張夢婷

(福建省福清第三中學(xué),福建 福清 350300)

統(tǒng)計(jì)近五年的高考真題,筆者發(fā)現(xiàn)高考真題對于球的考查主要有以下幾個方面:(1)考查球與幾何體的體積和表面積;(2)考查球的截面截線問題.學(xué)生解決此類問題的難點(diǎn)在于無法準(zhǔn)確作出球與幾何體的直觀圖,對于多變的幾何載體學(xué)生難以確定球心的位置與半徑.以下對2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷第8題的求解進(jìn)行詳細(xì)分析,探究其規(guī)律.

1 試題呈現(xiàn)

考查意圖本題考查了正四棱錐的外接球、函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識,有較強(qiáng)的綜合性.需要學(xué)生擁有立體幾何空間感以及分析解決問題的能力,能在有限的時間內(nèi)做到立體幾何問題平面化,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題.本題突出了轉(zhuǎn)化思想和模型思想的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),強(qiáng)化基礎(chǔ)考查,突出關(guān)鍵能力[1].

2 解法探析

解法1如圖1,設(shè)頂點(diǎn)為P,P在底面的射影為O1,由對稱性可知球心O在PO1上,設(shè)PO1=h,正方形邊長為a,則OP=OA=R.

圖1 2022年新高考Ⅰ卷第8題圖

化簡可知,l2=6h,a2=2l2-2h2=12h-2h2.

令V′=0,解得h=4.

解法2 如圖1,設(shè)頂點(diǎn)為P,P在底面的射影為O1,由對稱性可知球心O在PO1上,記四棱錐側(cè)棱與底面夾角為θ,高為h,則h=lsinθ,O1A=lcosθ.

則(lsinθ-3)2+(lcosθ)2=9.

則l=6sinθ,h=lsinθ=6sin2θ,

所以y′=-3x2+1.

即Vmax=144(ymax)2

3 方法剖析

解決球相關(guān)的切、接問題關(guān)鍵要精準(zhǔn)作圖.對于球內(nèi)接錐體、柱體、臺體問題,想要確定球心、半徑與多面體幾何元素之間的關(guān)系比較困難,需要學(xué)生能夠熟練掌握球中幾何體的圖形特征,應(yīng)付多元變量之間的相互轉(zhuǎn)化.因此,需要在作圖時將幾何體的底面放置在水平的截面圓上,這樣可以直觀看出球心、截面圓圓心所構(gòu)成的直線與截面圓垂直,可以得到多個直角三角形,并且水平的截面可以更好地觀察頂點(diǎn)的位置,從而確定高的信息[2].

而在解題過程中涉及一個球內(nèi)典型的計(jì)算模型,如圖2,此模型可以稱為圓錐模型或斗笠模型.球面上的點(diǎn)與截面的圓心及球心構(gòu)成一個直角三角形,利用勾股定理可以得到球半徑與幾何體底面外接圓半徑之間的關(guān)系.此模型在求解球與幾何體切接問題、截面截線問題上有著廣泛的應(yīng)用[3].

4 應(yīng)用賞析

應(yīng)用1 球與幾何體的體積和表面積問題.

題1 (2022年全國乙卷9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,其高為( ).

解析本題與2022年新高考Ⅰ卷第8題一樣都是球內(nèi)接四棱錐問題,但是此題的底面四邊形是未知四邊形,頂點(diǎn)是球心O.因此一旦底面確定,高就固定下來,需要確定底面四邊形面積與高之間的關(guān)系.基于方法剖析可知首先作出底面四邊形所在的截面圓,如圖3所示將底面擺平.當(dāng)?shù)酌嫠谕饨訄A固定,則錐體的高度固定,因此要四棱錐體積達(dá)到最大,需要底面四邊形面積最大.

圖3 2022年全國乙卷第9題示意圖

因?yàn)閟inα+sinβ+sinθ+sinφ≤4,

SABCD=2r2=2(1-h2).

應(yīng)用2 球的截面截線問題.

題2 (2022年北京卷第9題)已知正三棱錐P-ABC的6條棱長均為6,S是ΔABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合,設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為( ).

解析此題集合T={Q∈S|PQ≤5}構(gòu)成的集合就是球表面以及內(nèi)部的點(diǎn)的集合,本題考查的本質(zhì)就是球與平面ABC的截面問題,球與平面的截面就是一個圓面.

設(shè)球面上點(diǎn)Q,則PQ=5.

則動點(diǎn)Q在以O(shè)1為圓心,以1為半徑的圓上,所以面積為π,故選B.

總之,與球有關(guān)的問題的題目小巧靈活、立意新穎,其內(nèi)涵豐富,知識交匯性也比較強(qiáng),能夠很好地檢測學(xué)生對空間幾何體的想象、識別、判斷的能力.借助模型教學(xué)可以讓解題規(guī)律模型化,這是一種有效的教學(xué)方式,因此在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納解題模型,幫助學(xué)生在考場上能夠胸有成竹地解決此類問題.