時(shí)曉霞

生活離不開(kāi)數(shù)據(jù)。我們不僅要收集、整理和描述數(shù)據(jù)，還要分析數(shù)據(jù)，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)據(jù)更好地作出判斷。我們一般從“集中趨勢(shì)”和“離散程度”兩個(gè)角度分析一組數(shù)據(jù)，其中常用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，用極差和方差表達(dá)數(shù)據(jù)的離散程度。

一、聯(lián)系生活實(shí)際，引發(fā)問(wèn)題

在表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量中，平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的“核心”，是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)時(shí)常用的統(tǒng)計(jì)量。我們先從生活中的一個(gè)問(wèn)題開(kāi)始說(shuō)起。

例1 學(xué)校召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，要組建一支儀仗隊(duì)，從A班學(xué)生中挑選一組學(xué)生組成方隊(duì)，他們的身高（單位：cm）如下：166，171，170，165，165，169，170，165，166，168，計(jì)算該組同學(xué)的平均身高。

【解析】一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本算法是：[x]=[166+171+…+16810]=167.5（cm），我們稱之為“算術(shù)平均數(shù)”。觀察發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)在165～171之間，我們還可以這樣考慮：先將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去165（不妨稱165為“基數(shù)”），得到一組新的數(shù)據(jù)1，6，5，0，0，4，5，0，1，3，計(jì)算這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)[x']=[1+6+…+310]=2.5（cm），然后加上165，可得平均身高為167.5cm。

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較大，且都接近于某個(gè)數(shù)時(shí)，可將各個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去這個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為計(jì)算一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想。在確定“基數(shù)”的過(guò)程中，培養(yǎng)了觀察、分析問(wèn)題的能力。因此，學(xué)習(xí)是不斷積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。

二、積累生活經(jīng)驗(yàn)，自我建構(gòu)

仔細(xì)觀察上述數(shù)據(jù)，165、166、168、169、170、171分別出現(xiàn)的次數(shù)是3次、2次、1次、1次、2次、1次，出現(xiàn)次數(shù)越多的數(shù)，表明它在這組數(shù)據(jù)中“越重要”——“權(quán)”越大，平均身高還可以這樣算：[x]=（165×3+166×2+…+171×1）÷（3+2+…+1）=167.5（cm）。

表達(dá)一個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度除了用出現(xiàn)的次數(shù)“權(quán)”來(lái)表達(dá)之外，也可以用比例（百分比）來(lái)表達(dá)。

例2 某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對(duì)甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測(cè)試，各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用。三位候選人的各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

[測(cè)試項(xiàng)目 測(cè)試成績(jī) 甲 乙 丙 教學(xué)能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 組織能力 64 72 84 ]

根據(jù)實(shí)際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測(cè)試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成績(jī)，誰(shuí)將被錄用？

【解析】5、3、2表達(dá)了對(duì)應(yīng)項(xiàng)的重要程度，即對(duì)應(yīng)得分的“權(quán)”。[x]甲=[85×5+70×3+64×25+3+2]=76.3（分），同理，[x]乙=72.2（分），[x]丙72.8（分），則甲將被錄用。

變式 若學(xué)校比較注重組織能力，將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力的測(cè)試得分按3：2：5的比例確定每人的成績(jī)，誰(shuí)又將被錄用？大家快去試試吧！

至此，我們可以體驗(yàn)到“加權(quán)平均數(shù)”與日常生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

三、應(yīng)用生活現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)價(jià)值

回到學(xué)校挑選儀仗隊(duì)問(wèn)題。

例3 在學(xué)校儀仗隊(duì)選拔中，B班也挑選了一組同學(xué)，他們的身高（單位：cm）如下：166，170，171，167，165，168，170，168，166，164。與A班同學(xué)的身高相比，哪個(gè)班級(jí)的人選更合適？

【解析】計(jì)算得B班同學(xué)平均身高也是167.5cm。但作為儀仗隊(duì)，隊(duì)員的身高越整齊，則越美觀。于是，計(jì)算兩組同學(xué)身高的方差，方差越小，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，身高越整齊。

s[2A] =［（166-167.5）2+（171-167.5）2+…+（168-167.5）2］÷10=5.05；

s[2B]=［（166-167.5）2+（170-167.5）2+…+（164-167.5）2］÷10=4.85。

所以，B班選出的同學(xué)更合適。

生活中，除了要關(guān)心數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)外，還需關(guān)心數(shù)據(jù)之間的差異。數(shù)據(jù)記錄的是過(guò)去，分析憧憬的是未來(lái)。我們應(yīng)學(xué)會(huì)分析與思考，讓數(shù)據(jù)說(shuō)話。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市積余實(shí)驗(yàn)學(xué)校）