蔣逢靈，劉賢群

（1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南株洲，412006；2.湖南省高鐵運(yùn)行安全保障工程技術(shù)研究中心，湖南株洲，412006）

混沌系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，具有隨機(jī)性、遍歷性以及初值敏感等特征，系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)出及其的不確定性，非常適合于在安全通信[1]、密鑰加密算法[2]以及圖像處理[3]等方面中的應(yīng)用，已經(jīng)成為一門熱門的學(xué)科研究?；煦缦到y(tǒng)經(jīng)歷了不同階段的研究與發(fā)展，前期階段主要關(guān)注混沌現(xiàn)象的揭示、混沌系統(tǒng)模型的搭建以及混沌理論的確定，而后期階段的研究工作重點(diǎn)傾向于混沌模型的搭建與仿真、混沌理論的延伸以及混沌理論的應(yīng)用等。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，仿真技術(shù)已經(jīng)成為科學(xué)研究中不可缺少的技術(shù)手段，利用仿真技術(shù)輔助科學(xué)研究，有助力縮短科學(xué)研究的周期，解決科學(xué)問題，降低科學(xué)研究的成本及風(fēng)險(xiǎn)[8]。Matlab/Simulink軟件擁有強(qiáng)大的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的分析功能，非常適合于混沌系統(tǒng)的研究，能夠完成混沌系統(tǒng)的建模、仿真和分析等。并且混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真與電路實(shí)現(xiàn)，是認(rèn)識(shí)混沌、應(yīng)用混沌的基礎(chǔ)。1983 年，美國華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路，證實(shí)了利用電子電路實(shí)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的電路模型，開創(chuàng)了混沌電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的先河[4]。隨后研究者們利用電路元器件參數(shù)變化可調(diào)的便利，再通過運(yùn)算放大器加減法、比例運(yùn)算以及微分電路等實(shí)現(xiàn)了混沌電路，誕生了Chua’s 混沌電路[5]，Lorenz 混沌電路[6]、Chen 混沌電路[7]等混沌電路模型，這些研究成果為后來研究者研究混沌、分析混沌特性以及混沌應(yīng)用提供了更多的參考價(jià)值。

根據(jù)Chen 混沌系統(tǒng)的微分方程，給出了系統(tǒng)方程的仿真建模流程，采用Matlab/Simulink 軟件對(duì)Chen 混沌系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真，通過觀測(cè)器觀測(cè)到了系統(tǒng)的混沌相空間吸引子和混沌時(shí)序圖。最后利用電路原理，在Multisim 中搭建Chen 混沌系統(tǒng)模型進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了混沌電路同樣是混沌的，與前面動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果完全吻合。文中利用動(dòng)態(tài)仿真和電路實(shí)現(xiàn)揭示了混沌現(xiàn)象，把抽象的混沌理論，復(fù)雜的混沌動(dòng)態(tài)狀態(tài)該仿真通過仿真軟件簡(jiǎn)明、直觀的展示，有利于為從事混沌理論及應(yīng)用研究提供很好的參考價(jià)值，為混沌系統(tǒng)及實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新途徑。

1 Chen 混沌系統(tǒng)的Matlab 仿真

Chen 混沌系統(tǒng)，與Loren 系統(tǒng)、Chua’s 系統(tǒng)和Rssler 系統(tǒng)都是最具有代表性的混沌系統(tǒng)[9]，其中Chen系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中x，y，z為系統(tǒng)變量，常數(shù)a，b，c系統(tǒng)（1）的參數(shù)，在電路實(shí)現(xiàn)中可以通過改變電阻的取值改變常數(shù)的值。

Matlab 數(shù)值仿真就是根據(jù)系統(tǒng)（1）的數(shù)學(xué)表達(dá)式通過軟件程序的編寫，將數(shù)學(xué)公式抽象化的理論知識(shí)通過計(jì)算機(jī)的處理圖形化或者數(shù)值化，解決復(fù)雜問題的分析，但其缺點(diǎn)是受制于仿真速度較慢，以及無法演化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真過程，只能得到最終的輸出結(jié)果。其具體的仿真思路如圖1 所示，首先在Matlab 中編寫M 文件，將系統(tǒng)狀態(tài)方程的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，通過編程語言設(shè)置參數(shù)和初始值等參數(shù)，輸出系統(tǒng)圖形，最后根據(jù)輸出相圖分析系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)。

圖1 Matlab 數(shù)值仿真流程

以整數(shù)階Chen 混沌系統(tǒng)為例，在數(shù)值仿真參數(shù)設(shè)定中取系統(tǒng)（1）的初始值x(0)=10，y(0)=10，z(0)=10，a=35，b=3，c=28，在Matlab 中運(yùn)行程序，輸出Chen系統(tǒng)的三維相空間吸引子如圖2 所示。

圖2 Chen 系統(tǒng)三維相空間吸引子

2 Chen 混沌系統(tǒng)的Simulink 動(dòng)態(tài)仿真

Simulink 是Matlab 軟件中重要的組成部分之一，具有功能強(qiáng)大，使用簡(jiǎn)單方便的優(yōu)點(diǎn)，是一種有效的可視化仿真工具，非常適合于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模、仿真與分析，不需要編寫大量復(fù)雜的程序，只需要根據(jù)系統(tǒng)表達(dá)式建立模塊化模型，并且仿真效果直觀，非常適合于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的仿真分析。

Simulink 有數(shù)十種以上的功能集合，文中對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)值仿真主要用到Simulink 功能集中“Simulink Library Browser”，里面涵蓋了系統(tǒng)建模、函數(shù)調(diào)用、運(yùn)放、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及狀態(tài)監(jiān)控等功能。具體流程如圖3 所示。

圖3 Simulink 數(shù)值仿真流程

在Simulink中建立Chen 系統(tǒng)的仿真模型如圖4所示。

圖4 Chen 系統(tǒng)Simulink 數(shù)值仿真模型

圖3 中Gain 表示數(shù)乘放大，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（1）中的a，b，c，可以通過修改Gain 的值進(jìn)行改變系統(tǒng)參數(shù)的值。Product 表示變量的乘法“X”運(yùn)算，“1/S”表示積分。仿真設(shè)置參數(shù)a=35，b=3，c=28，運(yùn)行仿真時(shí)間50，通過觀測(cè)器觀察系統(tǒng)的二維空間相圖如圖5所示，x，y 相的時(shí)序圖如圖6 所示，從圖5 和圖6 發(fā)現(xiàn)Chen 系統(tǒng)是混沌的。

圖5 Chen 系統(tǒng)x-y 相圖

圖6 x，y 的時(shí)序圖

3 Chen 混沌系統(tǒng)的電路仿真

混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真研究是基于計(jì)算機(jī)仿真手段分析混沌特征的重要手段，而混沌系統(tǒng)電路實(shí)驗(yàn)是混沌系統(tǒng)在實(shí)際工程中應(yīng)用需要解決的問題。混沌系統(tǒng)因?yàn)槌跏贾得舾械奶匦?，一點(diǎn)點(diǎn)細(xì)微的差別，導(dǎo)致結(jié)果天壤之別，對(duì)實(shí)際電路實(shí)驗(yàn)提出了極其苛刻的要求，需要高精度、高可靠的實(shí)驗(yàn)元器件。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的法陣，構(gòu)造出很多輔助演示研究的仿真平臺(tái)，其中Multisim 電路仿真平臺(tái)就能很好地解決混沌電路的仿真問題，能夠獲得效果顯著的系統(tǒng)仿真結(jié)果。

基于電路原理知識(shí)，根據(jù)Chen 混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，利用運(yùn)算放大器虛短和虛斷的原理設(shè)計(jì)系統(tǒng)的電路模型，其中運(yùn)算放大器（LF347BD）主要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的加減計(jì)算、變量的反相器設(shè)計(jì)以及微分方程等運(yùn)算，模擬乘法器AD633 實(shí)現(xiàn)Chen 混沌系統(tǒng)的非線性變量的運(yùn)算如圖7 所示。

圖7 系統(tǒng)電路原圖

運(yùn)算放大器電壓等級(jí)如圖7 所示，取±18V。為了有效的對(duì)系統(tǒng)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，這里將輸出變量的信號(hào)縮小到原理的1/10，設(shè)變量 u=10x1，v=10x2，w=10x3，其輸出結(jié)果不會(huì)影響系統(tǒng)的性能，令u=x，v=y，w=z，則系統(tǒng)（1）變換為：

根據(jù)電路理論以及電器元器件的運(yùn)算，設(shè)計(jì)出仿真電路為：

由式(2)和式(3)可得：

由式(4)和式(5)，取系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 Chen混沌系統(tǒng)電路參數(shù)

由Chen 混沌系統(tǒng)參數(shù)計(jì)算可得到a=35，b=3，c=28，在Multisim電路仿真中對(duì)電路進(jìn)行仿真，通過示波器觀察到系統(tǒng)（2）的二維及時(shí)序相圖如圖8～圖11 所示，從圖8～圖11中可以看出，系統(tǒng)（2）是混沌的，與系統(tǒng)（1）仿真結(jié)果完全項(xiàng)吻合，驗(yàn)證了電路實(shí)驗(yàn)的可行性與準(zhǔn)確性。

圖8 x-y 二維空間相

圖9 x 時(shí)序圖

圖10 y 時(shí)序圖

4 結(jié)束語

根據(jù)Chen 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，采用Matlab/Simulink 仿真軟件實(shí)現(xiàn)了Chen 混沌系統(tǒng)的建模和動(dòng)態(tài)仿真，給出了仿真建模的流程，并對(duì)模型進(jìn)行仿真分析，系統(tǒng)確實(shí)存在混沌相圖吸引子和時(shí)序圖。最后在Mulitisim 中搭建Chen 混沌系統(tǒng)電路模型，設(shè)置合適的電路元器件參數(shù)，通過示波器觀察系統(tǒng)是混沌的，并且電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果完全相吻合。文中采用多種仿真軟件對(duì)Chen 混沌系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真與電路實(shí)現(xiàn)，把混沌系統(tǒng)抽象化的問題具體直觀化，在一定程度上彌補(bǔ)了科學(xué)研究者物理實(shí)現(xiàn)的短板，同時(shí)也為后續(xù)從事混沌理論及應(yīng)用研究提供參考價(jià)值，為混沌系統(tǒng)和混沌實(shí)驗(yàn)研究提供新途徑。