徐曉輝

(廣東省惠州市惠陽(yáng)中山中學(xué))

本文以一道教材習(xí)題為基礎(chǔ),通過(guò)由特殊到一般、由淺入深的教學(xué)方法,一步步引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的情景中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,最終認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì),進(jìn)而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo).

一、經(jīng)典再現(xiàn),習(xí)題展示

選自人民教育出版社《數(shù)學(xué) 選擇性必修 第一冊(cè)》“3.3拋物線”的習(xí)題3.3復(fù)習(xí)鞏固第6題.

【例題】如圖,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.

【證明】不妨假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

消x得y2-2y-4=0,

由韋達(dá)定理知y1+y2=2,y1y2=-4,

所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,

因此OA⊥OB.

二、角色互換,初步探究

【探究1】將已知條件和結(jié)論做一個(gè)簡(jiǎn)單的位置調(diào)換,即已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),且OA⊥OB,直線l是否唯一存在?若唯一存在,求出直線l的方程.

【解析】由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+t,其中t≠0,

消x得y2-2my-2t=0,

由韋達(dá)定理知y1+y2=2m,y1y2=-2t,

所以x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2.

【評(píng)注】觀察分析直線方程x=my+2發(fā)現(xiàn),不管m如何變化,直線l均經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),因此得出結(jié)論:已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),且OA⊥OB,則直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0).

我們知道O不僅是坐標(biāo)原點(diǎn),同時(shí)也是拋物線y2=2x上的一個(gè)特殊的點(diǎn).基于上述分析,不禁提出新的疑問(wèn):將條件OA⊥OB中的點(diǎn)O改換成拋物線上任意一點(diǎn),是否存在類(lèi)似的結(jié)論?

三、疑問(wèn)呈現(xiàn),逐個(gè)擊破

【探究2】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),N為拋物線上的一點(diǎn),直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)N),且NA⊥NB,直線l是否過(guò)定點(diǎn)?若直線l過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn).

消x得y2-2my-2t=0.

由韋達(dá)定理知y1+y2=2m,y1y2=-2t,

所以x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2,

x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=m(y1+y2)+2t=2m2+2t.

解得t=x0-my0,或者t=x0+2+my0.

當(dāng)t=x0-my0時(shí),直線l的方程可化為x-x0=m(y-y0),因此直線l過(guò)N點(diǎn),與題意矛盾,舍去;

當(dāng)t=x0+2+my0時(shí),直線l方程可化為x-(x0+2)=m(y+y0),直線l過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2,-y0);

因此直線l過(guò)定點(diǎn),且該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2,-y0).

消x得y2-2my-2t=0,

由韋達(dá)定理知y1+y2=2m,y1y2=-2t,

所以x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2,

x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=m(y1+y2)+2t=2m2+2t.

所以(x1-x0)(x2-x0)+λ(y1-y0)(y2-y0)=0,

解得t=x0-my0,或者t=x0+2λ+my0.

當(dāng)t=x0-my0時(shí),直線l的方程可化為x-x0=m(y-y0),因此直線l過(guò)點(diǎn)N,與題意矛盾,舍去;

當(dāng)t=x0+2λ+my0時(shí),直線l方程可化為x-(x0+2λ)=m(y+y0),直線l過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2λ,-y0);

因此直線l過(guò)定點(diǎn),且該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2λ,-y0).

在探究2和探究3的分析中,我們發(fā)現(xiàn)該定點(diǎn)的位置與拋物線上點(diǎn)N的坐標(biāo)和直線NA,NB斜率的乘積有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián).為了深化對(duì)該定點(diǎn)的認(rèn)識(shí),接下來(lái)探究:當(dāng)拋物線的開(kāi)口大小發(fā)生改變時(shí),直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的位置如何變化?

四、深化認(rèn)知,直擊本質(zhì)

消x得y2-2pmy-2pt=0,

由韋達(dá)定理知y1+y2=2pm,y1y2=-2pt,

所以x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2,

x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=2pm2+2t.

所以(x1-x0)(x2-x0)+λ(y1-y0)(y2-y0)=0,

解得t=x0-my0,或者t=x0+2pλ+my0.

當(dāng)t=x0-my0時(shí),直線l方程可化為x-x0=m(y-y0),因此直線l過(guò)點(diǎn)N,與題意矛盾,舍去;

當(dāng)t=x0+2pλ+my0時(shí),直線l方程可化為x-(x0+2pλ)=m(y+y0),直線l過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2λp,-y0);

因此直線l過(guò)定點(diǎn),且該定點(diǎn)坐標(biāo)為(x0+2λp,-y0).

【評(píng)注】通過(guò)探究4不難發(fā)現(xiàn),拋物線上點(diǎn)N到x軸的距離等于定點(diǎn)到x軸的距離.當(dāng)直線NA,NB斜率的乘積不變時(shí),改變拋物線上點(diǎn)N的位置,對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的位置也會(huì)相應(yīng)發(fā)生改變,這些定點(diǎn)組成怎樣的圖形?

【探究5】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),N為拋物線上的一點(diǎn),直線l與拋物線y2=2px相交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)N),直線NA,NB的斜率均存在,且kNA+kNB=μ,直線l是否過(guò)定點(diǎn)?若直線l過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn).

消x得y2-2pmy-2pt=0,

由韋達(dá)定理知y1+y2=2pm,y1y2=-2pt,

所以x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2,

x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=2pm2+2t.

五、拓展應(yīng)用,感悟反思

【練習(xí)1】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線E上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,且|PF|=2,A,B是拋物線E上異于O的兩點(diǎn).

(Ⅰ)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若直線OA,OB的斜率之積為-4,求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

【練習(xí)2】如圖,已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)A(1,1),過(guò)點(diǎn)P(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合).

(Ⅰ)求拋物線C的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值,并求出該定值.

【練習(xí)3】已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

(Ⅱ)已知定點(diǎn)P(1,2),A,B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).

【練習(xí)4】已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).

(Ⅰ)求拋物線C的方程;