻率10 Hz的正弦信號,采集試驗系統(tǒng)與仿真系統(tǒng)的輸入輸出信號,持續(xù)2 s,停止供油,結(jié)束試驗。

靜壓軸承轉(zhuǎn)子試驗系統(tǒng)如圖7所示,由機械部分、控制部分和測試部分組成。機械系統(tǒng)主要包括機床主軸、電動機、靜壓滑動軸承;控制部分主要包括控制器、壓電陶瓷位移驅(qū)動器及電壓放大器;測試部分包括渦流傳感器以及信號產(chǎn)生與采集系統(tǒng)。試驗時通過控制器輸入測試信號,經(jīng)電壓放大器放大后輸入到壓電陶瓷位移驅(qū)動器,壓電陶瓷位移驅(qū)動器對主動節(jié)流閥進行驅(qū)動控制,進而控制軸承內(nèi)油膜力的變化。

圖7 靜壓軸承轉(zhuǎn)子試驗系統(tǒng)

通過MATLAB處理試驗數(shù)據(jù)后,將得到的仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行對比,為更好地表現(xiàn)擬合程度,需要將試驗數(shù)據(jù)進行濾波,常用濾波算法有限幅濾波、限速濾波、中值濾波、算術(shù)平均濾波以及滑動平均濾波等。在實際的數(shù)據(jù)采集中,各傳感器的采樣數(shù)據(jù)必然存在隨機噪聲,平滑濾波方法將連續(xù)N個采樣值作為一個隊列,每采樣到一個新數(shù)據(jù)放入隊尾,并且舍棄隊首的一次數(shù)據(jù),將隊列中的N個數(shù)據(jù)進行算數(shù)平均運算,具有平滑度高,可有效消除信號中隨機誤差的特點,因此對試驗數(shù)據(jù)進行平滑濾波。濾波前后試驗與仿真數(shù)據(jù)對比如圖8所示。

(a) 濾波前

由圖8可知:濾波后仿真模型輸出與實際試驗輸出電壓擬合效果較好,仿真模型能很好地描述系統(tǒng)在低頻低電壓下的實際特性,驗證了辨識模型的準(zhǔn)確性。

3 主動控制仿真試驗

為研究靜壓軸承轉(zhuǎn)子辨識系統(tǒng)的可控性以及不同控制方法的控制效果,采用實際工業(yè)應(yīng)用中常用的定載荷測試辨識系統(tǒng)的系統(tǒng)特性。PID控制為實際工業(yè)中應(yīng)用極為廣泛的一種控制策略,魯棒性強且結(jié)構(gòu)簡單,大多數(shù)系統(tǒng)使用常規(guī)PID控制即可達到控制效果。MPC作為一種新興控制技術(shù),用于高度復(fù)雜的多變量控制設(shè)計,其建立在描述系統(tǒng)變量(輸入、系統(tǒng)狀態(tài)、輸出)之間動態(tài)關(guān)系的開環(huán)模型上。選用MPC控制方法是因為其控制的精確度十分依賴系統(tǒng)模型,可以進一步驗證系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性。基于系統(tǒng)辨識模型構(gòu)建軸承轉(zhuǎn)子仿真系統(tǒng),分別設(shè)計PID以及MPC控制器控制系統(tǒng)響應(yīng),在延遲1 s后對系統(tǒng)輸入階躍信號1 V,PID與MPC控制方法下的仿真控制效果如圖9所示。

圖9 PID與MPC仿真控制效果圖

與PID控制相比,基于MPC控制器的系統(tǒng)響應(yīng)最大波動量降低了約80%,調(diào)節(jié)時間也明顯小于PID,控制效果較PID控制有較大提升。這是因為MPC控制方法精確度更加依賴模型,可以預(yù)測系統(tǒng)的運動軌跡,因此能誘導(dǎo)控制變量減少其與參考軌跡的差異值;而PID控制方法對模型依賴程度低,往往是運動出現(xiàn)偏差后再進行調(diào)整。

4 結(jié)束語

通過將系統(tǒng)整體看作“黑盒子”的辨識思想,利用靜壓主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低頻低電壓下的系統(tǒng)特性更接近于線性系統(tǒng),對系統(tǒng)輸入輸出進行辨識,得出靜壓主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低頻低電壓范圍下的系統(tǒng)特性更接近于二階系統(tǒng),并通過公式計算得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),試驗和仿真數(shù)據(jù)對比驗證了傳遞函數(shù)的準(zhǔn)確性;基于模型設(shè)計MPC控制方法并與PID控制方法進行比較,結(jié)果表明MPC具有更優(yōu)的控制效果。