胡紫婷,王家林,

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 贛州 341000)

0 引言和主要結(jié)果

是Xi的伴隨矩陣.

近年來(lái),關(guān)于Heisenberg群上退化次橢圓p-Laplace方程弱解的正則性研究已取得豐富的成果,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4]及其參考文獻(xiàn). 然而,關(guān)于Heisenberg群上退化次橢圓p-Laplace方程組的正則性研究較少見(jiàn),最近,Zheng和Feng在文獻(xiàn)[5]中研究了Carnot群上一類次橢圓p-Laplace方程組,建立了p僅在2附近取值時(shí)弱解的H?lder連續(xù)性,p在其它區(qū)間取值時(shí),尚無(wú)結(jié)果,主要的困難是缺乏一個(gè)有效的工具來(lái)解決Heisenberg群上水平向量場(chǎng)的非交換性以及次橢圓p-Laplace算子的退化性等問(wèn)題. 早在2005年,Duzzar和Mingione在文獻(xiàn)[6]中研究了歐氏空間的p-調(diào)和映射,通過(guò)p-調(diào)和逼近技巧導(dǎo)出衰減估計(jì)并建立了其弱解的C1,α正則性,可見(jiàn)p-調(diào)和逼近理論對(duì)弱解的正則性研究是一個(gè)十分有效的工具.為此,本文在Heisenberg群上建立相應(yīng)的p-調(diào)和逼近定理,這對(duì)進(jìn)一步研究Heisenberg群上退化次橢圓p-Laplace方程組弱解的正則性起著重要作用.

本文的主要結(jié)果如下:

定理1設(shè)

若對(duì)于任意ε>0,都存在一個(gè)正常數(shù)δ(n,N,p,ε)∈(0,1]有

(1)

時(shí),則存在p-調(diào)和函數(shù)h∈HW1,p(Ω,N),使得

1 Heisenberg群基礎(chǔ)知識(shí)

Heisenberg群Hn=2n+1定義群乘法為:其中x=(x1,t)=(x1,…,xn,y1,…,yn,t),y=(y1,v)=(xi+1,…,xi+n,yi+1,…,yi+n,v).零元素為(0,0),并且(x,t)的逆元為(-x,-t),其相應(yīng)Lie代數(shù)的一組基向量場(chǎng)為:關(guān)于Lie括號(hào)滿足:[Xi,Xn+i]=-[Xn+i,Xi]=T,[Xi,Xj]=0和[T,T]=[T,Xi]=0,其中矢量X被稱為水平梯度,T被稱為垂直導(dǎo)數(shù).

定義1設(shè)f是Rn上的局部可積函數(shù),則極大函數(shù)f可被定義為:M(f)(x)=sup{∮B(x,r)f(y)dy∶r>0}.

2 相關(guān)引理

本節(jié)重點(diǎn)引入一些與向量場(chǎng)相關(guān)的基本引理.首先回顧Sobolev嵌入不等式和Poincaré型不等式,具體證明參考文獻(xiàn)Garofalo-Nhieu[7], Lu[8]和Nagel-Stein-Wainger [9].

‖u-ux,R‖Lq≤C‖Xu‖Lp,

(2)

(3)

其中當(dāng)1

引理4[12]設(shè)f∈Lp(Rn),1

‖M(f)‖p≤C‖f‖p.

(4)

下面,利用文獻(xiàn)[13]的思想,在Heisenberg群上建立如下結(jié)果.

引理5在HW1,p(Ω,N)中,當(dāng)wk弱收斂到0時(shí),存在正常數(shù)c=c(n,p),對(duì)于任意λ>0,都有序列N),使得

(5)

(6)

且有

(7)

證明在這里,假設(shè)

利用H?lder不等式和引理4可得

即得

根據(jù)極大函數(shù)的定義和范數(shù)有界這個(gè)性質(zhì),有

眼下，系統(tǒng)正考慮接入前期預(yù)算立項(xiàng)環(huán)節(jié)管理，以及后端合同執(zhí)行、評(píng)價(jià)、監(jiān)管、考核兩部分內(nèi)容，以實(shí)現(xiàn)采購(gòu)全流程線上管理。

下面來(lái)證明(5)式,由HW1,p(Ω,N)的范數(shù)定義和Sobleve嵌入不等式可得

其中0<ρ

(8)

同理可得

(9)

(10)

(11)

利用文獻(xiàn)[13]中的命題4.4的思想,建立引理6.

引理6設(shè)ε>0,存在一個(gè)子序列{uk}k∈κ,κ?,使得對(duì)于任意k∈κ有

(12)

證明令ε∈(0,1),存在N∈使得

Nε>K,

(13)

其中K和(11)式中的K一致.

3 主要結(jié)果的證明

定理1的證明在y→u(ρy)映射里,令ρ=1,此時(shí)Bρ=B1,下面簡(jiǎn)記為B.應(yīng)用反證法的思想,假設(shè)存在ε>0和序列{uk}∈HW1,p(B,N),使得對(duì)于所有的N)滿足

(14)

和

(15)

則對(duì)任意的k和任意的p-調(diào)和函數(shù)h∈HW1,p(B,N),滿足

(16)

和

(17)

(18)

(19)

在B上幾乎處處有uk→u,

(20)

(21)

下面將證明存在一個(gè)子序列(無(wú)限集)κ2?,使得

(22)

對(duì)任意的k∈,又設(shè)

(23)

情形1先給出在(23)式的假設(shè)條件下建立(22)式.

(24)

(25)

(26)

(27)

估計(jì)

(28)

根據(jù)引理5可知

(29)

(30)

(31)

這里記

(32)

(33)

(34)

(35)

對(duì)(35)式最后一行左端第一項(xiàng)應(yīng)用H?lder不等式,(24)和(30)可得

(36)

同樣地,對(duì)(35)式最后一行右端第二項(xiàng)應(yīng)用H?lder不等式,(24)和(29)式得

(37)

由(35)-(37)式可得

(38)

結(jié)合(33),(34)和(38)式推出

(39)

(40)

其中常數(shù)c=c(n,p)≥1.

現(xiàn)在證明

|G|≤2cKpλ-p,

(41)

(42)

(43)

由于當(dāng)ε→0時(shí),(43)式右手邊的量也趨于0并且ε>0可以取到任意小,所以可以應(yīng)用(37)-(43)式中描述的參數(shù),從整個(gè)序列開(kāi)始(即取κ0=),并執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)對(duì)角參數(shù)得到進(jìn)一步的子序列κ2?使得也就是說(shuō),在L1(B)上,當(dāng)κ2k→∞時(shí),有[(|Xuk|p-2Xuk-|Xu|p-2Xu)·(Xuk-Xu)]θ→0,因此,可以假設(shè)當(dāng)κ2k→∞時(shí),在B上幾乎處處有(|Xuk|p-2Xuk-|Xu|p-2Xu)·(Xuk-Xu)→0;特別地,這一事實(shí)和(3)式的單調(diào)性可以表明,在B上,當(dāng)κ2k→∞時(shí),有Xuk→Xu.因此,在(23)的假設(shè)下證明了(22).

情形2現(xiàn)在考慮一般情況,在沒(méi)有(23)式的假設(shè)下建立(22).注意到(19)式的強(qiáng)收斂,可設(shè)子序列滿足

(44)

(45)

結(jié)合前面的估計(jì)可得