周宗全 閆化宇

(莘縣第一中學(xué),山東 聊城 252400)

2022年高考試卷考點(diǎn)分布合理,總體難度有所增加,但未出現(xiàn)偏、難、怪的題目,以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù),以《中國高考評(píng)價(jià)體系》為最高原則,發(fā)揮出了數(shù)學(xué)科目選拔人才的作用.要求考生立足于教材,不拘泥于教材,活用教材,注重知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)、融合、升華,搭建知識(shí)體系,滲透數(shù)學(xué)思想方法[1].以常規(guī)解法為基礎(chǔ),充分運(yùn)用一題多解.文章通過對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)卷中比大小類型的題目進(jìn)行分析和整合,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和通性通法解題的能力.

1 真題再現(xiàn)

2 解法展示

比大小題目為高考常規(guī)題目,為了考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)的綜合運(yùn)用能力,題目基本告別了“三段式”的結(jié)論,要求學(xué)生需具備構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)放縮等多方面的解題方法和能力[2].

2.1 常規(guī)解法

比大小,一般采取作商、作差的方法,其中會(huì)用到構(gòu)造函數(shù)的思想.以真題為例.

綜上所述,可判斷c

在判斷a,b大小時(shí),可采用作商法,判斷比值與1的大小關(guān)系,具體解法不再贅述.

2.2 放縮法

高中階段常見放縮公式有:

以真題為例,其具體步驟如下:

前兩種方法較為常規(guī),但不難看出前兩種方法需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯能力,考場(chǎng)壓力下會(huì)消耗大量時(shí)間,所以在平常的訓(xùn)練中還是推薦通法,但課下還是可以了解一下其他解法和原理.我們知道對(duì)于非特殊的指數(shù)和對(duì)數(shù)一般很難算出它們的值,但我們可借助高等數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的知識(shí),從而快速求解這類題目.接下來我們將采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此題.

2.3 帕德逼近

泰勒展開是一種很好的逼近方法,對(duì)許多函數(shù)都有很好的效果,然而,有時(shí)泰勒展開對(duì)某些帶極值的函數(shù)逼近的效果不盡如人意,本質(zhì)原因是因?yàn)槎囗?xiàng)式級(jí)數(shù)的局限性.為此,我們可以考慮用分式來逼近函數(shù),也就是所謂的分式逼近,一種常用的分式逼近方法為帕德逼近,帕德近似(Pade approximation)是一種特殊的有理數(shù)逼近的一種方法,是一種非線性近似方法[3].帕德近似往往比截?cái)嗟奶├占?jí)數(shù)準(zhǔn)確,而且當(dāng)泰勒級(jí)數(shù)不收斂時(shí),帕德近似往往仍然可行,以下列舉了兩種對(duì)數(shù)和指數(shù)的轉(zhuǎn)換方式.這種方法比泰勒展開收斂速度更快.主要應(yīng)用于計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)領(lǐng)域,但對(duì)于高中函數(shù)方面有一定的作用,學(xué)生和教師可以適當(dāng)?shù)亓私庖幌?拓展自己的知識(shí)領(lǐng)域.

2.4 背數(shù)法

在高中數(shù)學(xué)階段,熟記一些常見的特殊值也是必不可少的,對(duì)于一些題目的解答會(huì)帶來不錯(cuò)的效果.下面根據(jù)題目進(jìn)行變換,利用一些常見的數(shù)值帶入比較其大小.

常見的對(duì)數(shù)有:ln2≈0.693,ln3≈1.098,ln5≈1.609

以真題為例,其具體步驟如下:

背數(shù)法固然可行,但對(duì)于有些題目無法化簡(jiǎn)成特殊數(shù)的形式,所以此方法適合一部分題目,不適合全部比較大小的題目.

3 一題多解的意義

通過觀察可以看出比大小題目類型多,方法不唯一,每種方法都有優(yōu)缺點(diǎn),所以一題多解的應(yīng)用意義重大.現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,存在教學(xué)方法不合理的情況,從而限制了學(xué)生思維的開發(fā),也不利于學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué).比如題海戰(zhàn)術(shù),該學(xué)習(xí)的方式是讓學(xué)生通過做大量的習(xí)題來熟悉并掌握相關(guān)知識(shí),但這種學(xué)習(xí)方式卻給學(xué)生造成了很大的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和時(shí)間壓力,甚至導(dǎo)致部分學(xué)生厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門既浪費(fèi)時(shí)間,又收獲不大的科目.學(xué)生機(jī)械性地去做老師布置的題目,沒有時(shí)間對(duì)其所做的題目進(jìn)行認(rèn)真思考和總結(jié),導(dǎo)致對(duì)需要掌握的知識(shí)不深入不具體.此外,很多學(xué)生受到此類教學(xué)方法的影響,導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也會(huì)有一定的限制.很多學(xué)生只尋求一種解題方法,就認(rèn)為已經(jīng)滿足自己對(duì)此模塊知識(shí)的掌握要求,并未認(rèn)真考慮是否有其他簡(jiǎn)便快捷的解題方式[4].因此,一題多解的教學(xué)思路應(yīng)當(dāng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段普及,同時(shí)讓學(xué)生從中獲得更大的收獲.

4 一題多解,發(fā)散思維,提高能力

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑,數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn),解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.發(fā)散思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.這種思維方式,不受現(xiàn)代知識(shí)的局限,不受傳統(tǒng)知識(shí)的束縛,與創(chuàng)造力有著直接聯(lián)系,是創(chuàng)造性思維的核心.培養(yǎng)發(fā)散思維能力既是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的重要環(huán)節(jié),也是發(fā)展其個(gè)性的有效手段.

在數(shù)學(xué)科目上,一題多解是訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種行之有效的教學(xué)方式,是讓學(xué)生跳出單一思維模式,多種角度、多個(gè)方位地審視、分析問題,從而達(dá)到解決問題的目的.它能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自行解決問題的主動(dòng)性、積極性,讓學(xué)生全方位地思考解題的多種方法,不斷開發(fā)解題潛能.

用問題促進(jìn)思維的發(fā)展即通過合理設(shè)計(jì)疑問,以促進(jìn)學(xué)生自身思維多方向、多角度的發(fā)展.在訓(xùn)練發(fā)散思維時(shí),教師要注意使設(shè)計(jì)的問題既達(dá)到了激疑目的,又具有一定的開放性.

用變化求得發(fā)散思維.在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上,通過變式進(jìn)行訓(xùn)練,努力挖掘教材知識(shí)的深度和廣度,尋求思維的發(fā)散點(diǎn),結(jié)合已學(xué)和拓展的知識(shí),從不同角度出發(fā),尋找題目的最優(yōu)解.教師需精心設(shè)計(jì)每一堂課,通過一步步的變式探究,一步步的引導(dǎo),使學(xué)生在課堂上處于一種探究、探索的狀態(tài),通過多角度探究達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的目的.

教師需轉(zhuǎn)變教學(xué)思路,注重學(xué)生討論環(huán)節(jié).在很多情況下,學(xué)生之間具有互相啟發(fā)的作用,他們之間的相互交流溝通,可使解題思路得到有效的分享.為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步,教師應(yīng)當(dāng)采用學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)的方式,小組成員之間共同探討、交流解答教師所布置的任務(wù)以及有幾種方法可以解答題目等,將多個(gè)學(xué)生的思維整合到一起,再以小組為單位展開探討.這種方式既能烘托學(xué)習(xí)氛圍,又能激發(fā)學(xué)生的求知欲望,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情高漲,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,達(dá)到全體學(xué)生相互幫助、相互促進(jìn)學(xué)習(xí)的目的,同時(shí)加深學(xué)生對(duì)一題多解的學(xué)習(xí)方式,逐漸使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣[5].

總而言之,熟練運(yùn)用一題多解和多解一題是學(xué)生高中階段不可或缺的能力,教師需提高自身教學(xué)能力和教學(xué)水平,豐富自身知識(shí)領(lǐng)域,從而優(yōu)化學(xué)生綜合素質(zhì),提高解題效率.