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        定常線性薛定諤方程的一種高精度數(shù)值解法

        2023-12-13 00:44:42張紅梅尹江華
        關(guān)鍵詞:薛定諤實(shí)部方程組

        張紅梅,尹江華

        (1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,湖南 株洲 412007;2.株洲歐科億數(shù)控精密刀具股份有限公司,湖南 株洲 412008)

        1 研究背景

        薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程之一,其地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)。薛定諤方程已被廣泛應(yīng)用于理論物理、核物理、等離子物理、電磁波理論、化學(xué)、光學(xué)工程、地震學(xué)等領(lǐng)域之中。但對于這些實(shí)際應(yīng)用中的大量復(fù)雜問題,用經(jīng)典的解析方法和實(shí)驗(yàn)研究方法大多難以求解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,數(shù)值解法已成為其另一重要且有效的求解方法。薛定諤方程是耦合方程組,它還涉及復(fù)函數(shù),采用經(jīng)典的離散方法在單層網(wǎng)格下離散原方程所得的離散系統(tǒng),通常規(guī)模較大,耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。因此,構(gòu)建快速的數(shù)值解法十分必要。

        有限體積元算法除了處理邊界靈活、計(jì)算簡便外,還能夠在一定程度上保持物理量的局部和全局守恒性。這些性質(zhì)使得有限體積元算法成為一種重要方法。近年來,學(xué)者們分別采用不同的有限體積元算法求解橢圓方程[1]、Navier-Stokes 方程[2]、擴(kuò)散方程[3]等。

        在求非對稱問題或非正定問題的有限元解時(shí),提出了兩網(wǎng)格離散算法[4],并將該算法應(yīng)用到求解非線性邊值問題[5]、Navier-Stokes 問題[6]、流體問題[7]等。隨后,兩網(wǎng)格有限元算法又被成功地應(yīng)用于求解耦合方程組[8],并進(jìn)行了一系列的推廣與應(yīng)用[9-12]。在上述研究的基礎(chǔ)上,C.S.Chien 等[13]采用兩網(wǎng)格差分法求解非線性薛定諤方程組;Wu L.[5]用兩網(wǎng)格混合有限元算法求解非線性薛定諤方程組。

        近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者將兩網(wǎng)格離散思想與有限體積元算法相結(jié)合,用于求解橢圓方程定解問題[14]、非線性雙曲方程定解問題[15]、拋物方程定解問題[16]等。本文將有限體積元算法計(jì)算的靈活性與兩網(wǎng)格算法的快速性相結(jié)合,構(gòu)建兩網(wǎng)格有限體積元算法,用于求解耦合方程組——定常線性薛定諤方程邊值問題:

        λΔ 為動(dòng)能算子,且λ為正實(shí)數(shù);

        u(x)、V(x)、f(x)分別為未知函數(shù)、位勢函數(shù)、右端項(xiàng),均為復(fù)函數(shù)。

        在實(shí)際計(jì)算時(shí)要將解的實(shí)部與虛部分開成如下等價(jià)的耦合方程組:

        式中:u1(x)、u2(x)分別為u(x)的實(shí)部和虛部函數(shù);

        V1(x)、V2(x)分別為V(x)的實(shí)部和虛部函數(shù);

        f1(x)、f2(x)分別為f(x)的實(shí)部和虛部函數(shù)。

        為了方便,假設(shè)

        2 線性有限體積元算法及誤差估計(jì)

        方程(2)的變分形式可描述為:

        設(shè)Th={ei}、Zh分別是形狀正則的三角形網(wǎng)格剖分所有單元和剖分點(diǎn)的集合[9],h為剖分步長。定義線性有限元空間

        由式(4)和(8)可得正交關(guān)系

        并在條件(3)成立的情況下,問題(8)的有限元解uh滿足

        由文獻(xiàn)[1]可知算子Ih滿足引理1。

        為簡化方程組(2)的計(jì)算,將方程組(2)的前兩式在控制體bp上積分,并利用 Green 公式可得

        式中n為控制體邊界的單位外法向量。

        對上兩式等號左邊第二項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算,即控制體bp上的積分,被積分函數(shù)ui(x)取近似值ui(bp),i=1,2,進(jìn)行計(jì)算,得,將上面兩個(gè)方程兩邊分別乘以Ihw1和Ihw2,并對bp求和,則有

        為了對式(13)和(14)化簡,先給出如下引理2[2]。

        利用引理2 可得

        由直接驗(yàn)證可知

        將式(15) 和(16) 代入式(13)和(14),可得如下線性有限體積元變分問題:

        定義范數(shù)容易證得

        由引理3 和Lax-Milgram 定理知,變分問題(17)的解存在且唯一。

        根據(jù)文獻(xiàn)[9]有引理4。

        引理5 證畢。

        根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的式(3.10)有

        利用上式和式(23)可得式(24)。引理6 證畢。

        引理7設(shè)u、uh分別為方程(2)和(17)的解,則有

        證由式(21)、(17)和(19)得

        引理7 證畢。

        因而有

        證由式(8)和(17)有

        當(dāng)式(22)和(24)中p=q=2 時(shí),再聯(lián)合式(25)則有

        在式(26)中,令v=uh-uh,再由式(9)可得式(27)。引理8 證畢。

        證由式(7)、(10)和(27)得

        定理1 證畢。

        3 兩網(wǎng)格有限體積元算法及誤差估計(jì)

        為了簡化式(18),將其拆成兩部分并引入記號:

        兩網(wǎng)格有限體積元算法:

        因而有

        證將式(17)減去式(29),再由式(18)得

        由假設(shè)條件(3)及式(12)、(19)、(25)和(28)可得

        即得式(31)。

        再由式(28)和(31)得

        定理2 證畢。

        4 兩網(wǎng)格有限體積元算法數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        表1 λ=1 時(shí)兩種算法的結(jié)果比較Table 1 Comparison of results between the two algorithms with λ=1

        表2 λ=100 時(shí)兩種算法的結(jié)果比較Table 2 Comparison of results between the two algorithms with λ=100

        5 結(jié)語

        薛定諤方程的實(shí)際應(yīng)用比較廣泛,方程的離散系統(tǒng)規(guī)模龐大。本文在已求出定常線性薛定諤方程兩網(wǎng)格有限元解的基礎(chǔ)上,重新構(gòu)造了薛定諤方程的一種新的快速數(shù)值解法——兩網(wǎng)格有限體積元算法。從理論上證明了該算法達(dá)到最優(yōu)收斂階,并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法能節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間,極大地提高了求解效率。

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