李祥宇,李俊林,謝秀峰

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

真空耙式干燥機(jī)工作時(shí),被干燥物料在不斷轉(zhuǎn)動(dòng)的耙齒的攪拌下進(jìn)行間歇式干燥。攪拌軸是攪拌系統(tǒng)的關(guān)鍵部分,它從連接著的電機(jī)傳遞扭矩到耙齒,由于攪拌軸在攪拌過程中承受著較大的彎曲載荷,因此攪拌軸容易產(chǎn)生彎曲疲勞破壞[1]。 隨著我國建設(shè)資源節(jié)約型,環(huán)境友好型社會(huì)的發(fā)展,真空耙式干燥機(jī)憑借其高效節(jié)能,環(huán)保的特點(diǎn)表現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景,攪拌軸是攪拌系統(tǒng)的核心部件,它的設(shè)計(jì)直接影響干燥效率,干燥成本和經(jīng)濟(jì)效益。通常把攪拌軸當(dāng)作簡支梁振動(dòng)問題來研究。Ola Ragb研究了基于非線性彈性基礎(chǔ)的壓電復(fù)合材料板的自由振動(dòng)問題。采用彈性力學(xué)和壓電力學(xué)的三維理論推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)控制方程。采用微擾法和迭代求積公式對所得到的方程進(jìn)行了求解[2]。陳姍為了研究簡諧載荷作用下粘彈性梁振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為,建立了相應(yīng)的粘彈性橫向振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型[3]。K.Torabi提出來一種求解具有一般邊界條件的多裂紋非均勻Timoshenko梁橫向自由振動(dòng)的微分求積法,利用微分求積模擬方法,導(dǎo)出了控制方程,損傷界面上的協(xié)調(diào)條件以及外部邊界條件的實(shí)現(xiàn)[4]。Maziar Janghorban研究了基于Timoshenko梁理論的矩形截面碳納米線的靜力和自由振動(dòng)分析,采用微分求積法(DQM)求解控制方程[5]。人們對Timoshenko梁的力學(xué)特征進(jìn)行研究時(shí),主要研究了它處于自由振動(dòng)[6]的力學(xué)情況,但處于受迫振動(dòng)條件下的Timoshenko梁的研究工作做得還不是很多。DQM是一個(gè)強(qiáng)有力的求解科學(xué)與工程中出現(xiàn)的偏微分方程數(shù)值解的離散化方法,他們解決了具有不同邊界條件的梁和矩形板的彎曲和振動(dòng)問題[7]。

真空耙式干燥機(jī)攪拌軸承受著復(fù)雜激勵(lì),本文將周期激勵(lì)引入到干燥機(jī)攪拌系統(tǒng)中,把攪拌軸簡化地看作簡支梁,在兩端為簡支的條件下,研究攪拌軸受到周期激勵(lì)時(shí)的疲勞斷裂問題。首先運(yùn)用Timoshenko梁彎曲理論[8]推導(dǎo)出梁的含有邊界條件的控制方程,運(yùn)用微分求積法求出攪拌軸的撓度矩陣,給出攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸長度,半徑,密度,彈性模量的變化關(guān)系。

1 真空耙式干燥機(jī)攪拌軸振動(dòng)模型

本文把真空耙式干燥機(jī)攪拌軸簡化為一個(gè)簡支梁模型,長度為L,兩端受到軸徑向力N,受到由一系列疊加的簡諧載荷Fi=(Q/2+2Q/π)[sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]構(gòu)成的隨時(shí)間和軸向位置變化的周期激勵(lì)p(x,t)=Fi·sinωit,攪拌軸微段受力與變形如圖1所示,考慮梁的剪切耦合彎曲,應(yīng)用修正Timoshenko梁理論的平衡方程,得到攪拌軸撓度控制微分方程。

圖1 攪拌軸微受力與變形Fig.1 Micro force and deformation of stirring shaft

圖中dx:梁微段的長度;dv:梁微段的撓度;Q:梁上的內(nèi)力剪力;M:梁上的內(nèi)力彎矩;G:剪切模量;E:彈性模量;θ:截面轉(zhuǎn)角,由于梁微段的彎曲變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;γ:剪切轉(zhuǎn)角,由于梁微段的剪切變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;φ:梁中性軸的轉(zhuǎn)角;p(x,t):梁上的分布荷載;A:攪拌軸橫截面積;I:截面慣性矩;μ:剪切修正因子。

(1)

假設(shè)梁微段產(chǎn)生小變形,根據(jù)豎向力平衡,給出剪力平衡方程

(2)

彎矩平衡方程

(3)

剪切物理方程

(4)

彎曲物理方程[9]

(5)

將(4)(5)分帶入(2)(3)得,

(6)

(7)

化簡整理消去θ得:

(8)

p(x,t)=Fi·sinωit

(9)

Fi=(Q/2+2Q/π)

[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]

(10)

將真空耙式干燥機(jī)攪拌軸的撓度控制方程中的自變量離散區(qū)間無量綱化為[0,1],得到攪拌軸撓度控制方程無量綱化形式為:

(11)

2 微分求積法

微分求積法(Differential quadrature method)是Bellman等提出的一類微分方程數(shù)值求解的新方法[10]。微分求積法因其原理簡單,計(jì)算量小但計(jì)算精度較高而備受學(xué)者關(guān)注,被廣泛應(yīng)用在結(jié)構(gòu)力學(xué)等領(lǐng)域[11]。

微分求積法的原理是將函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值近似為全域上離散化的所有點(diǎn)上的函數(shù)值的加權(quán)和[12]。采用微分求積法離散空間變量和時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù),假設(shè)撓度函數(shù)v(x)在區(qū)間[x1,xNX]和[t1,tNτ]上是足夠光滑的,NX,Nτ代表不同的節(jié)點(diǎn),

x1

(12)

t1

(13)

假設(shè)這些點(diǎn)上的函數(shù)值為:

(14)

根據(jù)DQM,每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)由以下給出[13]:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

因此得出

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

影響微分求積法求解精度的關(guān)鍵因素之一是網(wǎng)格點(diǎn)的選擇[16]。一般采用切比雪夫多項(xiàng)式在[-1,1]區(qū)間的零點(diǎn)作為網(wǎng)格點(diǎn)[17]。本文采用非均勻間隔的DQM網(wǎng)格點(diǎn),由以下方程給出:

(28)

(29)

因此運(yùn)用微分求積法離散攪拌軸撓度控制方程得到:

(30)

可將撓度方程表示為矩陣形式:

[D]·{V}={F}

(31)

其中[D]為方程的系數(shù)矩陣,{V}為撓度矩陣,{F}隨時(shí)間和攪拌軸軸向位置變化的外部周期載荷。F=(Q/2+2Q/π)·[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]·sin(ωit(i))是運(yùn)用傅里葉變換表示為若干個(gè)正弦型簡諧激勵(lì)的疊加的情形,許多工程問題皆采用此類的外部周期激勵(lì)。

把真空耙式干燥機(jī)攪拌軸看作簡支梁計(jì)算,任一時(shí)間點(diǎn)在兩個(gè)支撐點(diǎn)x=0和x=L處梁的橫向位移和所受的彎矩為零,即:

(32)

這里運(yùn)用節(jié)點(diǎn)替代法解決只含有兩個(gè)邊界條件的振動(dòng)微分方程,利用與攪拌軸兩端相隔一個(gè)步長的點(diǎn)來代替邊界條件[18],即式(20)中(i=1,2,NX-1,NX)的方程,得到4Nτ個(gè)線性方程,運(yùn)用matlab編程,求出線性方程組的數(shù)值解,即撓度矩陣。

3 算例分析

根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究,令在攪拌工況下的真空耙式干燥機(jī)攪拌軸長度L=7 m,軸直徑D=0.12 m,攪拌軸材料一般選用碳鋼,令軸密度ρ=7.83×103kg/m3,彈性模量E=2.07×1011Pa,攪拌軸轉(zhuǎn)速為8 r/min,依據(jù)流體力學(xué)知識(shí),對攪拌軸的受力分析計(jì)算,令攪拌葉片對攪拌軸的徑向力Q=2 000 N,Fi=(Q/2+2Q/π)·[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)].求出攪拌軸在此外部激勵(lì)下外部載荷為Fi·sinωiτ,隨攪拌軸軸向位置及一個(gè)周期時(shí)間變化的撓度。圖2給出了攪拌工況下攪拌軸撓度控制方程的解,其中x軸為攪拌時(shí)間與周期之比,y軸為攪拌軸的軸向位置與攪拌軸長度之比,z軸為攪拌軸撓度。由圖2可以得出,攪拌軸撓度最大值發(fā)生在攪拌軸軸向位置與攪拌軸長度之比為0.5,即最大變形的位置在攪拌軸的中點(diǎn),一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生最大變形的時(shí)間是在攪拌時(shí)間與周期之比為0.9,即攪拌軸發(fā)生最大變形的時(shí)刻為0.9周期.攪拌軸在工況下受到物料的流體阻力,自身重力和軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力等作用,因此承受較大的彎曲載荷,容易產(chǎn)生疲勞破壞。由于最大變形的位置在攪拌軸的中點(diǎn),攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸材料參數(shù)、軸長度、軸半徑、軸彈性模量、軸密度的變化而變化。

圖2 攪拌軸撓度Fig.2 Deflection of stirring shaft

令攪拌工況下的攪拌軸直徑D=0.12 m,軸長度L=7 m軸彈性模量,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸徑向力從1 000 N增加到5 000 N時(shí),圖3表明在攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸徑向力是成比例增大的,t=4/7周期時(shí)刻,隨著軸徑向力的增加攪拌軸中點(diǎn)撓度增大得較快。

圖3 攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸徑向力的變化關(guān)系Fig.3 Relationship between point deflection of stirring shaft and axial/radial force

令攪拌工況下的軸直徑D=0.16 m,軸彈性模量E=2.07×1011Pa,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸徑向力Q=2 000 N,軸長L從6 m增大到8 m時(shí),圖4表明當(dāng)在t=4/15周期時(shí)刻,軸長為7.76 m攪拌軸中點(diǎn)撓度出現(xiàn)最大值;在t=6/15周期時(shí)刻,軸長為7.7 m攪拌軸中點(diǎn)撓度出現(xiàn)最大值;在t=8/15周期時(shí)刻,軸長大于7.45 m時(shí)攪拌軸中點(diǎn)撓度出現(xiàn)開始出現(xiàn)較大值;圖4表明其余長度位置撓度平穩(wěn)波動(dòng)。攪拌軸其他參數(shù)不變時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度最大值出現(xiàn)在軸長度較大的位置。

圖4 攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸長度的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft length

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力為Q=2 000 N,軸密度為ρ=7.83×103kg/m3,彈性模量為E=2.07×1011Pa,軸直徑從0.08 m增大到0.16 m,圖5表明在t=4/15周期,t=6/15周期,t=8/15周期,在軸半徑較小時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度值較大,并且波動(dòng)較大,隨著軸半徑越大,攪拌軸中點(diǎn)撓度而后平穩(wěn)波動(dòng),最終趨向于0.

圖5 攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸半徑的變化關(guān)系Fig.5 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft radius

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力為Q=2 000 N,軸直徑D=0.12 m,彈性模量為E=2.065×1011Pa,軸密度從7.81×103kg/m3增大到7.85×103kg/m3,圖6表明在軸密度在(7.836×103～7.837×103)kg/m3這個(gè)小范圍內(nèi)攪拌軸中點(diǎn)撓度容易出現(xiàn)較大值。

圖6 攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸密度的變化關(guān)系Fig.6 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft density

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力Q=2 000 N,軸直徑為D=0.12 m,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸彈性模量從2.0×1011Pa增大到2.1×1011Pa,圖7表明在t=8/15周期,軸彈性模量在(2.027×1011～2.029×1011)Pa的范圍時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度值出現(xiàn)較大波動(dòng),其余位置平穩(wěn)波動(dòng)。

圖7 攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸彈性模量的變化關(guān)系Fig.7 Relationship between point deflection of stirring shaft and elastic modulus of shaft

4 結(jié)論

本文采用微分求積法離散周期激勵(lì)下的真空耙式干燥機(jī)攪拌軸的撓度控制方程,因?yàn)閿嚢栎S中點(diǎn)位置發(fā)生的彎曲變形最大,研究分析了工況條件下,攪拌軸中點(diǎn)撓度隨軸半徑、軸長度、軸密度、軸彈性模量的變化關(guān)系,得出以下結(jié)論:在軸半徑較小時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度值較大,并且波動(dòng)較大,隨著軸半徑越大,攪拌軸中點(diǎn)撓度而后平穩(wěn)波動(dòng),最終趨向于0;攪拌軸其他參數(shù)不變時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度最大值出現(xiàn)在軸長度較大的位置;軸密度值在(7.836×103～7.837×103)kg/m3的小范圍時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度容易出現(xiàn)較大值;在軸彈性模量為(2.027×1011～2.029×1011)Pa的范圍時(shí),攪拌軸中點(diǎn)撓度值出現(xiàn)較大波動(dòng),其余位置平穩(wěn)波動(dòng)。本文對周期激勵(lì)條件下真空耙式干燥機(jī)攪拌軸進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析,采用微分求積法研究不同軸材料參數(shù)和幾何特性對攪拌軸中點(diǎn)撓度的影響,從而優(yōu)化攪拌軸參數(shù),使其滿足實(shí)際工程中攪拌軸的設(shè)計(jì)需要,提高干燥效率,降低生產(chǎn)和工作成本。