仇盼盼　張新全

摘要：通過對2023年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題的研究，分析其考查特點(diǎn)，探索它的解題思路，最后給出試題的解法，同時提出該題對高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計的教學(xué)啟示，及如何使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂版）》指出：命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測試評價的第一個維度就是反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面，它們分別為情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.2023年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題是一道優(yōu)質(zhì)考題，全面考查了統(tǒng)計與概率的主干知識、數(shù)學(xué)閱讀、概念理解，以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)和能力.

1真題再現(xiàn)2023年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題如下：

某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為 p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1） 當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2） 設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c）.當(dāng)c∈95，105時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間 95，105的最小值.

2試題分析本題以醫(yī)學(xué)上的漏診率和誤診率為背景創(chuàng)設(shè)問題情境，考查了頻率分布直方圖和概率的計算，并將求函數(shù)的解析式及其最值問題有機(jī)融合，試題具有一定的難度和綜合性.本題的絕對難度并不大，但考生解答情況卻很不理想.據(jù)考后調(diào)查，很多考生在閱讀題目后便放棄了作答此題，有的省份空白卷居然多達(dá)近70%.對于使用此卷的考生，本題到底難在哪里？我們認(rèn)為，本題定義了兩個新概念——漏診率和誤診率，并且給出了兩個頻率分布直方圖，這為考生在理解題意上造成較大困難.同時解答時需要考生在圖中標(biāo)出點(diǎn)c的位置，并分別依據(jù)兩個頻率分布直方圖來計算漏診率和誤診率，導(dǎo)致許多考生不知道把點(diǎn)放在哪里，或不知道用哪個圖計算漏診率或誤診率.總之，本題所考查的知識是考生熟悉且常規(guī)的，但問題情境較為新穎，對考生的閱讀理解能力和邏輯推理能力要求較高，能夠較好地考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，值得我們深入研究與思考.

本題共2問，但實(shí)際包含4個數(shù)學(xué)問題，具體分析如下：

第（1）問要求臨界值c和誤診率q（c）.首先要明確參數(shù)c和誤診率q（c）的意義，臨界值c表示判定為陽性或陰性的檢測標(biāo)準(zhǔn)，誤診率q（c）表示將未患病者判定為陽性的概率.其次，求臨界值c要求學(xué)生能從頻率分布直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)信息，會用樣本頻率分布直方圖估計百分位數(shù).求誤診率q（c）要求學(xué)生能從題目閱讀中理解誤診率的含義，并從頻率直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)計算出結(jié)果.在圖中正確標(biāo)注點(diǎn)c的位置并用相應(yīng)的面積表示概率是解答問題的關(guān)鍵所在.

3試題解法（1） 當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c.

評析：觀察法是最快速直接的方法，也是命題人設(shè)置這一問的首要意圖，考查了學(xué)生讀題識圖的方法和能力.思維靈活性和觀察力較強(qiáng)的學(xué)生會運(yùn)用觀察法直接解答，但需要強(qiáng)調(diào)前提條件，此時的臨界值是漏診率p（c）=0.5%時的臨界值，不說明前提條件的解答是不正確的，這要求學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時必須嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn).計算法是解決此問題的另一種方法，一題多解體現(xiàn)了不同層次的學(xué)生解決問題的能力和效率.通過計算來解決此題，需要學(xué)生讀題后，從題目中明確需要解決的問題和相關(guān)數(shù)據(jù)，考查了學(xué)生的推理能力和計算能力，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的又一體現(xiàn).當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，反推得出臨界值c在區(qū)間［95，100］內(nèi)，由此計算得出臨界值c .

（2） 求誤診率q（c）.

評析：誤診率是本題的另一新概念，應(yīng)與漏診率對比理解，并找到與之對應(yīng)的頻率分布直方圖進(jìn)行解答.方法1由臨界值可知，誤診率q（c）表示圖中［97.5，100］和（100，105］的矩形面積和，從概率所表示的幾何意義出發(fā)解題，思維量比較高.此問與“已知漏診率，求臨界值”的設(shè)問互補(bǔ)，更加全面地考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.方法2是通過分別表示出［97.5，100］和（100，105］所對應(yīng)的概率，再求和.方法2是大多數(shù)學(xué)生都能想到的解題方法，也是命題人設(shè)置此問的巧妙所在.當(dāng)不能立刻想到解決問題的方法時，就要冷靜思考，抽絲剝繭，借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)分析現(xiàn)有問題，探索問題解決的突破口，這樣問題也就迎刃而解.

（3） 求f（c）的解析式.

評析：本問的設(shè)置考查學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識來解決數(shù)學(xué)問題的能力，在理解題意的基礎(chǔ)上，找到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，問題就容易解決了，此問難在函數(shù)關(guān)系式是分段的.求分段函數(shù)解析式，學(xué)生需要明確分段區(qū)間和解析式的含義.f（c） 由p（c） 和q（c） 兩部分構(gòu)成，分開計算更清晰明了，也方便檢查，及時發(fā)現(xiàn)錯誤并改正，且此題中的數(shù)據(jù)多為小數(shù)，計算時需要小心謹(jǐn)慎.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，此問與前面的問題看似沒有關(guān)聯(lián)，但f（c）在實(shí)際問題中有著重要的意義，此問著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

（4） 求f（c）的最小值.

評析：此問的設(shè)置與上一問密切相關(guān)，在求出函數(shù)關(guān)系式的前提下，自然會想到研究它的性質(zhì)，求其最值就水到渠成.分段函數(shù)的最值要分段求，進(jìn)而確定整個函數(shù)的最值.在解答時有的學(xué)生未說明各段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，而把某一段函數(shù)的單調(diào)性看作整段函數(shù)的單調(diào)性，從而導(dǎo)致解答錯誤.函數(shù)最值的解法并不唯一，設(shè)置此問體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性，突出了數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活的密切相關(guān)性，同時滲透了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

4教學(xué)啟示4.1注重統(tǒng)計過程的考查首先是收集數(shù)據(jù)，即根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@得數(shù)據(jù).其次是整理數(shù)據(jù)，即用適當(dāng)?shù)膱D表表示數(shù)據(jù)，高中階段需要掌握六種統(tǒng)計圖表：頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、列聯(lián)表，本題考查的是頻率分布直方圖.再次是分析數(shù)據(jù)，用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)，高中階段主要學(xué)習(xí)兩類數(shù)字特征：集中趨勢和離散程度.最后是統(tǒng)計推斷，即根據(jù)數(shù)字特征和概率做統(tǒng)計推理.掌握并深刻理解以上基本概念是解決概率與統(tǒng)計問題的關(guān)鍵點(diǎn)，就如本題中參數(shù)c的含義、p（c）和q（c）所表示的概率以及頻率分布直方圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，在理解基本概念的基礎(chǔ)上讀題識圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，問題就能迎刃而解.

4.2滲透邏輯推理的培養(yǎng)邏輯推理是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力的學(xué)科核心素養(yǎng)之一，它不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論的推理論證和幾何圖形的證明方面，還體現(xiàn)在有邏輯地思考問題，能夠在復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，用合乎邏輯的數(shù)學(xué)語言分析和表達(dá).就如本題中陰性與陽性所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)，漏診率與誤診率所對應(yīng)哪個圖表中的數(shù)據(jù)，還有解題時使用的數(shù)學(xué)邏輯語言，都體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)思維的水平.

4.3重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的提升數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).包括理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.概率與統(tǒng)計部分的計算涉及數(shù)據(jù)較多，且數(shù)據(jù)的形式多樣，有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等多種形式，要重視學(xué)生深刻理解算理，合理選擇算法，選擇合適的數(shù)的形式和運(yùn)算思路，要筆算精確結(jié)果，不能粗略估計或口算，最后要必要的檢查.“推理是命根子，運(yùn)算是童子功”，數(shù)學(xué)中許多問題都是靠算出來的.因此，教學(xué)中不能忽視數(shù)學(xué)運(yùn)算，不能默認(rèn)學(xué)生列出式子就會計算，正確的計算結(jié)果才是完全解決問題的標(biāo)志.參考文獻(xiàn)：

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