江 萍， 楊華軍， 鄔劭軼， 胡力中

（電子科技大學(xué)物理學(xué)院，成都 611731）

0 引 言

光學(xué)實(shí)驗(yàn)是理工類高校學(xué)生專業(yè)核心課程的重要組成部分，傳統(tǒng)教學(xué)缺乏理論建模、編程實(shí)踐和科研促教環(huán)節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生編程仿真能力和挑戰(zhàn)性創(chuàng)新探索能力不足［1-4］。本文將可視化仿真實(shí)驗(yàn)與挑戰(zhàn)性考研訓(xùn)練用于“光通信前沿實(shí)驗(yàn)”本科生挑戰(zhàn)課程和“光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)”研究生小班研討課中，將自由曲面仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行編程實(shí)踐教學(xué)，將抽象、復(fù)雜的理論模型和繁瑣的計(jì)算過(guò)程通過(guò)案例的形式，生動(dòng)、形象地表現(xiàn)出來(lái)。

1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路

自由曲面光學(xué)系統(tǒng)因其自由度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳輸效率高、可同時(shí)實(shí)現(xiàn)波前和輻照度控制等諸多優(yōu)點(diǎn)，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，是當(dāng)前光學(xué)設(shè)計(jì)、光通信、數(shù)控技術(shù)等領(lǐng)域的科技前沿和重要研究對(duì)象［5-8］。自由曲面理論抽象、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、編程設(shè)計(jì)過(guò)程煩瑣，學(xué)生理解困難。自由曲面由于加工困難，在科學(xué)研究中通常采用仿真實(shí)驗(yàn)的形式開(kāi)展，在“光通信前沿實(shí)驗(yàn)”和“光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)”等課程中，將自由曲面仿真實(shí)驗(yàn)作為科研促教的重要案例進(jìn)行了編程實(shí)踐教學(xué)，仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路如圖1 所示，仿真實(shí)驗(yàn)內(nèi)容由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，難度由低到高，系統(tǒng)由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的二維結(jié)構(gòu)到非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的三維結(jié)構(gòu)，既包括折射式自由曲面又包括反射式自由曲面系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)。其中案例1、2 為基礎(chǔ)仿真實(shí)驗(yàn)，用于本科生的課堂仿真訓(xùn)練；案例3、4 為創(chuàng)新探索環(huán)節(jié)，以課程論文的形式進(jìn)行考核，用于研究生的課堂仿真訓(xùn)練和編程能力較強(qiáng)的本科生挑戰(zhàn)性創(chuàng)新實(shí)踐。自由曲面仿真設(shè)計(jì)流程圖如圖2 所示，入射光線矢量A1和出射光線矢量A2滿足矢量折反射定律［9］。

圖1 自由曲面仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路

圖2 自由曲面仿真設(shè)計(jì)流程圖

式中：n1和n2分別為入射光線和出射光線所在空間折射率；對(duì)于折射系統(tǒng)Γ ＝n2N·A2-n1N·A1，反射系統(tǒng)Γ ＝-2n1（N·A1）；N為曲面法線單位矢量。

以二維系統(tǒng)為例，基于能量守恒定律，根據(jù)等光通量映射關(guān)系確定入射面S0和目標(biāo)面Sm內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，選取每個(gè)自由曲面上的中心點(diǎn)或邊緣點(diǎn)P1作為起點(diǎn)，根據(jù)矢量折反射定律計(jì)算第n個(gè)曲面Sn上第i個(gè)取樣點(diǎn)的法向量Nn，i，再計(jì)算第i＋1 根光線與切線Tn，i的交點(diǎn)坐標(biāo)，采樣點(diǎn)數(shù)目N足夠大，迭代得到的點(diǎn)陣構(gòu)成自由曲線，再繞光軸旋轉(zhuǎn)360°得到所求的自由曲面。

2 仿真實(shí)驗(yàn)案例解析

2.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱折射式自由曲面

案例1 對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面折射面進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散光束準(zhǔn)直為平行光束。

由于是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng)，自由曲面可以通過(guò)將xOy平面內(nèi)求得的二維曲線S1繞光軸y軸旋轉(zhuǎn)360°得到，如圖3（a）所示。對(duì)于單折射面，第i條入射光線A1，i與S1交點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（x1，i，y1，i），折射光線與光軸平行，即A2，i＝［0，1］，與目標(biāo)平面S2交點(diǎn)Mi的坐標(biāo)為（x2，i，y2，i），假設(shè)S1與S2邊緣點(diǎn)P1和M1的縱坐標(biāo)分別為y1，1＝h和y2，1＝L，以P1和M1為起點(diǎn)利用矢量折射定律（式（1））求出Pi處的法向量N1，i，再求出光線A1，i＋1與切線N1，i的交點(diǎn)坐標(biāo)，近似為Pi＋1點(diǎn)，迭代后得到S1面上各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖3 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱折射式自由曲面迭代原理和仿真結(jié)果

根據(jù)二次曲面的等光程原理，當(dāng)折射率n1＜n2時(shí)，折射面應(yīng)為雙曲面，當(dāng)折射率n1＞n2時(shí)，折射面應(yīng)為橢圓面，分別編程繪制兩種情況下的二次曲面，與自由曲面進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果分別如圖3（b）和（c）所示，兩種情況下的S1面與二次曲面均重合，該方法用于驗(yàn)證自由曲面編程的正確性。

案例2 設(shè)計(jì)一個(gè)自由曲面透鏡，實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)光源發(fā)出的圓對(duì)稱高斯光束準(zhǔn)直整形為均勻分布的圓光斑。

仿真設(shè)計(jì)思路為：自由曲面透鏡的第2 個(gè)折射面S2上過(guò)Qi的切線與第i＋1 條折射光線A2，i＋1的交點(diǎn)可近似為Qi＋1點(diǎn)，出射光束為準(zhǔn)直光線A3，i＝［0，1］，如圖4（a）所示。假設(shè)入射面S0上光強(qiáng)為高斯分布，目標(biāo)平面S3上為圓形均勻光斑，將入射面S0和目標(biāo)面S3按等光通量進(jìn)行網(wǎng)格劃分，由于是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng)，沿x軸方向?qū)⒐獍甙霃絼澐譃镹份，在極坐標(biāo)系下構(gòu)成的N個(gè)圓環(huán)中每個(gè)圓環(huán)面積內(nèi)光通量相等，得到S0和S3面上網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)。以邊緣點(diǎn)P1和Q1為起點(diǎn)基于矢量折射定律求得S1上采樣點(diǎn)Pi和Pi＋1，以及S2上Qi和Qi＋1之間的迭代關(guān)系，將S1和S2曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)360°構(gòu)成自由曲面，三維仿真結(jié)果如圖4（b）。該透鏡將入射高斯光束準(zhǔn)直整形為均勻圓光斑［見(jiàn)圖4（c）］。

圖4 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面透鏡設(shè)計(jì)原理和仿真結(jié)果

2.2 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱反射式自由曲面

望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)是“光通信前沿實(shí)驗(yàn)”和“光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)”課程的重點(diǎn)，光學(xué)天線通常采用反射式望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)。

案例1 對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面反射面進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散光束準(zhǔn)直為平行光束。

如圖5（a）所示，光線由坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)S1面反射的光線平行于x軸，即A2，i＝［-1，0］，以S1在x軸上的中心點(diǎn)P1點(diǎn)為起點(diǎn)，編程計(jì)算得到S1面上各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)，二維仿真結(jié)果如圖5（b）所示。根據(jù)二次曲面的等光程原理，位于拋物面焦點(diǎn)處點(diǎn)光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射后為平行光，繪制出該拋物面，與自由曲面S1重合，以驗(yàn)證編程的正確性。

圖5 反射式自由曲面的迭代原理和仿真結(jié)果

案例2 傳統(tǒng)卡塞格倫光學(xué)天線由于次鏡中心反射造成能量損失，設(shè)計(jì)一個(gè)同軸反射式自由曲面光學(xué)天線［10］，主次鏡半徑分別為75 和15 mm，將入射高斯光束準(zhǔn)直整形為半徑為45 mm的空心高斯光束，避免能量損失以提高天線發(fā)射效率。

仿真設(shè)計(jì)思路為：光學(xué)天線的主次鏡采用同軸結(jié)構(gòu)，均為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面，可簡(jiǎn)化為二維結(jié)構(gòu)，如圖6（a）所示，以次鏡S1在光軸上的中心點(diǎn)P1為起點(diǎn)，其反射光線反射至主鏡S2的內(nèi)邊緣Q1點(diǎn)以避免能量損失。最后的出射光束平行于x軸，則A3，i＝［1，0］入射面S0上為高斯分布，目標(biāo)面S3上為空心高斯分布，根據(jù)等光通量映射法得到S0和S3面上的網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)，基于矢量反射定律求得S1和S2面上采樣點(diǎn)坐標(biāo)，二維仿真結(jié)果如圖6（b）所示。將S1和S2繞x軸旋轉(zhuǎn)360°分別構(gòu)成發(fā)射天線的次鏡和主鏡，三維仿真結(jié)果見(jiàn)圖6（c）。該系統(tǒng)將入射高斯光束［見(jiàn)圖6（d）］準(zhǔn)直整形為半徑為45 mm的空心高斯光束［見(jiàn)圖6（e）］。

圖6 同軸反射式自由曲面光學(xué)天線設(shè)計(jì)原理和仿真結(jié)果

2.3 非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱折射式自由曲面

非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的光場(chǎng)調(diào)控必須通過(guò)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)涉及復(fù)雜的三維空間點(diǎn)線面的計(jì)算，是光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)等課程仿真教學(xué)的難點(diǎn)。

案例 馬路照明系統(tǒng)通常采用LED光源，在路面的投影光斑通常為圓形非均勻分布，如圖7（a）所示，設(shè)計(jì)一個(gè)產(chǎn)生均勻輻照度矩形光斑［見(jiàn)圖7（b）］的自由曲面透鏡，以提高LED照明系統(tǒng)的光利用率。

圖7 馬路照明系統(tǒng)光斑示意圖

仿真設(shè)計(jì)思路：假設(shè)出射光線為準(zhǔn)直光束A3，i＝［0，0，1］，以中心光線為起點(diǎn)基于矢量折射定律計(jì)算透鏡上下表面采樣點(diǎn)Pi點(diǎn)和Qi點(diǎn)的法向量，假設(shè)下表面S1上采樣點(diǎn)Pi（x1，i，y1，i，z1，i）處的法向量Ni，j＝［Nx，Ny，Nz］，其切平面方程為

求出相鄰入射光線與切平面的交點(diǎn)，其中離Pi點(diǎn)最近的交點(diǎn)作為下一個(gè)采樣點(diǎn)Pi＋1，結(jié)合表面S2迭代得到自由曲面透鏡上下表面各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)，三維仿真結(jié)果如圖8（a）所示，其中光源入射面S0按空間立體角內(nèi)等光通量進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分［見(jiàn)圖8（b）］，目標(biāo)平面S3按等面積網(wǎng)絡(luò)劃分以實(shí)現(xiàn)矩形均勻輻照度分布［見(jiàn)圖8（c）］。通過(guò)透鏡上下表面S1和S2的面型來(lái)控制光源上各立體角內(nèi)的光通量入射到目標(biāo)平面上對(duì)應(yīng)區(qū)域的網(wǎng)格內(nèi)，實(shí)現(xiàn)將入射面上圓對(duì)稱郎伯光源光強(qiáng)分布［見(jiàn)圖8（d）］整形為目標(biāo)面上的均勻矩形光強(qiáng)分布［見(jiàn)圖8（e）］。

圖8 產(chǎn)生均勻輻照度矩形光斑的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱自由曲面透鏡仿真結(jié)果

2.4 非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱反射式自由曲面

案例 與共軸反射式光學(xué)系統(tǒng)相比，離軸反射式光學(xué)系統(tǒng)具有無(wú)中心遮擋、視場(chǎng)角大、體積小等優(yōu)點(diǎn)。二次曲面或柱面離軸光學(xué)系統(tǒng)的整形結(jié)果通常成梨形光斑分布［11］，設(shè)計(jì)一個(gè)離軸反射式自由曲面光學(xué)天線，實(shí)現(xiàn)將半導(dǎo)體激光器出射的橢圓高斯光束準(zhǔn)直整形為圓對(duì)稱高斯光束。

仿真設(shè)計(jì)思路為：首先確定入射面內(nèi)橢圓高斯分布和目標(biāo)面內(nèi)圓對(duì)稱高斯分布的等光通量網(wǎng)格映射關(guān)系，然后設(shè)定各反射鏡中心點(diǎn)坐標(biāo)，以中心點(diǎn)為起點(diǎn)進(jìn)行迭代得到各自由曲面。本案例中以兩反射鏡和三反射鏡兩種離軸自由曲面光學(xué)天線系統(tǒng)為參考，仿真結(jié)果如圖9（a）和（b）所示。兩種天線的入射面和目標(biāo)平面的極坐標(biāo)系下網(wǎng)格劃分如圖9（c）和（d）所示，入射面內(nèi)橢圓高斯光強(qiáng)分布和目標(biāo)平面上圓對(duì)稱高斯光強(qiáng)分布仿真結(jié)果如圖9（e）和（f）所示。

圖9 離軸反射式自由曲面光學(xué)天線仿真結(jié)果

指導(dǎo)學(xué)生對(duì)4 類自由曲面系統(tǒng)進(jìn)一步展開(kāi)研究，對(duì)自由曲面進(jìn)行多項(xiàng)式擬合、誤差計(jì)算、像差分析等，完成課程設(shè)計(jì)論文的撰寫。自由曲面仿真實(shí)驗(yàn)在“光通信前沿實(shí)驗(yàn)”和“光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)”課程中取得顯著的教學(xué)效果。本科生設(shè)計(jì)的雙反射鏡離軸發(fā)射光學(xué)天線，輸出光束的束腰比從2.999 8 降低到1.000 3，最大發(fā)散角壓縮到3.98 μrad，并以論文形式正式發(fā)表［11］。研究生設(shè)計(jì)的同軸發(fā)射光學(xué)天線，將入射高斯光束準(zhǔn)直整形為空心高斯光束，有效提高光通信系統(tǒng)的傳輸效率，其論文在SCI收錄期刊上發(fā)表［10］。

3 課程考核方法與改革成效

將理論考試（60%）、實(shí)驗(yàn)報(bào)告（25%）、課程論文（15%）作為成績(jī)?cè)u(píng)定要素，構(gòu)建多元化的綜合評(píng)價(jià)體系。教學(xué)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)10 余年教學(xué)實(shí)踐，獲得四川省教學(xué)成果二等獎(jiǎng)一項(xiàng)，出版四川省“十二五”規(guī)劃教材一部［12］，校級(jí)教學(xué)成果一等獎(jiǎng)三項(xiàng)，指導(dǎo)大學(xué)生發(fā)表SCI論文20 余篇［11，13-15］。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)自由曲面仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐，豐富了課程內(nèi)容，增加了課程挑戰(zhàn)度和趣味性，加強(qiáng)了學(xué)生的編程仿真能力訓(xùn)練和創(chuàng)新思維啟發(fā)，取得了顯著的教學(xué)效果，對(duì)同類高校專業(yè)核心課程教學(xué)改革具有一定的參考意義。