趙維坤 整理
據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,公元前11世紀,我們的祖輩就在生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論,這種結(jié)論用數(shù)學語言可以表述為:如果取勾的長度為3個單位,股的長度為4個單位,連結(jié)勾股兩端的這條“弦”的長度恰好為5個單位,那么勾、股兩條邊一定相互垂直。這就是我們常說的“商高定理”(其實是勾股定理的逆定理)。
古人利用這個結(jié)論制造出了標準的測量工具——“矩”。有了“矩”,我們就能進行準確的測量。
今天,我們利用方格紙來重新發(fā)現(xiàn)勾股定理。
我們記下列圖形中每個小方格的邊長都為1。
首先,我們在方格紙中畫出2條直角邊長分別為1、2的直角三角形(如圖1)。通過計算圖中3個正方形的面積,我們能發(fā)現(xiàn),直角三角形(陰影部分)的兩直角邊a、b和斜邊c之間的關系:c2=2ab+1及a2+b2=c2。
繼續(xù)畫直角三角形(圖2—圖4),這兩個結(jié)論還成立嗎?
要說明這兩個結(jié)論正確與否,我們還要進行一般化證明。
把上圖中的小方格背景撤去,并且隱去a、b的具體數(shù)值,在一般的直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2=c2是否同樣成立?(可以利用剛才計算斜邊上正方形面積的方法證明這一命題的正確性。)
(作者單位:江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校)