傅惠民， 郭建超， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

隨著產(chǎn)品質(zhì)量和可靠性越來越高， 產(chǎn)品壽命越來越長，導(dǎo)致壽命試驗所需時間長、費用高，工程上難以承受。因此， 定數(shù)和定時截尾壽命試驗?zāi)壳耙殉蔀楣こ躺弦活惓Ｓ玫膲勖囼瀃1]。定數(shù)截尾壽命試驗是試驗達到事先規(guī)定的失效數(shù)時停止試驗，此時試驗停止時間是隨機變量；定時截尾壽命試驗則是試驗達到事先規(guī)定的時間停止試驗，此時得到的失效數(shù)為隨機變量。 定數(shù)和定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)都不是傳統(tǒng)的完全壽命數(shù)據(jù)， 在統(tǒng)計分析上比較復(fù)雜。

由于指數(shù)分布具有簡單的數(shù)學(xué)形式和性質(zhì)， 其推導(dǎo)和計算都相對容易，所以人們對于產(chǎn)品壽命遵循指數(shù)分布情況， 已經(jīng)建立了能夠根據(jù)定數(shù)和定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)進行可靠性評估的方法， 并廣泛應(yīng)用于工程實踐中[2]。但是， 對于工程上常見的產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布的情況， 還難以根據(jù)定數(shù)和定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)進行可靠性評估。 鑒于工程上許多情況產(chǎn)品對數(shù)壽命標準差均為已知[3]，因此本文在文獻[4-5]給出的不完全壽命數(shù)據(jù)可靠性評估方法的基礎(chǔ)上， 進一步建立了一種正態(tài)分布定數(shù)和定時截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法， 能夠根據(jù)定數(shù)或定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)給出產(chǎn)品高置信水平、 高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限或可靠度單側(cè)置信下限， 從而使工程上許多原先無法處理的定數(shù)或定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計分析，實現(xiàn)小樣本可靠性評估。

1 正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估

定數(shù)截尾試驗是工程上一類常見的重要試驗， 它要求試驗達到事先規(guī)定的失效數(shù)時停止試驗。 下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

1.1 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標準差為σ0（已知）的正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

可靠度函數(shù)為

式中： μ 為對數(shù)壽命均值；Φ（·）為標準正態(tài)分布函數(shù)。

現(xiàn)進行了一組n 個該產(chǎn)品的定數(shù)截尾試驗， 前r 個為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi，i=1，2，…，r，后n-r 個為未失效數(shù)據(jù)，且xi=xr=lgNr，i=r+1，r+2，…，n。則可以證明，該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限xRL，γ可由下式給出

其置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL，γ則為

式中：M 根據(jù)數(shù)值計算精度要求進行取值（如104，105，106等），并且應(yīng)使Mγ 為整數(shù)。然后，調(diào)整式（8）中的γ 至某一值γ**，使得式（5）中γ*等于γ，此時γ**即為所求值。

對于工程上需要計算置信度為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU，γ的情況，則將上面公式中的γ 用1-γ 代替即可。

現(xiàn)證明如下： 首先， 根據(jù)前r 個失效數(shù)據(jù)xi，i=1，2，…，r， 可以按照完全數(shù)據(jù)處理方法求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

滿足

然后， 利用其余n-r 個未失效數(shù)據(jù)xi=lgNr，i=r+1，r+2，…，n，對的置信度進行Bayes 更新。 即將前r 個失效數(shù)據(jù)求得的式（10）作為先驗分布，并將后n-r 個未失效數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，通過Bayes 公式求得后驗分布。 由于先驗分布直接根據(jù)試驗數(shù)據(jù)求得， 所以確保了后驗分布的客觀真實。 更新后的置信度γ*可以表示為

式中：g（xR）為xR的置信分布[5]。

因此，可將式（12）和式（13）變換為

而式（16）和式（17）可以通過下面兩式進行數(shù)值計算：

代入式（11），可以得到

式中：

最后，調(diào)整式（23）中的置信度γ 至γ**，使得式（20）中的γ*=γ，此時即可求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

將上述證明過程中的置信度換成置信水平， 仍然成立。 證畢！

1.2 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

由置信限曲線的等同性可知， 該產(chǎn)品在給定時間x=lgN 處置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ為

2 正態(tài)分布定時截尾試驗可靠性評估

同樣， 定時截尾試驗也是工程上一類常見的重要試驗，它要求試驗達到事先規(guī)定的試驗時間停止試驗。下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定時截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

2.1 定時截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標準差為σ0（已知）的正態(tài)分布，如式（1）所示。 現(xiàn)進行了一組n 個該產(chǎn)品的定時截尾試驗，前r 個為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi，i=1，2，…，r，后n-r個為未失效數(shù)據(jù)，且xi=x0=lgN0，i=r+1，r+2，…，n，其中N0為試驗截尾時間。 針對定時截尾試驗情況，可將一個未失效數(shù)據(jù)xr+1=x0看作失效數(shù)據(jù)，進而將其轉(zhuǎn)化為定數(shù)截尾試驗情況進行處理， 得到的結(jié)果將偏于保守。 即在式（3）中用r+1 代替r，就可以根據(jù)定時截尾試驗數(shù)據(jù)求得置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

其置信水平為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL，γ仍由式（4）計算。

對于工程上要計算置信水平為γ， 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU，γ的情況，只需將式（6）中的xr換成x0，式（8）中的γ 換成1-γ 即可。

特別地，當(dāng)定時截尾壽命數(shù)據(jù)均為未失效數(shù)據(jù)時，該產(chǎn)品置信水平為γ、 可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

2.2 定時截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

由置信限曲線的等同性可知，該產(chǎn)品在給定時間x=lgN處置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ由下式給出

3 仿真驗證

本文方法除了嚴格的理論推導(dǎo)外， 還進行了大量的Monte Carlo 模擬仿真驗證，其結(jié)果表明：正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法嚴格滿足置信度要求； 而正態(tài)分布定時截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法則通常高于置信度，偏于安全，滿足置信水平要求。下面給出仿真方法和幾組仿真結(jié)果。

仿真驗證方法： 設(shè)某產(chǎn)品的對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布N（μ，σ02），首先通過Monte Carlo 方法從其對數(shù)壽命母體中進行隨機抽樣， 分別產(chǎn)生該產(chǎn)品定數(shù)或定時截尾壽命數(shù)據(jù)。 然后根據(jù)本文方法求得其置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限xRL，γ，并使之與對數(shù)可靠壽命真值xR＝μ-uRσ0進行比較。重復(fù)仿真m 次，統(tǒng)計xRL，γ小于等于xR的頻率作為仿真置信度γ′，比較仿真置信度γ′與設(shè)定的置信度γ，即可驗證本文方法的正確性。

定數(shù)截尾仿真驗證：在每次仿真試驗中，產(chǎn)生一組定數(shù)截尾壽命數(shù)據(jù)，重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次，表1 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定數(shù)截尾仿真驗證結(jié)果?？梢钥吹剑抡嬷眯哦圈谩渚浅＝咏谠O(shè)定的置信度γ。倘若增加重復(fù)仿真次數(shù)m， 則仿真置信度γ′將與設(shè)定的置信度γ 完全相等。 表明本文提出的正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信度要求。

表1 定數(shù)截尾仿真驗證結(jié)果

定時截尾仿真驗證：在每次仿真試驗中，產(chǎn)生一組定時截尾壽命數(shù)據(jù)，重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次，表2 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定時截尾仿真驗證結(jié)果。 可以看到，仿真置信度γ′均高于設(shè)定置信度γ，表明本文提出的正態(tài)分布定時截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信水平要求，略偏于保守。 此外，可以發(fā)現(xiàn)隨著截尾時間的增加， 仿真置信度越加接近于設(shè)定置信度。倘若無限延長截尾時間，該方法將會退化為完全數(shù)據(jù)處理方法。

表2 定時截尾仿真驗證結(jié)果

4 算例

已知某型航空發(fā)動機渦輪葉片對數(shù)壽命遵循標準差為σ0=0.15 的正態(tài)分布。現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機抽取5 個進行振動疲勞試驗， 規(guī)定循環(huán)次數(shù)達到2×107時停止試驗，試驗數(shù)據(jù)如表3 所示。下面采用本文方法對該產(chǎn)品的可靠性進行評估。

表3 某型航空發(fā)動機渦輪葉片定時截尾試驗數(shù)據(jù)

首先，根據(jù)本文2.1 節(jié)方法，將一個未失效數(shù)據(jù)N2視為失效。 由式（9），利用失效數(shù)據(jù)Ni（i=1,2）計算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95、 可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限為

最后，調(diào)整式（23）中的置信水平γ=0.95 至γ**=0.36，使得γ*=γ。 根據(jù)式（26）和式（4）可計算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95，可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL，γ為

5 結(jié)論

提出一種正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法，能夠根據(jù)定數(shù)截尾壽命試驗數(shù)據(jù)評估產(chǎn)品高置信度、高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限， 以及給定時刻下高置信度的可靠度單側(cè)置信下限， 解決了長期以來正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)難以進行可靠性評估的問題。

針對工程上常見的正態(tài)分布定時截尾壽命試驗，進一步建立一種正態(tài)分布定時截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法，使工程上許多原先無法處理的定時截尾壽命試驗數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計分析，實現(xiàn)小樣本可靠性評估。

嚴格的理論推導(dǎo)和大量的Monte Carlo 模擬仿真，證明了本文方法的正確性。