賈鶴鳴，文昌盛，吳 迪，饒洪華，劉慶鑫，力尚龍

1.三明學院 信息工程學院，福建 三明 365004

2.三明學院 教育與音樂學院，福建 三明 365004

3.海南大學 計算機科學與技術學院，?？?570228

優(yōu)化通常用來在特定問題中找到最佳的解決方案，然而隨著科學技術的持續(xù)發(fā)展，實際問題的復雜性不斷提高，對優(yōu)化技術的需求愈發(fā)明顯。元啟發(fā)式優(yōu)化算法由于其簡單性、靈活性和無推導機制受到了眾多學者的關注。近十年來提出了諸多元啟發(fā)式優(yōu)化算法如灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）[1]、蛇優(yōu)化算法（snake optimizer，SO）[2]、黏菌優(yōu)化算法（slime mould algorithm，SMA）[3]、正余弦優(yōu)化算法（sine cosine algorithm，SCA）[4]、哈里斯鷹優(yōu)化算法（harris hawks optimization，HHO）[5]、算術優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）[6]等，并利用它們解決了許多復雜的工程問題。但是，根據(jù)無免費午餐（no-free-lunch，NFL）定理[7]，如果一個算法對一類問題的平均表現(xiàn)特別好，那么它必須在剩下的問題上的平均表現(xiàn)更差。因此沒有一種優(yōu)化算法可以解決所有問題，對算法的優(yōu)化和進一步改進就顯得十分重要[8-9]。常見的優(yōu)化方法有很多，有對種群初始化的方式進行優(yōu)化，例如混沌精英初始化[10]；更為有效的是對算法本身進行優(yōu)化，例如反向學習策略[11]、變異策略[12]、重啟策略[13]和融合算法[14]等，許多算法進行優(yōu)化之后，搜索能力都得到加強，能夠解決更加復雜的實際問題[15-16]。

綜合參考上述關于ROA 的改進，針對ROA 存在的問題，本文提出了一種融合聯(lián)合反向學習與宿主切換機制的?魚優(yōu)化算法（improved remora optimization algorithm，IROA）。在探索階段加入宿主切換機制，隨機選擇旗魚和白鯨作為宿主，提高了ROA的探索能力；同時加入聯(lián)合反向學習策略，有效防止算法陷入局部最優(yōu)，更好地平衡了算法的探索與開發(fā)階段。通過以上兩種策略的綜合作用，提高了ROA的尋優(yōu)能力和收斂精度，加強了算法的全局搜索能力。仿真實驗選取CEC2020來測試IROA的性能，同時選取汽車防碰撞設計問題進行測試，實驗結果進一步驗證了IROA的魯棒性與工程適用性。

1 ?魚優(yōu)化算法

?魚優(yōu)化算法的靈感來源于海洋中?魚的寄生行為。為了免受敵人的入侵，同時也為了節(jié)省體力，?魚會寄生在宿主身上跟隨宿主移動。魚優(yōu)化算法有兩個階段，即探索階段和開發(fā)階段。探索階段魚會吸附在旗魚身上，旗魚是海洋中速度最快的魚，它們通常會成群捕獵，它們特有的狩獵方法是輪流攻擊精英戰(zhàn)術；開發(fā)階段?魚會吸附在鯨魚身上，鯨魚的體積大，經(jīng)常單獨捕獵。?魚優(yōu)化算法提取了旗魚優(yōu)化算法中旗魚的更新公式和鯨魚優(yōu)化算法中鯨魚氣泡網(wǎng)攻擊法作為?魚的運動公式。此外，當周圍食物變少時，?魚會選擇更換宿主。為了確定是否需要更換宿主，還需要圍繞宿主進行小范圍移動，即經(jīng)驗攻擊。如果不改變宿主，則會通過宿主獲得食物，即宿主覓食模式。

1.1 初始化種群

在ROA中，初始化?魚種群位置的計算公式如下：

其中，Ri,j表示?魚i在第j維度的位置，ubj和lbj分別表示搜索空間的上界和下界，r1為0 到1 之間的隨機數(shù)。

1.2 自由旅行(探索階段)

1.2.1 旗魚策略

當?魚吸附在旗魚身上時，?魚會跟隨旗魚移動，可以認為?魚的位置更新與旗魚同步。此外，基于旗魚優(yōu)化算法的精英策略，對其位置更新進行了改進，其計算公式如下：

式中，t為當前迭代次數(shù)，Rit+1表示更新之后的?魚個體i的位置，RBestt表示更新之前最優(yōu)個體的位置，rand函數(shù)可以產生0 到1 之間的隨機數(shù)，Rrandt為更新之前?魚個體的隨機位置。

1.2.2 經(jīng)驗攻擊

?魚吸附在宿主身上時，還會在宿主周圍進行小范圍的試探性移動，判斷是否需要更換宿主。該過程類似經(jīng)驗上的積累。對以上思想建立數(shù)學模型，其計算公式如下：

式中，Rpre表示上一代魚的位置，可以看作一種經(jīng)驗；Ratt是魚基于經(jīng)驗的一次試探性小范圍移動。這種機制通過randn函數(shù)在當前位置和上一代位置之間隨機生成一個新位置Ratt，通過比較Ratt與當前位置的適應度判斷宿主周圍食物是否充足，是否需要更換宿主。

更換宿主的公式如下：

式中，H(i)決定了魚的宿主，初始為0 或者1，若H(i)等于0，則吸附鯨魚，若H(i)等于1，則吸附旗魚，round 為四舍五入的函數(shù)，f()和f(Ratt)分別為與Ratt的適應度值。

1.3 細細品味(開發(fā)階段)

1.3.1 鯨魚策略

其中，D表示位置更新前的最優(yōu)位置與當前位置之間的距離，k為-1 到1 之間的隨機數(shù)，a在迭代中會在[-2,1]之間線性遞減，T為最大迭代次數(shù)。

1.3.2 宿主覓食

宿主覓食是開發(fā)階段的進一步細分，這個階段最佳搜索空間縮減為宿主的位置空間，此時魚在宿主周圍進行小范圍移動，其具體計算公式如下所示：

其中，A代表魚的移動距離，其值和魚與宿主的位置空間有關；為了區(qū)分宿主和魚在搜索空間中的位置，使用魚因子C來縮小魚的位置，本文C的值選取0.1；由于宿主的體積是隨機的，用B模擬宿主的體積；V表示魚的體積。

2 改進的?魚優(yōu)化算法

ROA 的機制簡單，易于實現(xiàn)，并被廣泛應用于解決優(yōu)化問題，但面對復雜度較高的問題時，其探索能力較弱，全局搜索能力不足，容易出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)和收斂精度差的問題。雖然經(jīng)驗攻擊有一定跳出局部最優(yōu)的能力，但這僅是?魚在宿主周圍的一次試探性移動，搜索范圍小且全局性有限。此外，探索階段時魚吸附在旗魚身上，而旗魚是群體捕食模式，受群體的影響可能性較大，容易陷入局部最優(yōu)，致使探索能力不足。因此，本文提出了一種融合聯(lián)合反向學習和宿主切換機制的?魚優(yōu)化算法，通過加入聯(lián)合反向學習策略，提高算法跳出局部最優(yōu)的能力；同時在探索階段引入宿主切換機制，隨機選擇白鯨與旗魚作為宿主，白鯨與旗魚策略相互配合，能更加有效提升算法的搜索能力。

聯(lián)合反向學習在加強了算法全局能力的同時，也能進行局部調整。宿主切換機制引入白鯨作為宿主，克服了原始ROA中旗魚搜索跨度過大的缺點，使算法的全局搜索更加細致。綜合兩種策略，在提高ROA 全局性能的同時，也一定程度上提高了ROA 的開發(fā)能力。

2.1 聯(lián)合反向學習

聯(lián)合反向學習結合了選擇性領先反向和動態(tài)反向的優(yōu)勢，有助于平衡算法的探索階段與開發(fā)階段，有效提高了算法的性能。選擇性領先反向會對小于閾值的維度進行反向，個體位置的變化幅度較小，一定程度加強了算法的開發(fā)能力。動態(tài)反向是概率性的，并且會在搜索空間內大范圍移動，有助于提高算法的全局性能，讓算法跳出局部最優(yōu)。兩者結合而提出的聯(lián)合反向相比傳統(tǒng)的反向學習策略，在提高算法的全局性能的同時，也提高了算法的開發(fā)能力。

2.1.1 選擇性領先反向

選擇性領先反向是從選擇性反向[22]思想擴展而來，通過計算當前個體與當前最優(yōu)個體之間每個維度的距離，并與一個閾值做對比，分成近距離維度和遠距離維度兩組，同時通過斯皮爾曼的等級相關系數(shù)比較當前個體與最優(yōu)個體的相關性，若相關性小于0，則對個體的近距離維度進行反向學習。相較于選擇性反向對遠距離維度進行反向學習，選擇性領先反向的跨度較小，不易遠離最優(yōu)位置。

以二維問題為例，如圖1 所示。B為當前最優(yōu)個體，P1、P2、P3為當前個體，假設閾值為2，P1與B第一維度的距離為5，第二維度的距離為1，與閾值相比，第一維度之間的距離大于閾值，第二維度之間的距離小于閾值，因此僅對第二維度進行選擇性領先反向；同理對于P2，僅需要對第一維度進行選擇性領先反向，對于P3，第一維度與第二維度均需要進行選擇性領先反向。

圖1 選擇性領先反向二維示意圖Fig.1 Two dimensional schematic diagram of selective leading opposition

選擇性領先反向的計算公式如下：

式中，Ri,dc為?魚個體的近距離維度，為?魚個體近距離維度的反向位置，src為斯皮爾曼等級相關系數(shù)，ddi,j為當前個體i在第j個維度上與當前最優(yōu)個體的距離，size(dc)為個體近距離維度數(shù)量，size(df)為個體遠距離維度數(shù)量。

計算個體的size(dc)和size(df)需要通過式（10）計算最優(yōu)個體與當前個體之間每個維度的距離，并與閾值比較，大于或等于閾值的為遠距離維度，小于閾值的為近距離維度，閾值通過式（9）來計算。

式中，RBest,jt為最優(yōu)個體第j個維度的位置，Ri,jt為當前個體i在第j個維度的位置。

2.1.2 動態(tài)反向

動態(tài)反向是由Xu 等[21]融合準反向[23]與準反射[24]思想提出的，優(yōu)點在于它能夠動態(tài)地搜索空間，且在搜索空間中不對稱地移動，有助于算法接近全局最優(yōu)解，具體計算公式如下：

2.2 宿主切換機制

雖然旗魚的游速快，但對解空間的搜索未必全面，而白鯨也是海洋中的一種生物群體，白鯨搜索時相對緩慢且仔細，與旗魚相互協(xié)調能有效增強算法的全局搜索性能，因此本文在算法探索階段加入宿主切換機制，使魚能夠隨機選擇兩種宿主。魚選擇白鯨作為宿主的概率設為Pr，則選擇旗魚作為宿主的概率為1-Pr。為了更有效率地對搜索空間進行探索，將Pr的值設為0.5，3.8 節(jié)給出了Pr的敏感度分析。

當選擇白鯨作為宿主時，參考了白鯨優(yōu)化算法中探索階段的更新公式。白鯨優(yōu)化算法模擬了白鯨的捕食行為，其探索階段是通過考慮白鯨的游泳行為建立的，通常為兩對白鯨以同步或鏡像的方式游泳。其計算公式如下：

若新位置超出邊界，則通過式（15）將超出邊界的維度拉回邊界。

2.3 IROA 的偽代碼與流程圖

IROA 的偽代碼如下所示：

IROA 的流程圖如圖2 所示。

圖2 IROA 的流程圖Fig.2 Flow chart of IROA

2.4 計算復雜度分析

計算復雜度是評價一個算法的重要的指標，IROA 的復雜度主要來源于初始化、種群的位置更新和評估適應度值。種群初始化的復雜度為O(N×dim)。位置更新的復雜度包括多方面，寄生在旗魚、鯨魚和白鯨身上更新位置的復雜度為O(N×dim×T)，其中N為種群大小，dim為維度，T為最大迭代次數(shù)；進行經(jīng)驗攻擊的復雜度也為O(N×dim×T)；宿主覓食是概率發(fā)生的，假設其復雜度最大，為O(N×dim×T)；聯(lián)合反向學習的復雜度根據(jù)文獻[20]可知為O(N×T×(jr×dim+size(dc)))，其中jr為跳躍率，size(dc)為個體近距離維度的數(shù)量。進行經(jīng)驗攻擊、聯(lián)合反向與更新最優(yōu)位置都需要評估位置的適應度值，經(jīng)驗攻擊后對新位置評估的復雜度為O(N×C×T)，其中C為評價一個位置需要的復雜度；對聯(lián)合反向生產的新位置進行評價的復雜度不確定，最大為O(N×C×T×(jr+1))；更新最優(yōu)位置時會對所有位置進行評估，其復雜度為O(N×C×T)。

綜上所述，ROA的計算復雜度最大為O(N×T×(1+3×dim))+O(N×T×C×2)，而IROA 的計算復雜度最大為O(N×T×(1+3×dim+jr×dim+size(dc)))+O(N×T×C×(3+jr))，相比于ROA，由于增加了聯(lián)合反向學習策略，IROA 的復雜度雖然有所增加，但從第3 章的實驗結果和第4 章的工程問題中可以看出，IROA 的性能也得到了較大提升。

3 實驗與分析

本文實驗均在主頻為2.50 GHz 的11th Gen Intel?CoreTMi7-11700 處理器，16 GB 內存，操作系統(tǒng)為64 位Windows 11 的電腦上使用MATLAB2021a 完成。為了測試IROA 的性能，本文選取了CEC2020 的10 個測試函數(shù)進行仿真實驗。其中F1 為單峰函數(shù)，F(xiàn)2～F3 為多峰函數(shù)，F(xiàn)4 為無峰函數(shù)，F(xiàn)5～F7 為混合函數(shù)，F(xiàn)8～F10 為復合函數(shù)。CEC2020 測試函數(shù)的詳細信息如表1 所示。

表1 CEC2020 測試函數(shù)Table 1 CEC2020 test functions

3.1 對比算法與參數(shù)設置

3.2 算法性能對比分析

IROA 與其他對比算法運行30 次得到的最優(yōu)適應度值、平均適應度值和適應度值標準差如表3 和表4 所示，其中min 表示最優(yōu)適應度值，mean 表示平均應度值、平均適應度值和適應度值標準差如表3和表4 所示，其中min 表示最優(yōu)適應度值，mean 表示平均適應度值，std 表示適應度值標準差。在單峰函數(shù)F1中，IROA 相比ROA 尋優(yōu)能力得到了顯著的提升，在10維與100維中，相比其他算法，IROA在最優(yōu)適應度值、平均適應度值和適應度值標準差都取得了最佳。在多峰函數(shù)F2 與F3 中，IROA 取得了最好的最優(yōu)適應度值、平均適應度值，雖然適應度值標準差有所不足，但相較于ROA和BWO算法仍有較大提升。在無峰函數(shù)F4中，除了SCA、BES和WSO算法，其他算法都能穩(wěn)定找到理論最優(yōu)值。F5～F7為混合函數(shù)，雖然WSO 算法在10 維的F5 中的最優(yōu)適應度值優(yōu)于IROA，但在100 維的F5 中IROA 得到結果優(yōu)于WSO算法的結果。在F6～F7 中，IROA 表現(xiàn)出的效果最優(yōu)。在復合函數(shù)F8～F10 中，IROA 的整體性能依舊最優(yōu)，雖然在部分函數(shù)中的適應度值標準差有所不足，但最優(yōu)適應度值和平均適應度值依舊有較大優(yōu)勢。雖然100 維的CEC2020 測試函數(shù)更加復雜，但是IROA的整體性能依舊優(yōu)于其他對比算法。

表3 各算法在CEC2020(dim=10)中的實驗結果Table 3 Experimental results of each algorithm in CEC2020(dim=10)

表4 各算法在CEC2020(dim=100)中的實驗結果Table 4 Experimental results of each algorithm in CEC2020(dim=100)

3.3 收斂曲線分析

為了更加直觀地比較各個算法的尋優(yōu)能力，本文給出了IROA 和對比算法在CEC2020 測試函數(shù)的收斂曲線圖，如圖3和圖4所示。

圖3 各算法在CEC2020(dim=10)的收斂曲線Fig.3 Convergence curves of each algorithm in CEC2020(dim=10)

圖4 各算法在CEC2020(dim=100)的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of each algorithm in CEC2020(dim=100)

在10 維的CEC2020 測試函數(shù)中，對于單峰函數(shù)F1，ROA、SCA 和WSO 算法都有一定收斂能力，但與IROA 相比有所不足，IROA 與WSO 算法在后期均能繼續(xù)收斂。在多峰函數(shù)F2 與F3 中，IROA 雖然前期的收斂速度較慢，但在中后期都能跳出局部最優(yōu)，快速收斂，其他算法均陷入了局部最優(yōu)，無法收斂。在無峰函數(shù)F4 中，由于函數(shù)較為簡單，除了WSO 算法與SCA，其他算法都能很快找到最優(yōu)值。對于混合函數(shù)F5～F7，在F5 中IROA 前期就能快速收斂；在F6和F7 中IROA 前期收斂速度雖然慢，但后期依舊能跳出局部最優(yōu)。對于復合函數(shù)F8～F10，IROA收斂能力依舊不俗，尤其在F9 中，IROA 展現(xiàn)出了強大的跳出局部最優(yōu)的能力，與WSO 算法在前期就能快速收斂，而ROA和其他算法均陷入了局部最優(yōu)。

在100維的CEC2020測試函數(shù)中，對于單峰函數(shù)F1，可以明顯看出IROA 的收斂能力最強，ROA 次之，其他算法收斂能力接近，中后期無法繼續(xù)收斂。對于多峰函數(shù)F2 和F3，IROA 能持續(xù)跳出局部最優(yōu)，擁有較高的收斂精度。在無峰函數(shù)F4 中，只有WSO算法與SCA 無法達到理論最優(yōu)。對于混合函數(shù)F5～F7，明顯看出IROA 的收斂能力更強，比在10 維度中得到優(yōu)勢更加明顯。在復合函數(shù)F8～F10 中，IROA在F8 中可以不斷收斂，而其他算法中期便陷入停滯狀態(tài)，對于F9和F10，IROA、ROA和SCA可以持續(xù)收斂，但明顯看出IROA的收斂速度和收斂精度更高。

3.4 Wilcoxon秩和檢驗

僅通過最優(yōu)適應度值、平均適應度值、適應度值標準差和收斂曲線圖無法分析算法每次運行的結果，因此本文采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證IROA 與對比算法的顯著區(qū)別。其中顯著水平為5%，當p小于5%時，則表示存在顯著區(qū)別，反之則較為相近。本文將8 個算法在CEC2020 中運行30 次，統(tǒng)計結果如表5 和表6 所示，其中符號“+”“-”“=”分別表示IROA 性能優(yōu)于、劣于和等于對比算法，對p大于5%的數(shù)據(jù)進行了加粗處理。在F4 中存在較多為1 的情況，這是由于F4的函數(shù)較為簡單，大多算法都能很快找到理論最優(yōu)解，在不同維度的大部分函數(shù)中p的值均小于5%，可以證明IROA 與對比算法存在顯著差異，且優(yōu)于對比算法。通過Wilcoxon 秩和檢驗，可以看出IROA在大多數(shù)測試函數(shù)中都有更優(yōu)的效果。

表5 各算法的Wilcoxon秩和檢驗結果(dim=10)Table 5 Wilcoxon rank-sum test results of each algorithm(dim=10)

表6 各算法的Wilcoxon秩和檢驗結果(dim=100)Table 6 Wilcoxon rank-sum test results of each algorithm(dim=100)

3.5 對比其他反向學習策略

為了進一步驗證聯(lián)合反向學習策略的優(yōu)越性，表7給出了將IROA中的聯(lián)合反向學習替換成其他反向學習策略在CEC2020(dim=10)運行30 次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對較好的數(shù)據(jù)進行了加粗處理。其中ROBL（random opposition-based learning）為隨機反向學習[14]，QOBL（quasi opposition-based learning）為準反向學習[23]，QRBL（quasi reflection-based learning）為準反射學習[24]，OBL（opposition-based learning）為反向學習[28]、LOBL（lens opposition-based learning）為透鏡反向學習[18]。不難看出，采用聯(lián)合反向學習策略的IROA 在大多數(shù)函數(shù)下的效果都很理想，雖然F6 中的適應度值標準差弱于準反射學習策略，但平均適應度值依舊優(yōu)于其他反向學習策略。在F8 與F9 中平均適應度值沒有取得最優(yōu)效果，但與其他策略并無較大差距。

表7 與其他種類反向學習的對比結果Table 7 Comparison results with other kinds of opposition-based learning

3.6 對比其他ROA的變體

現(xiàn)已有許多學者對ROA 進行了改進，為了體現(xiàn)提出的IROA 的優(yōu)勢，本文選取了融合布朗運動與透鏡反向學習策略的MROA（modified remora optimization algorithm）[18]、基于Levy 飛行與重啟策略的EROA（enhanced remora optimization algorithm）[29]、融合自主覓食機制的IROA（Zheng）[19]和融合互利共生策略的IROA（Wang）[30]與本文的IROA 進行對比，并通過10 維的CEC2020 函數(shù)進行測試，其具體結果如表8 所示，同時對最優(yōu)的數(shù)據(jù)進行加粗。從表8 可以看出，函數(shù)F1、F2 和F3 中，IROA（Wang）的結果略優(yōu)于本文算法，但與本文算法的結果差距不大。在混合函數(shù)F5～F7 中，本文算法得到的最優(yōu)適應度值、平均適應度值和適應度值標準差都有一定優(yōu)勢，雖然F6 的結果略差于IROA（Wang），但本文算法得到結果依舊不俗。在復合函數(shù)F8～F10 中，F(xiàn)8 中，本文算法得到結果與IROA（Wang）相近，F(xiàn)9 中本文算法得到了最好的最優(yōu)適應度值，平均適應度值次之，F(xiàn)10 中本文算法得到結果明顯優(yōu)于其他ROA 的變體。

表8 與其他ROA變體的對比結果Table 8 Comparison results with other ROA variants

3.7 單一策略對比實驗

IROA采用了兩種策略對ROA進行改進，為了體現(xiàn)兩種策略對ROA 的優(yōu)化作用，本節(jié)給出了僅加入聯(lián)合反向策略的ROAJOS（remora optimization algorithm with joint opposite selection）和僅加入宿主切換機制的ROAHS（remora optimization algorithm with host switching）與基礎ROA 進行對比，在10 維度的CEC2020 測試函數(shù)中運行30 次，表9 給出了統(tǒng)計結果。為了使統(tǒng)計結果更明顯，本文對表中較差的數(shù)據(jù)進行加粗。不難看出，基礎ROA 的大多數(shù)數(shù)據(jù)都被加粗。聯(lián)合反向學習與宿主切換機制對ROA均有一定作用。

表9 單一策略對比結果Table 9 Comparison results of single strategy

3.8 參數(shù)敏感分析

本節(jié)進一步分析了宿主切換機制中選擇白鯨作為宿主的概率，給出了概率分別為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9的敏感度分析。表10為不同值的Pr在CEC2020 測試函數(shù)中的統(tǒng)計結果。從表10中可以看出，在概率為0.5 時，IROA 在函數(shù)F5、F7、F8、F9 和F10 中得到了較好的均值，在其他函數(shù)中得到的結果依舊不俗。不難看出，當概率為0.5 時，IROA能夠取得更好的結果。

4 IROA的工程問題應用

研究優(yōu)化算法的目的之一是為了解決實際問題，而測試函數(shù)中的結果并不能體現(xiàn)IROA 在工程問題中的實際性能。因此，本文利用汽車碰撞優(yōu)化問題對算法進行測試，進一步驗證IROA 的工程適用性。

汽車防碰撞設計問題是為了在保持汽車性能的同時，盡可能降低汽車的質量。該問題包含11 個決策變量與10 個約束條件。其中B 柱內板的厚度x1、B柱鋼筋厚度x2、地板內側的厚度x3、橫梁厚度x4、門梁厚度x5、門帶線鋼筋厚度x6、車頂縱梁厚度x7、B 柱內側材料x8、地板內側材料x9、護欄高度x10和碰撞位置x11為決策變量。汽車碰撞優(yōu)化問題設計示意圖如圖5所示。

圖5 汽車側面碰撞模型圖Fig.5 Model diagram of car side crash

汽車防碰撞設計問題的數(shù)學模型如下：

目標函數(shù)：

約束條件：

變量范圍：

表11 為IROA 和對比算法在汽車防碰撞設計問題上的運行30 次的實驗結果和單次運行的平均時間。實驗選取了標準ROA、四種ROA 的變體、一種沙貓優(yōu)化算法的變體和一種互利共生算法的變體作為對比，它們分別為ROA、MROA、IROA（Zheng）、EROA、IROA（Wang）、改進的沙貓算法（modified sand cat swarm optimization，MSCSO）[31]和改進的互利共生算法（hybrid particle swarm optimization/genetic algorithm/symbiotic organisms search，HGPSOS）[32]。其中種群規(guī)模N=30，維度大小dim=7，迭代次數(shù)T=500。Best為各算法在汽車防碰撞問題上運行30次得到的最小適應度值，Mean 為平均適應度值，Std為適應度值標準差，time 表示單次運行時間，最優(yōu)的Best、Mean 和Std 值進行了加粗，x1～x11為算法取得最小適應度值時的解 。不難看出，當x=[0.500 000 000,1.226 934 200,0.500 000 000,1.205 565 700,0.500 000 000,1.223 710 100,0.500 000 000,0.345 000 000,0.345 000 000,0.214 107 800,0.007 404 300]時，IROA 取得了最小質量，并且IROA 得到的平均適應度值與適應度值標準差也優(yōu)于對比算法。從單次運行時間中看出，IROA的運行時間雖然高于ROA，但EROA、IROA（Wang）、MSCSO 和HGPSOS 算法的運行時間明顯更高。實驗充分證明了IROA在汽車碰撞問題上的有效性。

表11 各算法在汽車防碰撞設計問題的實驗結果Table 11 Experimental results of each algorithm in car crashworthiness design

通過上述工程問題證明，原始ROA 的探索能力有所不足且易陷入局部最優(yōu)。而IROA 通過加入聯(lián)合反向策略并增加宿主切換機制，增強了算法的全局能力并提高了算法的收斂精度，在實際工程問題中也能找到更優(yōu)的解，充分驗證了IROA 在解決復雜的工程問題中有較高的潛力與實用價值。

5 結束語

針對ROA 的探索能力不足、求解精度較低并易陷入局部最優(yōu)的缺點，IROA 加入了一種聯(lián)合反向學習策略，增強了算法的全局能力；并增加宿主切換機制，彌補了魚寄生在旗魚上探索能力不足的缺點。利用CEC2020測試函數(shù)對IROA進行測試，實驗結果表明IROA 在大多數(shù)函數(shù)中都有不錯的效果。同時，通過對汽車防碰撞問題的求解，進一步驗證了IROA在實際問題中的適用性。在未來的工作中，計劃將改進的魚優(yōu)化算法應用到更多實際問題中，如多閾值圖像分割領域，并進一步提高和提升算法的優(yōu)化性能。