劉 剛 高成龍 胡萬君 朱章宸 劉云鵬

基于改進的連續(xù)局部枚舉采樣和徑向基函數(shù)響應面法的變壓器靜電環(huán)結構優(yōu)化設計

劉 剛 高成龍 胡萬君 朱章宸 劉云鵬

（華北電力大學河北省輸變電設備安全防御重點實驗室 保定 071003）

變壓器的安全穩(wěn)定運行與其內部絕緣結構密切相關，為了提高變壓器的絕緣性能，該文以提高最小絕緣裕度為優(yōu)化目標，通過徑向基函數(shù)響應面模型優(yōu)化變壓器主絕緣結構。為提高響應面模型預測優(yōu)化的準確性，選用采樣更均勻改進的連續(xù)局部枚舉（ELSE）方法進行試驗設計，優(yōu)化后的變壓器最小絕緣裕度比優(yōu)化前提高了12.56%。將優(yōu)化結果分別從采樣、模型和優(yōu)化方法三個角度進行對比，與拉丁超立方采樣（LHS）采樣下的徑向基函數(shù)響應面模型對比，ESLE方法的引入使得優(yōu)化精度提高到218倍；與ESLE采樣下的二次多項式響應面模型對比，徑向基函數(shù)響應面模型的引入降低了模型預測誤差，并使優(yōu)化精度提高到78倍；與遺傳算法對比，在相同的優(yōu)化精度下，優(yōu)化效率是遺傳算法的10倍。上述結果表明，該優(yōu)化模型具有很高的預測精度和優(yōu)化能力，同時相比于遺傳算法優(yōu)化，在保證優(yōu)化質量的同時，顯著地提高了優(yōu)化效率。該文所提出的方法為變壓器主絕緣結構優(yōu)化問題提供了較好的解決方案。

響應面方法 改進的連續(xù)局部枚舉 徑向基函數(shù) 絕緣裕度 變壓器 結構優(yōu)化

0 引言

電力變壓器是構成電力系統(tǒng)輸配電的重要設備之一，為保證變壓器的安全穩(wěn)定運行，提高變壓器的內絕緣水平成為了一種必然要求。在影響電力變壓器內絕緣的各類因素中，變壓器的主絕緣結構是其中一個關鍵的影響因素，因此，做好電力變壓器的主絕緣結構優(yōu)化是變壓器穩(wěn)定運行的重要保障[1-3]。

變壓器的絕緣裕度可以兼顧變壓器中的電場分布與油隙分布特性，可以將其作為一個評價變壓器絕緣結構的合理的指標[4]。同時為確保電力變壓器主絕緣的可靠性，須對其絕緣結構進行優(yōu)化，使其最小絕緣裕度盡可能地提高。文獻[5]中給出了工程上應用的變壓器結構參數(shù)與絕緣指標的經(jīng)驗性解析公式。但在實際工程問題中，各類變壓器具有不同的復雜結構，且考慮到各種不同的絕緣指標，很難找到一個合適的解析表達式來描述待優(yōu)化變量和優(yōu)化目標之間的關系，此時就需要用到全局優(yōu)化算法、響應面法等方法來進行絕緣結構的優(yōu)化。

全局優(yōu)化算法包括粒子群算法[6-8]、遺傳算法[9-12]等。但全局優(yōu)化算法在處理黑箱優(yōu)化問題時，由于初始數(shù)據(jù)集是隨機生成的且無確定的終止指標，只能通過不斷增加計算次數(shù)和迭代次數(shù)來盡可能地接近最優(yōu)解，會造成一定的時間和計算資源的浪費。

響應面法本質上是一種利用統(tǒng)計學分析“黑箱”問題的方法，主要是根據(jù)已有數(shù)據(jù)建立一個具有明確表達的關系式，然后通過對這個關系式進行數(shù)值規(guī)劃來求得范圍內的最優(yōu)解以及取到該解的對應變量值，從而達到優(yōu)化的目的[13]。其中多項式響應面模型因其計算過程簡單、計算時間短、優(yōu)化效率高的優(yōu)勢被廣泛應用。文獻[14-15]利用二次多項式響應面模型分別對變壓器的絕緣結構和吊掛剛度進行了優(yōu)化。但由于多項式響應面本身非線性程度不高，解決復雜非線性隱函數(shù)問題時其擬合效果不是很好，針對上述問題，文獻[16]提出通過使用徑向基函數(shù)（Radial Basis Function, RBF）來代替Hermite多項式去解決復雜非線性隱函數(shù)擬合問題，通過若干非線性算例的比較，驗證了基于徑向基函數(shù)響應面法的擬合效果更好。

響應面模型的構建是建立在大量試驗數(shù)據(jù)上的，因此響應面模型的擬合精度與試驗數(shù)據(jù)樣本點在設計空間的分布密切相關。傳統(tǒng)的響應面設計主要包括BBD（Box-Behnken design）設計和中心復合設計（Central Composite Design, CCD）。R. A. Raj等將BBD響應面設計用于變壓器絕緣材料PPOME介電性能的優(yōu)化[17]；唐昭暉等采用CCD響應面設計對交流接觸器彈簧系統(tǒng)進行了優(yōu)化[18]。但是由于傳統(tǒng)響應面設計方法采樣點與其維度呈指數(shù)次關系，因此在采樣維度過高時，其所需采樣點數(shù)量將大幅增多，會造成采樣效率不高，且采樣水平數(shù)恒為3無法調控[19]。為解決上述問題，文獻[20]采用拉丁超立方設計進行采樣，使采樣點數(shù)實現(xiàn)自由調控，且其水平數(shù)不再受限制。

拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling, LHS）方法的本質是分層抽樣[21]，張忠元等指出拉丁超立方采樣方法具有有效的空間填充力，擬合非線性能力強[22]；A. Agarwal等利用拉丁超立方采樣構造響應面模型對汽車底盤質量進行了有效的優(yōu)化[23]。目前常用的拉丁超立方采樣普遍都是將累計概率分布函數(shù)值進行等分（假設采樣點數(shù)為），再利用累計概率分布函數(shù)將各區(qū)段函數(shù)值映射到采樣區(qū)間上[24]。這種采樣原理雖然簡單直接，但由于累計概率分布函數(shù)的非線性，映射到采樣區(qū)間的采樣點的空間均勻性和投影均勻性將受到影響。針對傳統(tǒng)LHS方法存在的不足，文獻[25]提出了一種改進的LHS方法——逐次枚舉采樣（Successive Local Enumeration, SLE）方法，SLE方法的每一次采樣都會考慮到前面已采各點對其的影響，從而采樣的整體均勻性會更好。但是因為逐次枚舉導致SLE在高維大采樣數(shù)據(jù)情況下計算量大幅增加，耗時過長，工程應用價值較差。針對上述問題，陳鑫對SLE方法原理進行改良，提出了改進的連續(xù)局部枚舉（Enhanced Successive Local Enumeration, ESLE）算法，在保證采樣的空間均勻性和投影均勻性基礎上，大大加快了采樣速度[26-27]。

目前ESLE方法只應用于航空領域，用來提高超聲速飛行器氣動熱、氣動力降解模型的精度，用于變壓器主絕緣結構優(yōu)化尚屬空白。因此考慮到采樣均勻性和響應面模型擬合效果對變壓器結構優(yōu)化的影響，本文提出了構建基于ESLE采樣的徑向基函數(shù)響應面模型方法對變壓器主絕緣結構進行優(yōu)化。本文針對一臺500 kV變壓器進行參數(shù)化建模，以提高變壓器最小絕緣裕度為優(yōu)化目標，將靜電環(huán)四個相關參數(shù)作為優(yōu)化變量，利用ESLE方法獲取訓練集，利用訓練得到的徑向基函數(shù)響應面模型對變壓器主絕緣結構進行優(yōu)化，并與LHS函數(shù)lhsdesign采樣下的RBF響應面模型、ESLE采樣下的二次多項式響應面模型和遺傳算法（Genetic Algorithm, GA）的優(yōu)化結果進行對比分析來驗證本文優(yōu)化方法的有效性。

1 徑向基函數(shù)響應面模型

徑向基函數(shù)（RBF）是一類以未知點與已知數(shù)據(jù)點之間的歐氏距離作為自變量的函數(shù)。以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性組合構造出的模型即為徑向基函數(shù)模型，其基本形式為[28-29]

表1 常用的徑向基函數(shù)

Tab.1 Commonly used radial basis functions

由于高斯函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，其非線性程度更高，對于黑箱問題，待擬合模型非線性程度越高，對其適用性越強，因此本文采用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)。

對于個輸入、組訓練樣本下的徑向基網(wǎng)絡如圖1所示。

圖1 徑向基網(wǎng)絡示意圖

代入高斯函數(shù)，則第個輸出通式可寫為

式中，為輸入變量個數(shù)；為測試集數(shù)量即隱含層數(shù)；為第個輸出變量；w為第個隱含層到第個輸出層的權重；s為第組測試集的第個輸入變量對應的值；x為第個輸入變量；k為第個隱含層到第個輸出的閾值；b為第個輸出的截距。

2 改進逐次枚舉采樣算法

2.1 算法原理及實現(xiàn)流程

逐次枚舉采樣（Successive Local Enumeration, SLE）方法是一種逐次采樣的拉丁超立方算法，滿足LHS方法的不重復采樣原則，即各變量的每個區(qū)間內僅可采樣一次，但有別于傳統(tǒng)的LHS方法，由于其基于maximin（最小距離最大化）采樣原則，使得已采樣點的位置對待采樣點的位置有很大影響。進而使得該方法具有較好的采樣均勻性，由于該方法的逐次采樣特性，使得該方法在變量數(shù)超過3時，距離計算量較大，計算效率低下，不具有工程實際應用價值，因此文獻[22]在SLE方法基礎上，提出了改進的逐次枚舉采樣（ESLE）法。此方法通過遺忘因子法和空間縮減法避免了在采樣過程中不必要的距離計算，從而減小了計算時間，提高了計算效率。

ESLE方法的采樣流程如下：

（1）選定一個變量作為基準變量（cell），該變量中的各區(qū)間選取順序同采樣點順序。

（2）cell變量選為第一個區(qū)間，其余變量隨機選取來確定第一個點。

（3）基于maximin原則，第二個點必位于各變量邊界組合內（除cell變量外），遍歷各邊界點，距離第一個點距離最大的即選定為第二個點。

（4）對于第個點（≥3），首先利用空間縮減法，根據(jù)不重復采樣和maximin原則，將各變量在個點下可選取的區(qū)間數(shù)進行縮減，第個點的備選點數(shù)目大幅縮減，減少了后續(xù)距離相關的計算量。

（5）然后采用遺忘因子法，為總采樣點數(shù)，為遺忘因子。當＜(1-)時，為確定第個點應計算所有待選點與前-1個采樣點之間的距離，并選取其中的最小值作為該待選點的特征值，再選取各待選點特征值中最大的一個點作為第個點；當≥(1-)時，前(1-)以外的點對待選點特征值的影響已經(jīng)很弱，因此計算各待選點特征值時只需計算與前(1-)個點之間的距離即可，后續(xù)過程同前。經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)=0.7時，在保證采樣均勻性不變的前提下可以最大限度地提高計算速度。

（6）重復步驟（4）和步驟（5），直至第-1個點被確定。

（7）確定好前-1個點后，最后一個點可根據(jù)不重復采樣原則，通過遍歷已采樣各區(qū)間自然而然確定下來。

2.2 算法有效性驗證

采用Matlab r2018a編程，所用設備型號如下：CPU為12th Gen Intel(R) Core(TM) i9-12900KF 3.20 GHz；內存為128 GB。

將ESLE與SLE兩種算法分別進行2維100組點、4維20組點、4維50組點和4維100組點的采樣均勻性與時間對比，來驗證ESLE算法的有效性。為說明采樣算法的空間均勻性和投影均勻性，采用CL2準則、準則（見式（3）、式（4））和樣本點之間的最小距離min對所采樣數(shù)據(jù)進行測試[18-19]。

式中，為變量數(shù)；s為采樣點數(shù)；x為第個變量在第個采樣點下的坐標。

式中，為一個正整數(shù)；d(1≤,≤,≠)為任兩點（點和點）之間的距離。

對任兩點間的距離d進行從小到大排序，形成距離列表(1,2,×××, d)和等距個數(shù)列表(1,2,×××, J)，并且1＜2＜×××＜d，J為距離為d的個數(shù)，為不同距離值個數(shù)。

CL2、Φ值越小，min值越大，說明采樣點的空間均勻性和投影均勻性越好。本文將四組變量在[0,1]區(qū)間內進行測試，通過ESLE和SLE對2維100組點，4維20組、50組和100組點分別采樣10次，計算10次試驗下各采樣情況的采樣指標平均值，其結果對比見表2。

表2 ESLE與SLE的采樣對比

Tab.2 Comparison of ESLE and SLE sampling

根據(jù)表2中SLE和ESLE的對比，可以發(fā)現(xiàn)二者在空間均勻性和投影均勻性上幾乎一致，但ESLE由于遺傳因子和空間縮減兩種方法的引入使得計算效率大大加快，且其效率提高在維度高、采樣數(shù)量多的情況下尤為明顯，在4維100組采樣點下，采樣時間是SLE的17.5%，大大提高了采樣效率，驗證了ESLE算法在計算效率上的有效性。

再分別利用ESLE與LHS函數(shù)lhsdesign進行試驗，將二者采樣的均勻性進行對比，四個變量采樣區(qū)間均為[0,1]，重復采樣10次后，計算采樣均勻性指標平均值進行對比，結果見表3和圖2所示。

表3 LHS和ESLE的空間填充率對比

Tab.3 Comparison of space filling rate of LHS and ESLE

根據(jù)表3數(shù)據(jù)進行分析可以發(fā)現(xiàn)，整體的準則值均能驗證ESLE方法在采樣均勻性上的優(yōu)勢，只有4維20組數(shù)據(jù)下的值和min值得出了相反結論，但兩種方法在兩個指標值下的差異并不大，分析其原因，應該是由于采樣點過少，在空間中采樣均勻性無法得到充分體現(xiàn)，因此不同采樣方法的采樣均勻性也就相差無幾，不影響對ESLE采樣均勻性結論更優(yōu)的分析。

圖2 2維100組數(shù)據(jù)下LHS與ESLE采樣情況對比

對二維采樣進行可視化處理，如圖2所示，可以看出LHS在空間均勻性上不如ESLE，驗證了ESLE算法在采樣均勻性上的有效性。

3 計算實例

3.1 變壓器計算模型

本文計算模型是一臺500 kV的變壓器，如圖3所示，計算模型主要包括靜電環(huán)、角環(huán)、繞組、紙板、鐵軛、鐵心柱、變壓器油等部分。

圖3 500 kV變壓器計算模型

靜電場邊值問題可表示為

考慮上述有關條件，本文根據(jù)文獻[14]的研究基礎，采用Ansys的APDL語言進行參數(shù)化建模、剖分、施加邊界條件和計算求解后得到初始尺寸下的電場強度云圖如圖4所示。

圖4 500 kV變壓器初始結構電場強度云圖

分析變壓器的結構電場強度云圖可知，最大電場強度出現(xiàn)在一次側的靜電環(huán)右上角的拐角處，且較大的電場強度也出現(xiàn)在靜電環(huán)周圍，由于絕緣裕度由電場強度和油隙間距共同決定，所以初步判定靜電環(huán)的結構可能影響最小絕緣裕度。結合文獻[3,6]通過改變靜電環(huán)結構對最小絕緣裕度進行優(yōu)化的研究，本文也嘗試通過改變靜電環(huán)結構參數(shù)以提高變壓器的最小絕緣裕度。最小絕緣裕度計算流程已在文獻[4]詳細闡述，本文不再贅述。

在參考相關主絕緣結構分析的條件下[4,6,14]，保證靜電環(huán)的厚度不變，將靜電環(huán)分為上、下兩段圓弧，選取以下對絕緣裕度影響較大的靜電環(huán)結構參數(shù)作為待優(yōu)化變量：靜電環(huán)上段圓弧的半徑1、靜電環(huán)上表面到靜電環(huán)上方第一個紙板的距離、絕緣層厚度、靜電環(huán)上端兩段圓弧之間的距離。圖5為靜電環(huán)的局部結構待優(yōu)化參數(shù)示意圖。

在滿足結構正確性和有效性的前提下，變壓器初始結構中各參數(shù)的取值及變化范圍見表4。

圖5 靜電環(huán)局部結構待優(yōu)化參數(shù)示意圖

表4 初始結構中各參數(shù)的取值及變化范圍

Tab.4 Value and variation range of each variable in the initial structure

3.2 變壓器絕緣結構優(yōu)化流程

根據(jù)3.1節(jié)分析可知，變壓器絕緣結構的優(yōu)化主要是針對一次側靜電環(huán)有關結構參數(shù)進行優(yōu)化。確定好4個優(yōu)化變量和以最小絕緣裕度為優(yōu)化目標后，需要進行ESLE試驗設計獲得訓練集和測試集，利用訓練集生成徑向基函數(shù)響應面模型，測試集用于模型的適用性檢驗，獲取通過檢驗的模型的數(shù)學表達形式（見式（2））。最后利用智能算法對響應面模型進行優(yōu)化，求取表達式的最優(yōu)解，獲得變壓器最小絕緣裕度及相應結構參數(shù)取值情況。優(yōu)化流程如圖6所示。

3.3 改進逐次枚舉（ESLE）試驗設計

在變壓器結構優(yōu)化模型中共有4個變量：1、、、，且只有最小絕緣裕度一個響應值，采用ESLE方法進行100次試驗設計作為訓練集。

通過Matlab調用Ansys計算得到100組試驗數(shù)據(jù)對應的響應值，所得100組采樣數(shù)據(jù)見附表1。100組試驗設計采樣時間為1.2 h；100組響應值的計算時間為18 h。

另采樣20組數(shù)據(jù)作為測試集，獲取過程同訓練集，采樣時間為4.5 s，20組測試集數(shù)據(jù)見表5。

圖6 變壓器絕緣結構優(yōu)化流程

表5 20組測試集數(shù)據(jù)

Tab.5 20 sets of test data

3.4 徑向基函數(shù)響應面模型的構建和優(yōu)化

針對該500 kV變壓器計算模型，待優(yōu)化變量為1、、、，選擇基于徑向基函數(shù)的響應面模型進行試驗。將ESLE采樣獲得的100組數(shù)據(jù)作為訓練樣本，即式（2）中=100，變量數(shù)為4個，即=4，僅最小絕緣裕度一個優(yōu)化目標，為單輸出問題。在Matlab中通過newrbe函數(shù)來訓練網(wǎng)絡，spread值選取為100。獲得響應面模型后代入表5中的20組測試集數(shù)據(jù)進行適用性檢驗，得到測試集的預測值與對照值對比如圖7所示。

圖7 徑向基響應面模型適用性檢驗

根據(jù)圖7預測值與對照值對比，其擬合出的曲線接近于=，同時20組數(shù)據(jù)最大誤差出現(xiàn)在第17組測試數(shù)據(jù)，即預測值為1.692、對照值為1.702時，其誤差為0.59%，滿足誤差精度要求，因此可以認為預測值接近對照值，驗證了徑向基函數(shù)訓練網(wǎng)絡的有效性、準確性。

根據(jù)訓練得到的網(wǎng)絡，通過Matlab調用獲取所需參數(shù)，最終獲得了式（2）的函數(shù)表達式，將該函數(shù)表達式利用模擬退火算法進行最小絕緣裕度的最優(yōu)求解，馬爾科夫鏈長50，初始溫度為150℃，判斷終止條件為相鄰兩次迭代最優(yōu)值之差在10-4以內。模擬退火算法優(yōu)化過程如圖8所示。

解得最小絕緣裕度最優(yōu)值為1.852 5，對應各變量尺寸為1=12.96 mm、=6.04 mm、=4.96 mm、=97.99 mm，用時166.1 s。

圖8 模擬退火算法優(yōu)化過程

考慮工程實際制造能力，將尺寸值取整得：1=13 mm、=6 mm、=5 mm、=98 mm，利用Ansys計算得到尺寸值取整后模型的最小絕緣裕度為1.854 7，該值作為優(yōu)化結果的對照值，預測最優(yōu)值與對照值誤差僅為0.012%，誤差很小滿足精度要求，證明了基于RBF響應面模型的優(yōu)化結果是符合實際的，總用時19.3 h。

4 優(yōu)化結果對比

本節(jié)優(yōu)化計算所用設備型號及軟件版本與2.2節(jié)所給出的設備軟件信息相同。

4.1 與LHS函數(shù)lhsdesign采樣下的優(yōu)化結果對比

本文2.2節(jié)中對ESLE方法和lhsdeign函數(shù)在采樣均勻性上進行對比，得出ESLE方法在采樣點的均勻分布上更具優(yōu)勢的結論。而采樣的均勻程度在優(yōu)化效果上是否能得以體現(xiàn)，本節(jié)將進行相關分析。

利用lhsdesign函數(shù)采樣100組數(shù)據(jù)，并通過Matlab調用Ansys獲取對應響應值，將這100組數(shù)據(jù)作為訓練集代入式（2）中，獲得lhsdesign函數(shù)采樣下的徑向基函數(shù)響應面模型，并對表5中相同的20組測試集數(shù)據(jù)進行預測，預測值與對照值對比如圖9所示，其中最大誤差為3.35%。

同時再計算兩種采樣情況下所得響應面模型對20組測試集數(shù)據(jù)預測下的方均根誤差（Root-Mean-Square Error, RMSE）如式（6）所示，結果見表6。

圖9 lhsedesign采樣下測試集預測值與對照值對比

表6 兩種采樣下的誤差對比

Tab.6 Comparison of errors under two types of sampling

根據(jù)表6可以看出，ESLE采樣下的徑向基函數(shù)響應面模型對應20組測試集的最大誤差僅為0.59%，小于lhsdesign函數(shù)采樣下的響應面模型的最大誤差3.35%，同時其對應方均根誤差也更小，僅為0.004 1。再對兩種采樣下的優(yōu)化結果進行對比，所得結果見表7（表中對照值為兩種方法優(yōu)化變量取整后分別通過Ansys仿真計算得到的最小絕緣裕度值）。

表7 兩種采樣下優(yōu)化結果的對比

Tab.7 Comparison of optimization results under two kinds of sampling

根據(jù)表7可以看出， ESLE和lhsdesign函數(shù)采樣下的優(yōu)化結果與二者在優(yōu)化變量取整時對應的對照值的誤差相差較大，其中l(wèi)hsdesign函數(shù)采樣下所取得的最優(yōu)值與對照值的誤差約為ESLE采樣下的218倍。同時ESLE采樣下優(yōu)化變量取整后對應的對照最小絕緣裕度也高于lhsdesign函數(shù)采樣下對應的值。

綜合上述分析，可以得出結論：ESLE采樣下的徑向基函數(shù)響應面模型預測精度更高，優(yōu)化后得到的最優(yōu)解更好，即采樣點分布越均勻，所得響應面模型精度越高，優(yōu)化能力越好。

4.2 與二次多項式響應面的優(yōu)化結果對比

二次多項式響應面模型因其構造形式簡單、模型優(yōu)化計算成本低而被廣泛應用于黑箱問題分析中。但考慮到其非線性程度不高，在變壓器絕緣結構這種復雜計算問題中沒有應用該模型，而是采用了徑向基響應面模型進行預測與優(yōu)化。因此本文將通過ESLE采樣（采樣數(shù)據(jù)同3.3節(jié)訓練集）構建二次多項式響應面模型與徑向基響應面模型進行對比，來驗證所選用徑向基響應面模型應用于變壓器絕緣結構優(yōu)化上的有效性。

構建二次多項式響應面模型為

式中，為絕緣裕度；1、2、3、4分別對應1、、、四個變量。

將20組測試集代入式（6）和式（7），計算得到兩種模型下擬合的最大誤差和方均根誤差見表8。

表8 模型性能比較

Tab.8 Comparison of model performance

根據(jù)表8可以分析得到，無論是最大誤差還是方均根誤差，徑向基響應面模型均小于二次多項式響應面模型，再對測試集各組數(shù)據(jù)相對誤差進行對比，如圖10所示。

由圖10可以看出，二次多項式模型采樣數(shù)據(jù)誤差較大的點（尖峰點）的數(shù)值都大于對應的徑向基函數(shù)模型的誤差，尤其是第2組數(shù)據(jù)，多項式模型與徑向基函數(shù)的預測誤差之間差距最大；反觀徑向基函數(shù)的尖峰點誤差值，大于多項式模型的第1、8、10三組數(shù)據(jù)都沒有那樣大的差距。因此，綜合考慮最大誤差和誤差整體分布情況后，可以得出徑向基函數(shù)響應面模型的擬合效果優(yōu)于二次多項式響應面模型，這也說明了本文采用徑向基響應面模型是合理的。

圖10 兩種模型下的測試集各組數(shù)據(jù)相對誤差對比

對式（7）使用模擬退火算法求得其最優(yōu)值為1.837 4，此時最優(yōu)組合為：1=13 mm、=6 mm、=5 mm、=98 mm。

兩種模型的優(yōu)化結果見表9（表中對照值為兩種方法優(yōu)化變量取整后分別通過Ansys仿真計算得到的最小絕緣裕度）?？梢钥吹?，兩種模型最優(yōu)點選取是一致的。但對于最優(yōu)值的選取，基于多項式響應面模型的優(yōu)化誤差為0.933%，而基于徑向基函數(shù)響應面模型優(yōu)化誤差僅為0.012%，準確度約為基于多項式響應面模型的78倍。因此相比于二次多項式響應面模型，徑向基函數(shù)響應面模型準確度更高，更適合于變壓器絕緣結構優(yōu)化問題的分析。

表9 兩種模型優(yōu)化結果的對比

4.3 與全局優(yōu)化算法GA的優(yōu)化結果對比

為驗證響應面法所優(yōu)化結果的有效性，本文采用全局尋優(yōu)的遺傳算法（GA）對此變壓器模型的結構參數(shù)進行優(yōu)化。取每代種群數(shù)量為40，代溝為0.8，變異概率為0.01。由于遺傳算法初始化種群有一定隨機性，本文以多次優(yōu)化后取平均值作為優(yōu)化結果。遺傳算法優(yōu)化過程如圖11所示。

圖11 遺傳算法優(yōu)化過程

圖11給出了遺傳算法迭代100次中各子代種群的最優(yōu)解，各子代種群的最優(yōu)解在第72～73代達到了最大，并穩(wěn)定在1.851 4處，此時各變量取值見表10。

表10 不同優(yōu)化方法優(yōu)化結果對比

Tab.10 Comparison of optimization results of different optimization methods

根據(jù)表10可以發(fā)現(xiàn)，遺傳算法優(yōu)化結果與徑向基函數(shù)響應面模型優(yōu)化結果十分接近，驗證了徑向基函數(shù)響應面模型進行優(yōu)化的準確性；同時在計算效率上，遺傳算法優(yōu)化計算用時是徑向基函數(shù)響應面法的10倍。因此與遺傳算法相比，在保證優(yōu)化精度的前提下，基于徑向基函數(shù)響應面模型優(yōu)化是一種更高效的方法，更適合于工程實際的應用。

5 結論

本文基于ESLE采樣構建徑向基函數(shù)響應面模型的方法實現(xiàn)了一臺500 kV變壓器的主絕緣結構優(yōu)化，得到了與最小絕緣裕度最大值對應的變壓器主絕緣結構設計方案，并得到如下結論：

1）提出了采用ESLE采樣方法進行試驗設計，與LHS函數(shù)lhsdesign采樣情況對比發(fā)現(xiàn)：ESLE采樣下的預測誤差和優(yōu)化誤差均小于LHS方法，尤其是將優(yōu)化準確度提高至LHS方法的218倍，驗證了采樣均勻性更好的ESLE采樣方法應用于變壓器主絕緣結構優(yōu)化問題上的可行性。

2）采用基于徑向基函數(shù)的響應面模型，與二次多項式響應面模型進行了對比，其優(yōu)化結果精度提高至78倍，驗證了徑向基函數(shù)響應面模型具有更好的擬合效果和計算精度，更適合于工程實際應用。

3）從響應面法和遺傳算法的結果對比可知，兩種方法優(yōu)化后的最小絕緣裕度十分接近，與原尺寸最小絕緣裕度相比提高率均在12.5%左右，驗證了響應面方法優(yōu)化結果的準確性。不僅如此，響應面法計算時間僅需19.3 h，而遺傳算法計算時間是194 h，遺傳算法的計算時間成本是響應面法的10倍。上述結果說明響應面法是一種準確高效的方法，可以有效地解決變壓器主絕緣結構的優(yōu)化問題。

附表1 100組訓練集數(shù)據(jù)

App.Tab.1 100 sets of training data

序號R1/mmh/mmd/mmw/mm響應值 111.716.012.3897.051.667 26.046.044.9988.051.746 38.96.083.6792.651.715 412.966.112.0288.151.607 56.116.134.9697.951.803 612.896.174.2988.251.711 712.826.24.9297.851.838 86.176.222.0497.751.627 912.766.253.6993.851.717 106.256.292.0888.351.609 1110.166.322.192.051.634 127.716.343.5297.651.722 139.616.384.8989.551.749 146.326.412.6793.151.651 159.466.434.8795.851.793 166.386.464.7192.951.755 1710.526.53.1988.451.662 188.846.532.3595.951.657 196.956.553.5888.551.677 2011.016.583.7997.551.742 2112.26.624.8391.951.764 228.976.642.1988.651.621 2312.696.67390.851.659 2412.46.712.1394.051.639 2510.946.743.8591.451.704 2610.16.763.2194.551.692 277.086.793.7394.251.710

（續(xù)）

序號R1/mmh/mmd/mmw/mm響應值 288.636.832.8891.551.656 297.296.864.6389.651.734 3012.626.882.9896.551.697 318.776.924.4792.751.743 3211.916.954.5995.551.777 337.586.974.597.451.770 346.5372.7996.451.666 3511.437.044.5488.751.716 367.797.072.1793.551.629 379.197.093.9488.851.698 3811.497.132.2388.951.621 396.467.162.6589.851.630 4010.727.182.2597.351.649 4112.547.213.5493.451.697 429.687.254.1495.751.743 4310.457.282.2992.551.633 448.77.33.2597.251.706 456.597.333.7591.051.688 4611.787.373.4889.051.667 476.677.394.894.151.758 489.747.422.9289.151.648 4910.797.464.7892.851.751 509.327.493.6392.151.699 517.017.513.0493.351.661 5212.137.543.8197.151.735 539.047.584.7590.251.744 5412.477.612.7191.851.644 556.747.633.8896.251.718 568.357.672.3190.951.624 5710.657.73.0695.051.675 5812.347.724.1791.251.711 598.067.752.496.051.643 6011.077.794.6896.951.773 6112.277.822.4496.151.659 626.87.844.5789.251.722 6311.217.88494.351.719 648.287.914.6696.851.769 657.57.933.1589.351.652 668.487.964.4593.251.738 6710.383.9689.751.692 688.558.033.4694.851.695 6911.298.052.4689.451.622

（續(xù)）

序號R1/mmh/mmd/mmw/mm響應值 7010.598.093.191.751.660 719.398.122.593.651.642 728.218.144.0390.551.695 736.888.183.1396.751.679 7411.568.212.5893.751.648 759.818.234.0596.651.735 767.168.272.5692.451.635 7712.058.293.2796.351.694 7810.388.324.4292.251.725 799.128.362.7389.951.638 8011.988.383.690.451.671 817.228.414.2195.151.727 8288.453.3792.351.672 8310.238.473.3394.451.690 8411.858.514.3895.651.746 858.138.542.7795.251.660 8611.368.564.3690.051.702 8711.638.63.993.051.699 889.268.634.0893.951.712 8910.038.653.4290.151.664 9011.148.692.5291.351.627 917.378.712.8590.351.638 929.968.742.6295.451.655 937.438.784.3391.651.708 949.548.84.2490.651.702 957.648.843.494.651.678 9610.878.874.1294.751.720 979.888.892.8390.751.644 988.418.934.2695.351.728 997.928.963.3191.151.660 1007.868.982.9494.951.657

[1] Wang Weiwang, Liu Ying, He Jiefeng, et al. An improved design procedure for a 10 kHz, 10 kW medium-frequency transformer considering insulation breakdown strength and structure optimization[J]. IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics, 2022, 10(4): 3525-3540.

[2] 劉琦, 付楚珺, 鮮莉, 等. 基于變壓器絕緣劣化降級時間預測的絕緣老化評估方法[J]. 高壓電器, 2023, 59(3): 116-122. Liu Qi, Fu Chujun, Xian Li, et al. An insulation aging evaluation method based on prediction of transformer insulation degradation time[J]. High Voltage Apparatus, 2023, 59(3): 116-122.

[3] Yang Lijun, Cheng Zhidong, Cheng Li, et al. Influence of oil-paper configuration on electric field distribution of main insulation structure on valve-side winding of UHV-DC converter transformer[J]. IET ScienceMeasurement & Technology, 2021, 16(2): 90-100.

[4] 劉剛, 劉西婭, 劉堯, 等. 基于響應面法的變壓器靜電環(huán)絕緣優(yōu)化設計[J]. 高電壓技術, 2022, 48(10): 4163-4171. Liu Gang, Liu Xiya, Liu Yao, et al. Optimal design of transformer electrostatic ring insulation based on response surface method[J]. High Voltage Engineering, 2022, 48(10): 4163-4171.

[5] 金超. 變壓器主絕緣結構優(yōu)化設計與應用[J]. 集成電路應用, 2021, 38(9): 82-83. Jin Chao. Optimization and application of transformer main insulation structure design[J]. Application of IC, 2021, 38(9): 82-83.

[6] Shuai Yuanming, Zhang Liangxian, Yang Chun, et al. Optimal design of static plate used in UHV converter transformer based on PSO algorithm[C]//2018 12th International Conference on the Properties and Applications of Dielectric Materials (ICPADM), Xi'an, China, 2018: 848-851.

[7] 李婕, 楊淑英, 謝震, 等. 基于有效信息迭代快速粒子群優(yōu)化算法的永磁同步電機參數(shù)在線辨識[J]. 電工技術學報, 2022, 37(18): 4604-4613. Li Jie, Yang Shuying, Xie Zhen, et al. Online parameter identification of permanent magnet synchronous motor based on fast particle swarm optimization algorithm with effective information iterated[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(18): 4604-4613.

[8] Jiang Can, Yang Jun, Fan Mingwu. Application of particle swarm optimization in the design of an ICT high-voltage power supply with dummy primary winding[J]. Electronics, 2021, 10(15): 1866.

[9] Ding Zheshi, Fan Xianhao, Song Boshu, et al. NSGA-II model-based dielectric frequency response parameters for aging and moisture analysis of transformer insulation[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2022, 71: 1-10.

[10] Zhou Lei, Yang Dingye, Zhai Xiaolin, et al. GA-STT: human trajectory prediction with group aware spatial-temporal transformer[J]. IEEE Robotics and Automation Letters, 2022, 7(3): 7660-7667.

[11] 溫志偉, 熊斌, 程自然. 強化液冷牽引變壓器電磁結構設計及優(yōu)化[J]. 電工技術學報, 2021, 36(增刊2): 460-466. Wen Zhiwei, Xiong Bin, Cheng Ziran. Electromagnetic design and optimization of enhanced liquid-cooling traction transformer[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(S2): 460-466.

[12] 何祥瑞, 榮燦燦, 劉明海. 基于無線電能傳輸系統(tǒng)多線圈結構參數(shù)優(yōu)化設計[J]. 電工技術學報, 2021, 36(增刊2): 404-411. He Xiangrui, Rong Cancan, Liu Minghai. Optimization design of multi-coil structure parameters based on wireless power transfer system[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(S2): 404-411.

[13] 王學喜, 張俊, 李新明. 響應面法優(yōu)化超聲提取鎖陽多糖工藝研究[J]. 北方園藝, 2011(6): 191-195. Wang Xuexi, Zhang Jun, Li Xinming. Optimization of the ultrasonic extraction of polysaccharides from cynomorium coccineum L. using response surface methodology[J]. Northern Horticulture, 2011(6): 191-195.

[14] Liu Gang, Hou Danhui, Zhao Xiaojun, et al. Power transformer’s electrostatic ring optimization based on ANSYS parametric design language and response surface methodology[J]. Applied Sciences, 2019, 9(20): 4286.

[15] 王洋洋, 宮島, 周勁松. 基于自適應響應面法的動車組牽引變壓器彈性吊掛設計[J]. 華東交通大學學報, 2019, 36(6): 1-6. Wang Yangyang, Gong Dao, Zhou Jinsong. Design of elastic suspension for traction transformer of EMU based on adaptive response surface method[J]. Journal of East China Jiaotong University, 2019, 36(6): 1-6.

[16] 胡常福, 任偉新, 劉旭政. 徑向基函數(shù)隨機響應面法[J]. 土木建筑與環(huán)境工程, 2014, 36(2): 42-47, 56. Hu Changfu, Ren Weixin, Liu Xuzheng. Stochastic response surface method based on radial basis functions[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2014, 36(2): 42-47, 56.

[17] Raj R A, Murugesan S. Optimization of dielectric properties of pongamia pinnata methyl ester for power transformers using response surface methodology[J]. IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation, 2022, 29(5): 1931-1939.

[18] 唐昭暉, 許志紅. 基于響應面法的交流接觸器彈簧系統(tǒng)優(yōu)化設計方法[J]. 電工技術學報, 2022, 37(2): 515-527. Tang Zhaohui, Xu Zhihong. Optimal design method for AC contactor spring system based on response surface method[J]. Transactions of China Electrote-chnical Society, 2022, 37(2): 515-527.

[19] 方開泰, 劉民千, 周永道. 試驗設計與建模[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011.

[20] Wang G G. Adaptive response surface method using inherited latin hypercube design points[J]. Journal of Mechanical Design, 2003, 125(2): 210-220.

[21] 蔡霽霖, 郝麗麗, 張柯琪. 含可再生能源電力系統(tǒng)可靠性評估的非參數(shù)重要性分層抽樣法[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2022, 46(7): 104-115. Cai Jilin, Hao Lili, Zhang Keqi. Non-parametric stratified importance sampling method for reliability evaluation of power system with renewable energy[J]. Automation of Electric Power Systems, 2022, 46(7): 104-115.

[22] 張忠元, 矯承軒, 桑濤, 等. 車身響應面模型參數(shù)的拉丁超立方采樣仿真[J]. 計算機仿真, 2021, 38(7): 123-127. Zhang Zhongyuan, Jiao Chengxuan, Sang Tao, et al. Latin hypercube sampling simulation of response surface model parameters of vehicle body[J]. Computer Simulation, 2021, 38(7): 123-127.

[23] Agarwal A, Mthembu L. Structural analysis and weight optimization of automotive chassis by Latin hypercube sampling using metal matrix composites[J]. Materials Today: Proceedings, 2022, 60: 2132-2140.

[24] 韋鵬飛, 徐永海, 王金浩, 等. 基于拉丁超立方采樣的節(jié)點敏感設備暫降免疫水平評估[J]. 電工技術學報, 2018, 33(15): 3415-3425. Wei Pengfei, Xu Yonghai, Wang Jinhao, et al. Sag immunity level evaluation of sensitive equipment at node based on Latin hypercube sampling[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(15): 3415-3425.

[25] Zhu Huaguang, Liu Li, Long Teng, et al. A novel algorithm of maximin Latin hypercube design using successive local enumeration[J]. Engineering Optimization, 2012, 44(5): 551-564.

[26] 陳鑫. 高超聲速飛行器氣動—熱—結構建模及模型降階研究[D]. 北京: 北京理工大學, 2015.

[27] Chen Xin, Liu Li, Long Teng, et al. A reduced order aerothermodynamic modeling framework for hypersonic vehicles based on surrogate and POD[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2015, 28(5): 1328-1342.

[28] 陳乾, 張沈習, 程浩忠, 等. 基于徑向基函數(shù)隨機響應面法的綜合能源系統(tǒng)概率能流計算[J]. 中國電機工程學報, 2022, 42(22): 8075-8089. Chen Qian, Zhang Shenxi, Cheng Haozhong, et al. Probabilistic energy flow calculation for integrated energy systems based on radial basis function-stochastic response surface method[J]. Proceedings of the CSEE, 2022, 42(22): 8075-8089.

[29] 陳鋒, 王嘉瑋, 吳夢晗, 等. 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的干式空心電抗器渦流損耗計算[J]. 電工技術學報, 2018, 33(11): 2545-2553. Chen Feng, Wang Jiawei, Wu Menghan, et al. Eddy current loss calculation of dry-type air-core reactor based on radial basis function neural network[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(11): 2545-2553.

Optimized Design of Transformer Electrostatic Ring Based on Radial Basis Function Response Surface Method with Enhanced Successful Local Enumeration Sampling

Liu Gang Gao Chenglong Hu Wanjun Zhu Zhangchen Liu Yunpeng

(Hebei Provincial Key Laboratory of Power Transmission Equipment Security Defense North China Electric Power University Baoding 071003 China)

The transformer main insulation structure needs be reasonably designed to ensure its safe and reliable operation. The response surface method (RSM) is an efficient tool to the optimization problem of transformer main insulation structure. In the field of traditional transformer structure optimization, the RSM is widely used due to its superior optimization accuracy and efficiency in comparison to the empirical formula method and the global optimization algorithm. This paper proposes combining the (ELSE) enhanced successful local enumeration(ELSE) method with upgraded sampling uniformity and the radial basis function(RBF)-RSM with superior nonlinear fitting capability to solve the main insulation structure optimization problem, whose optimization objective is to improve the minimum insulation margin, so as to obtain a more effective design scheme for the transformer main insulation structure.

Firstly, a 500 kV transformer is modeled using the ansys parametric design language (APDL) . Secondly, it is necessary to identify optimization variables, which are selected from the electrostatic ring structure. Subsequently, the training set and test set data are obtained using the ESLE sampling method. Then, the RBF-RSM is derived using the training set data. Finally, the resulting RSM is optimized by an intelligent algorithm, which can figure out the variables’ values with the optimal minimum insulation margin. Due to the parametric modeling, the training set and test set objective function results are obtained via Matlab and Ansys calls, which significantly reduces the human workload and enhances the engineering applicability of the above process.

The results of the optimization based on ESLE and RBF-RSM are compared with the pre-optimized results, and the minimum insulation margin is improved by 12.56%, which indicates that the proposed method has practical utility. In order to verify the advantages of the proposed approach, firstly, from the sampling method, the ESLE method is compared to the LHS sampling method in RBF-RSM optimization, and the usage of the ESLE method with superior uniform sampling improves the optimization accuracy by 218 times. Secondly, from the response surface model, the optimization results of quadratic polynomial RSM and RBF-RSM are compared in ESLE sampling. The RBF-RSM enhances the optimization accuracy by a factor of 78 in addition to lowering the model's prediction error. Finally, the optimization results and those of the genetic algorithm (GA) are compared. The RSM yields an optimization result of 1.852 5, the GA yields a result of 1.8514 and the values of the optimization variables in both schemes are consistent. Therefore, the accuracy of the RSM's optimization findings is validated. In addition, the RSM takes only 19.3 h, whereas the GA requires 194 h. It is evident that the RSM has significantly increased optimization efficiency while ensuing precision.

Through the above comparative analysis, the following conclusions can be drawn: (1) Compared with LHS sampling, the prediction error and optimization error of the model under ESLE sampling are less than those under LHS sampling, which verifies the feasibility of ESLE sampling method applied to the optimization of transformer main insulation structure. (2) Compared to the quadratic polynomial RSM, the predictive ability and optimization accuracy of the model proposed have been enhanced, indicating that the RBF-RSM has a proper fitting effect and calculation accuracy, and is more suitable for engineering applications. (3) Compared to GA, the precision of the optimization results of both methods is comparable, however, the efficiency of the method proposed is 10 times that of GA, which can effectively solve the optimization problem of the main insulation structure of transformers.

Response surface method (RSM), enhanced successful local enumeration (ESLE), radial basis function (RBF), insulation margin, transformer, structural optimization.

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.221608

TM403.3

國家重點研發(fā)計劃（2021YFB2401703）和中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金（2022MS073）資助項目。

2022-08-22

2022-09-17

劉 剛 男，1985年生，副教授，碩士生導師，研究方向為電氣設備多物理場建模及仿真、電力系統(tǒng)時域仿真和電磁場理論及其應用。E-mail：liugang_em@163.com（通信作者）

高成龍 男，1999年生，碩士研究生，研究方向為電磁場理論及其應用優(yōu)化。E-mail：cg_01041024@163.com

（編輯 郭麗軍）